延庆县2015九年级上学期数学期中试题(含答案解析)

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的

1. 下列图形中，是中心对称图形的是

A． B． C． D．

2．在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把 它们分别标号为1，2，3，4，5，

从中随机摸出一个小球，其标号小于4的概率为

A. B. C. D.

3. 抛物线 的顶点坐标是

A．（2，3） B．（-2，3） C．（2，-3） D．（-2，-3）

4. 如图， □ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，

则EF：FC等于

A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．2：3

5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，OC= 5，CD=8，

则OE的长为

A．1 B．2 C．3 D． 4

6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝ ，BC＝2，则sinB的值为

A． B． C． D．2

7．二次函数 的图象如图所示，

则下列结论中错误的是

A．函数有最小值

B ．当－1 2时，

C．

D．当 ，y随x的增大而减小

8．如图，矩 形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E，F分别是边BC，AD的中点，

AB=3，BC=4，一动点P从点B出发，沿着B﹣A﹣D﹣C在矩形的边上运动，运动到

点C停止，点M为图1中某一定点，设点P运动的路程为x，△BPM的面积为y，表

示y与x的函数关系的图象大致如图2所示．则点M的位置可能是图1中的

A．点C B．点F C．点D D．点O

二、填空题 （本题共16分，每小题4分）

9．如果圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积是________ cm2．

10. 请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，-2）的抛物线的表达式__________．

11. 已知关于 的一元二次方程 无实数根，那么m的取值范围是____．

12. 如图，AD是⊙O的直径．

(1)如图1，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是　，∠B2的度数是；

(2)如图2，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，则∠B3的度数是　；

(3)如图3，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3 C3，…，BnCn把圆周2n等分，则∠Bn的度数是　（用含n的代数式表示∠Bn的度数）．

三、解答题（本题共35分，每小题5 分）

13. 计算：

14. 解方程：

15. 已知：二次函数的图象过点A（2，-3），且顶点坐标为C（1，-4）．

（1）求此二次函数的表达式；

（2）画出此函数图象，并根据函数图象写出：当 时，y的取值范围.

16. 如图，在⊙O中，弦AC与BD交于点E，AB=8，AE=6，ED=4，求CD的长．

17．如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进30海

里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，求海岛C到航线AB的距离

CD的长（结果保留根号）．

18. 已知：AD是△ABC的高， ，AB=4， ，求BC的长.

19. 某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间

满足关系：y = ax2 + bx﹣75．其图象如图．

（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？

最大利润为多少元？

（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？

四、解答题（本题共15分，每小题5分）

20. 有六张完全相同的卡片，分A，B两组，每组三张，在A组的卡片上分别画上☆○☆，

B组的卡片上分别画上☆○○，如图1 所示.

（1）若将卡片无标记的一面朝上摆在桌上，再分别从两组卡片中随机各抽取一张，

求两张卡片上标记都是☆的概率（请用画树形图法或列表法求解）

（2）若把A，B两组卡片无标记的一面对应粘贴在一起得到3张卡片，其正反面标 记

如图2所示，将卡片正面朝上摆放在桌上，并用瓶盖盖住标记.若揭开盖子，看

到的卡片正面标记是☆后，猜想它的反面也是☆，求猜对的概率是多少？

21. 如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，

交AB于点G，且D是BC中点，DE⊥AB，垂足为E，

交AC的延长线于点F.

（1）求证：直线EF是⊙O的切线；

（2）CF=5，cos∠A = 25，求BE的长.[来~源#:*中教网%]

22. 探究发现:

如图1，△ABC是等边三角形，点E在直线BC上，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角平分线CF于点F，当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；

数学思考: 某数学兴趣小组在探究AE，EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：

当点E是直线BC上（B，C除外）（其它条件不变），结论AE=EF仍然成立．请你从“点E在线段BC上”；“点E在线段BC延长线”；“点E在线段 BC反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明AE=EF．

拓展应用:当点E在线段BC的延长线上时，若CE=BC，在图3中画出图形，并运用上述结论求出S△ABC：S△AEF的值．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题9分，第25题6分）

23. 已知关于 的一元二次方程 有实数根， 为正整数.

