昌平区2015九年级上学期数学期中试题(含答案解析)

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的．

1．已知∠A为锐角，且sinA＝12，那么∠A等于

A．15° B．30° C．45° D．60°

2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．正方形 D．正五边形

3．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，那么∠BOC的度数是

A．150° B．120° C．90° D．60°

4．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．

若AD＝1，DB＝2，则△ADE的面积与△ABC的面积的比等于

A． B． C． D．

5．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，若∠DBC＝∠A，BC＝ ，

AC＝3，则 CD的长为

A．1 　B． 　C．2 D．

6．如图，点P是第二象限内的一点，且在反比例函数 的图象上，PA⊥x轴于点A ， △PAO的面积为3，则k的值为

A．3 B．- 3 C． 6 D．-6

7．如图，AB为⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C．若AB=8，CD=2，则⊙O的半径长为

A． 　 B．3 C．4 　 D．5

8．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠B=60°，M为AB的中点．动点P在菱形 的边上从点B出发，沿B→C→D的方向运动，到达点D时停止．连接MP，设点P运动的路程为x，

MP 2 ＝y，则表示y与x的函数关系的图象大致为



二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9． 抛物线 的顶点坐标是 ．

10．已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．

11． 如图，点P是⊙ 的直径BA的延长线上一点，PC切⊙ 于

点C，若 ，PB=6，则PC等于 ．

12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3，0)，B(0，4)，记Rt△OAB为三角形①，按图中所示的方法旋转三角形，依次得到三角形②，③，④，……，则三角形⑤的直角顶点的坐标为　 ；三角形⑩的直角顶点的坐标为　 ；第2015个三角形的直角顶点的坐标为　 ．



三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13． 计算 : ．

14． 解方程: ．

15．已知△ 如图所示地摆放在边长为1的小正方形组成的网格内，将△ 绕点C顺时针旋转90°，得到△ ．

（1）在网格中画出△ ；

（2）直接写出点B运动到点 所经过的路径的长．

16． 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于A(-1，4)，B(2，m)两点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）直接写出不等式 ＜ 的解集．

17．如图，在△ABC和△CDE中，∠B =∠D=90°，C为线段BD上一点，且AC⊥CE．AB=3，DE=2，BC=6．求CD的长．

18．如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DC= ， AC=3.

（1）求∠B的度数；

（2）求AB及BC的长．

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．已知抛物线 ．

（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；

（2）若此抛物线与直线 的一个交点在y轴上，求m的值．

20．如图，在修建某条地铁时，科技人员利用探测仪在地面A、B两个探测点探测到地下C处有金属回声．已知A、B两点相距8米，探测线AC，BC与地面的夹角分别是30°和45°，试确定有金属回声的点C的深度是多少米？

21．已知： 如图，在Rt△AB C中，∠ C=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，经过B、D两点的⊙O交AB 于点E，交BC于点F， EB为⊙O的直径．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）当BC=2，cos∠ABC 时，求⊙O的半径．

22．已知，正方形ABCD的边长为6，点E为BC的中点，点F在AB边上，且∠EDF

＝45°．

（1）利用画图工具，在右图中画出满足条件的图形；

（2）猜想tan∠ADF的值，并写出求解过程．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23．已知：如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于A、B两点，且点A的坐标为（1，m）．

（1）求反比例函数 的表达式；

（2）点C（n，1）在反比例函数 的图象上，求△AOC的面积；

（3）在x轴上找出点P，使△ABP是以AB为斜边的直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

24.如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE = 90°，AB =AC，AD =AE．连接 BD交AE于M,连接CE交AB于N，BD与CE交点为F，连接AF．

（1）如图1，求证：BD⊥CE；

（2）如图1，求证：FA是∠CFD的平分线；

（3）如图2，当AC=2，∠BCE=15°时，求CF的长.

