西城区2015九年级上册数学期中测试题(含答案解析)

一、选择题(本题共32分，每小题4分)

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．

1．二次函数 的最大值是

A． B． C．1 D．2

2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果

∠ADE=120°，那么∠B等于

A．130° B．120°

C．80° D．60°

3．下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A B C D

4．把抛物线 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线

A． B．

C． D．

5．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1∶2，如果△ABC的面

积是3，那么△A′B′C′的面积等于

A．3 B．6 C．9 D．12

6．如果关于x的一元二次方程 有实数根，那么m的取值范围是

A．m＞2 B．m≥3 C．m＜5 D．m≤5

7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB= ，AC=12，BC=5，

CD⊥AB于点D，那么 的值是

A． B．

C． D．

8．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正

方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中

的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物

线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y轴的抛物线与网

格对角线OM的两个交点为A，B，其顶点为C，如果△ABC

是该抛物线的内接格点三角形， ，且点A，B，C

的横坐标 ， ， 满足 ＜ ＜ ，那么符合上述条件的抛物线条数是

A．7 B．8 C．14 D．16

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9．在平面直角坐标系xOy中，点 在反比例函数 的图象上， x轴于

点B，那么△AOB的面积等于　 　．

10．如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转某个角度得到

△AB′C′，使AB′∥CB， CB，AC′的延长线相交于点D，

如果∠D=28°，那么 　 °．

11．如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE=3，DE=5，BE=4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点

为A，C，那么线段CE的长应等于 ．

12．在平面直角坐标系xOy中， ， （其中

），点P在以点 为圆心，半径等于2的圆

上，如果动点P满足 ，（1）线段 的长

等于 （用含m的代数式表示）；（2）m的最小值

为 ．

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13．计算： ．

14．解方程： ．

15．如图，在⊙ 中，点P在直径AB的延长线上，PC，PD

与⊙ 相切，切点分别为点C，点D，连接 交AB于

点E．如果⊙ 的半径等于 ， ，求

弦 的长．

16．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个

小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C

都在格点上，将△ 绕点A顺时针方向旋转90°得到

△ ．

（1）在正方形网格中，画出△ ；

（2）计算线段AB在旋转到 的过程中所扫过区域的面积．

（结果保留 ）

17．某商店以每件20元的价格购进一批商品，若每件商品售价a元，则每天可卖出 件．如果商店计划要每天恰好盈利8000元，并且要使每天的销售量尽量大，求每件商品的售价是多少元．

18．如果关于x的函数 的图象与x轴只有一个公共点，求实数a

的值．

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P

在它的北偏东60°方向上，在A的正东400米的B处，测得

海中灯塔P在它的北偏东30°方向上．问：灯塔P到环海路

的距离PC约等于多少米？（ 取1.732，结果精确到1米）

20．如图，在正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中顶点

E，F，G分别在AB，BC，FD上．

（1）求证：△EBF∽△FCD；

（2）连接DH，如果BC=12，BF=3，求 的值．

21．如图，在⊙O中，弦BC，BD关于直径AB所在直线对称．E为半径OC上一点， ，

连接AE并延长交⊙O于点F，连接DF交BC于点M．

（1）请依题意补全图形；

（2）求证： ；

（3）求 的值．

22． 已知抛物线C： .

抛物线 顶点坐标 与x轴交点坐标 与y轴交点坐标

抛物线C：

变换后的抛物线

（1）补全表中A，B两点的坐标，并在所给的平面直

角坐标系中画出抛物线C；

（2）将抛物线C上每一点的横坐标变为原来的2倍，

纵坐标变为原来的 ，可证明得到的曲线仍是

抛物线，（记为 ），且抛物线 的顶点是抛物

线C的顶点的对应点，求抛物线 对应的函数

表达式.