（1）求 的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于 的二次函数 的图象

向下平移9个单位，求平移后的图象的表达式；

（3）在（2）的条件下，平移后的二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），直线 过点B，且与抛物线的另一个交点为C，直线BC上方的抛物线与线段BC组成新的图象，当此新图象的最小值大于-5时，求k的取值范围.

24. 已知：△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，在∠BAC所对弧AC上，任取一点D，

连接AD，BD，CD，

（1）如图1， ，直接写出∠ADB的大小（用含 的式子表示）；

（2）如图2，如果 BAC=60°，求证：BD+CD=AD；

（3）如图3，如果 BAC=120°，那么BD+CD与AD之间的数量关系是什么？写出猜测并加以证明；

（4）如果 ，直接写出BD+CD与AD之间的数量关系.

25. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C1: （ ）与抛物线C2: ，

（1）抛物线C1与 轴交于点A，其对称轴与 轴交于点B．求点A，B的坐标；

（2）若抛物线C1在 这一段位于C2下方，并且抛物线C1在 这一段位于C2上方，求抛物线C1的解析式.

延庆县2015九年级上学期数学期中试题(含答案解析)参考答案

一、选择题（共32分，每小题4分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案 B C A B C A B D

二、填空题（共16分，每题4分）

题号 9 10 11 12

答案

三、解答题（本题共35分，每小题5分）

13. 计算：

=

=5

14．解方程：

解1:

∴

解2:

解3:

∵a=1,b=-4,c=-5

15.(1) 设二次函数的表达式为

∵此函数图象顶点C（1，﹣4）

∴

过点A（2，-3），

∴a=1

∴二次函数的解析式:

二次函数的解析式:

当x= -1时，y=0

当x=1时，y有最小值，为y=-4

∵x=1在 内

∴当 时，y的取值范围-4 ≤ y ＜0

16. 解：∵∠B=∠C，∠A=∠D

∴△ABE∽△CDE

∴

∵AB=8，AE=6，ED=4，

∴

∴

17. 解：

∵DA⊥AD，∠DAC=60°，

∴∠1=30°.

∵EB⊥AD，∠EBC=30°，

∴∠2=60°.

∴∠ACB=30°.

∴BC = AB=30.

在Rt△ ACD中，∵∠CDB=90°，∠2=60°，

18. 分两种情况：

（1）如图1

在Rt△ABD中，∠CDB=90°， ，AB=4，

由勾股定理可得： .

在Rt△ACD中，∠ADC=90°， ，

∵ ， ，

∴ .

∴CD=1.

∴BC=4.

（2）如图2

同理可求：BD=3，CD=1

∴BC=2.

综上所述：BC的长为4或2.

19. 解：（1）y=ax2+bx﹣75图象过点（5，0）、（7，16），

∴ ，

解得 ，

y=﹣x2+20x﹣75的顶点坐标是（10，25）

当x=10时，y最大=25，

答：销售单价为10元时，该种商品每天销售利润最大，最大利润为25元；

（2）∵函数y=﹣x2+20x﹣75图象的对称轴为直线x=10，

可知点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16），

又∵函数y=﹣x2+20x﹣75图象开口向下，

∴当7≤x≤13时，y≥16．

答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该商品每天 销售利润不低于

16元．

20.

（1）方法1：由题意：

从树状图中可以看到，所有可能结果共9种，且每种结果出现的可能性相等，其中两张卡片上标记都是☆的结果共2种，所以 .

方法1：由题意可列表如下：

☆ ○ ☆

☆ （☆，☆） （☆，○） （☆，☆）

○ （○，☆） （○，○） （○，☆）

○ （○，☆） （○，○） （○，☆）

从表中可以看到，所有可能结果共9种，且每种结果出现的可能性相等，其中两张卡片上标记都是☆的结果共2种，所以 .