25．如图，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（2，0），与y轴相交于点C．

（1）求二次函数的解析式；

（2） 若点E是第一象限的抛物线上的一个动点，当四边形ABEC的面积最大时，求点E的坐标，并求出四边形ABEC的最大面积；

（3）若点M在抛物线上，且在y轴的右侧．⊙ M与y轴相切，切点为D．以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，求点M的坐标．

昌平区2015九年级上学期数学期中试题(含答案解析)参考答案及评分标准

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案 B C B D C D D B

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

题号 9 10 11 12

答案 （2，1） m＞-1

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13．解：原式 …………………………4分

． ……………………………………5分

14．解法一：∵ ， ， ，

∴ ……………………………………2分

∴ ． ………………… …………………3分

∴ 原方程的根为： ……………………………………5分

解法二： ．

． ………………………………………1分

． ………………………………………2分

． ………………………………………3分

∴ ， ． ………………………………………5分

解法三： ………………………………………2分

，或 ． ………………………………………3分

∴ ， ． ………………………………………5分

15．解：（1）如图所示，△A1B1C即为所求作的图形． ……………3分

（2） = π． ……………………………5分

16．解：（1）∵ 反比例函数 经过A(-１，4)，B(2，m)两点，

∴ 可求得k =-4，m =-2．

∴ 反比例函数的解析式为 ．

B(2，-2)． ……………………………………2分

∵ 一次函数 也经过A、B两点，

∴

解得

∴ 一次函数的解析式为 ． ……………………………………3分

（2）如图，-1＜x＜0，或x＞2． ……………………………………5分

17．解：∵ 在△ABC中，∠B =90o，

∴ ∠A +∠ACB = 90o．

∵ AC⊥CE，

∴ ∠ACB +∠ECD =90o．

∴ ∠A=∠ECD． ……………………………………2分

∵ 在△ABC和△CDE中，

∠A=∠ECD，∠B=∠D=90o，

∴ △ABC∽△CDE． ……………………………………3分

∴ ． ……………………………………4分

∵ AB = 3，DE =2，BC =6，

∴ CD =1． ……………………………………5分

18．解：（1）∵ 在△ACD中， ，CD= ，AC=3，

∴ ．

∴ ∠DAC =30o． ……………………………………1分

∵ AD平分∠BAC，

∴ ∠BAC =2∠DAC =60o． ……………………………2分

∴ ∠B =30o． …………………………………………3分

(2) ∵ 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B=30o，AC=3，

∴ AB =2AC =6． ……………………………………4分

． ……………………………………5分

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19 （1）证明：∵ △= …………………………………… 1分

=

=1＞0，

∴ 此抛物线与x轴必有两个不同的交点． …………………………… 2分

（2）解：∵ 此抛物线与直线 的一个交点在y轴上，

∴ ． ………………………………………………………… 3分

∴ ．

∴ ， ． ………………………………………………………… 5分

∴ 的值为 或1．

20．解：如图，作CD⊥AB于点D．

∴ ∠ADC=90°．

∵ 探测线与地面的夹角分别是30°和45°，

∴ ∠DBC=45°，∠DAC=30°．

∵ 在Rt△DBC中，∠DCB=45°，

∴ DB=DC． 2分

∵ 在Rt△DAC中，∠DAC=30°，

∴ AC=2CD． 3分

∵ 在Rt△DAC中，∠ADC=90°，AB=8，

∴ 由勾股定理，得 ．

∴ ． ……………………………………… 4分

∴ ．

∵ 不合题意，舍去．

∴ ．

∴ 有金属回声的点C的深度是( )米． ……………………………… 5分

21（1）证明： 如图，连结 ．

∴ ．

∴ ．

∵ 平分 ,

∴ ．

∴ ． …………………………．．1分

∴ ．

∴ °．

∴ ．

∵ 是⊙O的半径，

∴ AC是⊙O的切线． …………………………………………………………………2分

（2）解：在Rt△ACB中， ，BC=2 , cos∠ABC ,

∴ ． …………………………………………………… 3分

设 的半径为 ，则 ．

∵ ，

∴ ．

∴ ．

∴ ．

解得 ．

∴ 的半径为 ． ………………………………………………………… 5分

22． 解：（1）如图1． ………………………… 1分

（2）猜想tan∠ADF的值为 ．……………………2分

求解过程如下:

如图2.