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）

23．如图，在平面直角坐标系xOy中，点 ， 在反比例函数 （m为常

数）的图象G上，连接AO并延长与图象G的另一个交点为点C，过点A的直线l与

x轴的交点为点 ，过点C作CE∥x轴交直线l于点E．

（1）求m的值及直线l对应的函数表达式；

（2）求点E的坐标；

（3）求证： ．

24．如图，等边三角形ABC的边长为4，直线l经过点A并与AC垂直．当点P在直线l

上运动到某一位置（点P不与点A重合）时，连接PC，并将△ACP绕点C按逆时针

方向旋转 得到△BCQ，记点P的对应点为Q，线段PA的长为m（ ）．

（1） ① = ；

② 如图1，当点P与点B在直线AC的同侧，且 时，点Q到直线l的距离

等于 ；

（2） 当旋转后的点Q恰好落在直线l上时，点P，Q的位置分别记为 ， ．在图2

中画出此时的线段 及△ ，并直接写出相应m的值；

（3）当点P与点B在直线AC的异侧，且△PAQ的面积等于 时，求m的值．

25．如图1，对于平面上不大于 的 ，我们给出如下定义：若点P在 的内

部或边界上，作 于点E， 于点 ，则称 为点P相对于

的“点角距离”，记为 ．

如图2，在平面直角坐标系xOy中，对于 ，点P为第一象限内或两条坐标轴正

半轴上的动点，且满足 5，点P运动形成的图形记为图形G．

（1）满足条件的其中一个点P的坐标是 ，图形G与坐标轴围成图形的面积

等于 ；

（2）设图形G与x轴的公共点为点A，已知 ， ，求 的值；

（3）如果抛物线 经过（2）中的A，B两点，点Q在A，B两点之间

的抛物线上（点Q可与A，B两点重合），求当 取最大值时，点Q

的坐标．

西城区2015九年级上册数学期中测试题(含答案解析)及评分标准

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案 A B B C D D B C

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9．3． 10.28． 11. ． 12.（1）m；（2）3.

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13．解：

……………………………………………………… 3分

………………………………………………………………………………… 5分

14．解： ．

∵ ， ， ， ……………………………………………………… 1分

∴ ．……………………………………………… 2分

∴ ……………………………………………… 3分

．

∴ 原方程的解是 ， ．…………………………………… 5分

15．解：连接OC．（如图1）

∵ PC，PD与⊙ 相切，切点分别为点C，点D，

∴ OC⊥PC ，……………………………………………………………………… 1分

PC=PD，∠OPC=∠OPD．

∴ CD⊥OP，CD=2CE． …………………………2分

∵ ，

∴ ．……………3分

设 OE=k，则CE=2k， ．（ ）

∵ ⊙ 的半径等于 ，

∴ ，解得 ．

∴ CE=6 ．………………………………………………………………………… 4分

∴ CD=2CE=12 ．………………………………………………………………… 5分

16．（1）画图见图2． …………………………… 2分

（2）由图可知△ 是直角三角形，AC=4，BC=3，

所以AB=5．…………………… 3分

线段AB在旋转到 的过程中所扫过区域

是一个扇形，且它的圆心角为90°，半径为5．

……………………………………… 4分

∴ ．

…………………………………… 5分

所以线段AB在旋转到 的过程中所扫过区域的面积为 ．

17．解：根据题意，得 ．（20≤a≤80） …………………… 1分

整理，得 ．

可得 ．

解方程，得 ， ．…………………………………………………… 3分

当 时， （件）．

当 时， （件）．

因为要使每天的销售量尽量大，所以 ． ………………………………… 4分

答：商店计划要每天恰好盈利8000元，并且要使每天的销售量尽量大，每件商品的售

价应是40元．……………………………………………………………………… 5分

18．解：（1）当 时，函数 的图象与x轴只有一个公共点成立．…………1分

（2）当a≠0时，函数 是关于x的二次函数．

∵ 它的图象与x轴只有一个公共点，

∴ 关于x的方程 有两个相等的实数根． ………2分

∴ ．………………………………………………3分

整理，得 ．

解得 ．…………………………………………………………… 5分

综上， 或 ．

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．解：如图3，由题意，可得∠PAC=30°，∠PBC=60°．