（2）

21.证明：（1）连接CD

∵AO=CO，CD=BD

∴OD //AB

∴∠ODE=∠DEB

∵DE⊥AB

∴∠DEB=90°

∴∠ODE=90°

∴OD⊥BC

∴直线EF是⊙O的切线

（2）设⊙O的半径为x，则OC=OA=OD，

∵OD //AB

∴∠ODC=∠B，∠FOD=∠A

∵OC=OD

∴∠ODC=∠OCD

∴∠B =∠OCD

∴AC=BC=2x

在Rt△ODF中，∠ODF=90°，

∴

∴

∴

在Rt△AEF中，∠FEA=90°，

∴

∴

∴

∴BE=2

22. 数学思考:

证明：如图一，在AB上截取AG，使AG=EC，连接EG，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°．

∵AG=EC，

∴BG=BE，

∴△BEG是等边三角形，∠BGE=60°，

∴∠AGE=120°．

∵FC是外角的平分线，

∴∠ECF=120°=∠AGE．

∵∠AEC是△ABE的外角，

∴∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE．

∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=60°+∠FEC，

∴∠GAE=∠FEC．

在△AGE和△ECF中

，

∴△AGE≌△ECF（ASA），

∴AE=EF；

拓展应用：如图二：

∵△ABC是等边三角形，BC=CE

∴CE=BC=AC，

∴∠CAH=30°，

作CH⊥AE于H点，

∴∠AHC=90°．

∴CH= AC，AH= AC，

∵AC=CE，CH⊥AE

∴AE=2AH= AC．

∴ ．

由数学思考得AE=EF，

又∵∠AEF=60°，

∴△AEF是等边三角形，

∴△ABC ∽△AEF．

∴ = = ．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题9分，第 25题6分）

23.

（1）∵关于 的一元二次方程 有实数根

∴

∴

∴ …………………………………………………1分

∵ 为正整数

∴ 的值是1,2,3 ……………………………………2分

（2）方程有两个非零的整数根

当 时， ，不合题意，舍

当 时， ，不合题意，舍

当 时， ，

∴ ……………………………3分

∴

∴平移后的图象的表达式 ………………4分

（3）令y =0 ，

∴

∵与x轴交于点A，B（点A在点B左侧）

∴A（-4,0），B（2,0）

∵直线l： 经过点B，

∴函数新图象如图所示，当点C在抛物

线对称轴左侧时，新函数的最小值有

可能大于 ．

令 ，即 ．

解得 ， （不合题意，舍去）．

∴抛物线经过点 ． ……………5分

当直线 经过点（-3，-5），（2,0）时，可求得

…………6分

由图象可知，当 时新函数的最小值大于 ． ………………………7分

（也可以用三角形相似求出-5以及k的值）

24.

………………1分

（2）延长BD到E，使得DE=DC

∵ BAC=60°，AB=AC

∴△ABC是等边三角形 ………………2分

∴BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°

∵四边形ABCD内接于圆

∴∠BAC+∠BDC=180°

∵∠BDC+∠EDC=180°

∴∠BAC=∠EDC=60°

∵DC=DE

∴△DCE是等边三角形 ………………3分

∴∠DCE=60° ∴∠ACD=∠BCE

∴△ACD≌△BCE ∴BE=AD

∵BE=BD+DE

∴AD=BD+CD ………………4分

（3）延长DB到E，使得BE=DC，连接AE，

过点A作AF⊥BD于点F，

∵AB=AC ∴∠1=∠2 ………………5分

∵四边形ABCD内接于圆

∴∠DBA+∠ACD=180°

∵∠EBA+∠DBA =180°

∴∠EBA=∠DCA

∵BE=CD，AB=AC

∴△EBA≌△DCA ∴∠E=∠1

∴AE=AD………………6分

在Rt△ADF中，∠AFD=90°， ∴ ………………………………7分

∵∠1=90°- =30°, ∴

∴

∵ BE=BD+CD

∴ …………………………………………8分

(4) ……………………………………………9分

25.

（1）根据:

可得点A(0,4)，B(1,0) ……………………………2分

(2)根据对称, 抛物线C1在 这一段位于C2下方,相当于抛物线C1在 这

一段位于C2下方 … …………………………3分

∵抛物线C1在 这一段位于C2上方，

∴两条抛物线的交点横坐标:x=3……………………………4分

∴把x=3代入

∴y=3

∴抛物线C1： 经过点（3,3）……………………………5分

∴

∴抛物线C1的解析式: ……………………………6分