………………………………………… 2分

∴ ．

∴ ∠PAC=∠APB．

∴ PB=AB= 400．…………………………… 3分

在Rt△PBC中，∠PCB=90°，∠PBC=60°，PB=400，

∴ ≈346（米）．………………4分

答：灯塔P到环海路的距离PC约等于346米． …………………………………… 5分

20．（1）证明：如图4．

∵ 正方形ABCD，正方形EFGH，

∴ ∠B=∠C=90°，∠EFG=90°，

BC=CD，GH=EF=FG．

又∵ 点F在BC上，点G在FD上，

∴ ∠DFC+∠EFB=90°，∠DFC+∠FDC=90°，

∴ ∠EFB =∠FDC． …………………… 1分

∴ △EBF∽△FCD．…………………… 2分

（2）解：∵ BF=3，BC=CD=12，

∴ CF=9， ．

由（1）得 ．

∴ ． …………………………………………… 3分

∴ ．……………………………………4分

．

∴ ． ………………………………………………… 5分

21．（1）补全图形见图5．…………………………………………1分

（2）证明：∵ 弦BC，BD关于直径AB所在直线对称，

∴ ∠DBC=2∠ABC． ……………………………2分

又∵ ，

∴ ．……………………………3分

（3）解：∵ ，

∴ ∠A=∠D．

又∵ ，

∴ △AOE∽△DBM． ……………………………………………………… 4分

∴ ．

∵ ，OA =OC，

∴ ．

∵ 弦BC，BD关于直径AB所在直线对称，

∴ BC=BD．

∴ ．………………………………………………………… 5分

22．解：（1） ， ． ……………………………………………………… 2分

画图象见图6．……………………………………………………………… 3分

（2）由题意得变换后的抛物线 的相关点的坐标如下表所示：

抛物线 顶点坐标 与x轴交点坐标 与y轴交点坐标

变换后的抛物线

设抛物线 对应的函数表达式为 ．（a≠0）

∵ 抛物线 与y轴交点的坐标为 ，

∴ ．

解得 ．

∴ ．……… 5分

∴ 抛物线 对应的函数表达式为 ．

说明：其他正确解法相应给分．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）

23．解：（1）∵ 点 在反比例函数 （m为常数）的图象G上，

∴ ．………………………………………………………………1分

∴ 反比例函数 （m为常数）对应的函数表达式是 ．

设直线l对应的函数表达式为 （k，b为常数，k≠0）．

∵ 直线l经过点 ， ，

∴ 解得

∴ 直线l对应的函数表达式为 ． ………………………………2分

（2）由反比例函数图象的中心对称性可知点C的坐标为 ． ………… 3分

∵ CE∥x轴交直线l于点E，

∴ ．

∴ 点E的坐标为 ．………………………………………………… 4分

（3）如图7，作AF⊥CE于点F，与过点B的y轴的垂线交于点G，BG交AE于点M，

作CH⊥BG 于点H，则BH∥CE， ．

∵ ， ， ，

∴ 点F的坐标为 ．

∴ CF=EF．

∴ AC=AE．

∴ ∠ACE =∠AEC．………………………… 5分

∵ 点 在图象G上，

∴ ，

∴ ， ， ．

在Rt△ABG中， ，

在Rt△BCH中， ，

∴ ．………………………………………………………… 6分

∴ ．

∵ ， ，

∴ ∠BAE=∠ACB． …………………………………………………………… 7分 24．解：（1）① = 90 ；………………………………………………………………1分

② m=3时，点Q到直线l的距离等于

．……………………………… 2分

（2）所画图形见图8．………………………… 3分

．……………………………… 4分

（3）作BG⊥AC于点G，过点Q作直线l的垂线交l于点D，交BG于点F．

∵ CA⊥直线l，

∴ ∠CAP=90 ．

易证四边形ADFG为矩形．

∵ 等边三角形ABC的边长为4，

∴ ∠ACB=60 ， ， ．

∵ 将△ACP绕点C按逆时针方向旋转 得到△BCQ，

∴ △ACP≌△BCQ．

∴ AP = BQ = m，∠PAC=∠QBC=90 ．

∴ ∠QBF=60 ．

在Rt△QBF中，∠QFB=90 ，∠QBF=60 ，BQ=m，

∴ ．…………………………………………………………… 5分

要使△PAQ存在，则点P不能与点A， 重合，所以点P的位置分为以下两

种情况：

① 如图9，当点P在（2）中的线段 上（点P不与点A， 重合）时，可得 ，此时点Q在直线l的下方．

∴ ．

∵ ，

∴ ．

整理，得 ．

解得 或 ．

经检验， 或 在 的范围内，均符合题意．… 7分

② 如图10，当点P在（2）中的线段 的延长线上（点P不与点A， 重合）时，可得 ，此时点Q在直线l的上方．

∴ ．

∵ ，

∴ . ．

整理，得 ．

解得 （舍负）．

经检验， 在 的范围内，符合题意．…………8分

综上所述， 或 或 时，△PAQ的面积等于 ．

25．解：（1）满足条件的其中一个点P的坐标是 ；………………………………… 1分

（说明：点 的坐标满足 ， 0≤x≤5，0≤y≤5均可）

图形G与坐标轴围成图形的面积等于 ．…………………………………2分

（2）如图11，作ME⊥OB于点E，MF⊥x轴于点F，则MF =1，作MD∥x轴，交OB于点D，作BK⊥x轴于点K．

由点B的坐标为 ，可求得直线OB对应的函数关系式为 ．

∴ 点D的坐标为 ， ．

∴ OB=5， ，

．

∴ ．

……………………………………… 3分

∴ ．

……………………………………… 4分

（3）∵ 抛物线 经过 ， 两点，

∴ 解得

∴ 抛物线对应的函数关系式为 ．………………………5分

如图12，作QG⊥OB于点G，QH⊥x轴于点H．作QN∥x轴，交OB于点N．

设点Q的坐标为 ，其中3≤m≤5，

则 ．

同（2）得 ．

∴ 点N的坐标为 ， ．

∴ 当 （在3≤m≤5范围内）时， 取得最大值（ ）．

………………………………………………………… 6分

此时点Q的坐标为 ．…………

西城区2015九年级上册数学期中测试题(含答案解析)参考答案