在BA的延长线上截取AG=CE,连接DG．

∵ 四边形ABCD是正方形,

∴ AD=CD=BC=AB=6,∠DAF= ∠ABC=∠ADC=∠BCD = 90°．

∴ ∠GAD = 90°．

∴ △AGD ≌ △CED． ………………………………3分

∴ ∠GDA=∠EDC ，GD=ED，AG=CE．

∵ ∠FDE=45°,

∴ ∠ADF+∠EDC=45°．

∴ ∠ADF+∠GDA =45°．

∴ ∠GDF=∠EDF ．

∵ DF = DF，

∴ ∠GDF≌∠EDF ． ……………………………… 4分

∴ GF =EF．

设AF=x, 则FB=6-x,

∵ 点E为BC的中点,

∴ BE=EC=3．

∴ AG=3．

∴ FG=EF=3+x．

在Rt△BEF中，∠B =90°，

由勾股定理，得 ,

∴ ．

∴ x=2．

∴ AF=2． ……………………………………………………………… 5分

∴ 在Rt△ADF中，tan∠ADF= ．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23．解：（1）∵点A（1，m）在一次函数 的图象上，

∴ m=3．

∴ 点A的坐标为（1，3）． ………………………………………………………1分

∵点A（1，3）在反比例函数 的图象上 ，

∴ k =3．

∴反比例函数 的表达式为 ． …………………………………………2分

（2）∵点C（n，1）在反比例函数 的图象上，

∴ n=3．

∴ C（3，1）．

∵ A(1,3），

∴ S△AOC =4． …………………………………………………………5分

（3）所有符合条件的点P的坐标：

P1( ，0)，P2( ，0)． ……………………………………………7分

24．（1）证明：如图1．

∵ ∠BAC =∠DAE=90°，∠BAE=∠BAE，

∴ ∠CAE=∠BAD．

在△CAE和△BAD中，

∴ △CAE≌△BAD． …………………………………… 1分

∴ ∠ACF=∠ABD．

∵ ∠ANC=∠BNF，

∴ ∠BFN=∠NAC=90°．

∴ BD⊥CE． …………………………………… 2分

（2）证明：如图1’．

作AG⊥CE于G，AK⊥BD于K．

由（1）知 △CAE ≌△BAD，

∴ CE = BD，S△CAE =S△BAD ． ………………… 3分

∴ AG = AK．

∴ 点A在∠CFD的平分线上． ………… 4分

即 FA是∠CFD的平分线．

（3）如图2．

∵ ∠BAC = 90°，AB =AC，

∴ ∠ACB=∠ABC =45°．

∵ ∠BCE=15°，

∴ ∠ACN =∠ACB-∠BCE= 30°=∠FBN．

在Rt△ACN中

∵ ∠NAC = 90°，AC=2，∠ACN = 30°，

∴ ． …………………………………… 5分

∵ AB=AC=2，

∴ BN= 2- ． …………………………………… 6分

在Rt△ACN中

∵ ∠BFN = 90°，∠FBN = 30°，

∴ ．

∴ ． …………………………………… 7分

25．解：（1）∵ 二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0），B（2，0），

∴

解得

∴ 二次函数的解析式为y= -x2 +x +2． ………………………………………2分

（2）如图1.

∵二次函数的解析式为y=-x2+x+2与y轴相交于点C，

∴ C(0，2)．

设 E(a,b)，且a 0．

∵ A（-1，0），B（2，0），

∴ OA=1，OB=2，OC=2．

则S四边形ABEC= =

∵ 点 E(a,b)是第一象限的抛物线上的一个动点，

∴ b = -a2 +a +2，

∴ S四边形ABEC = - a2+2a+3

= -（a -1）2+4

∴ 当四边形ABEC的面积最大时，点E的坐标为（1,2），且四边形ABEC的最大面积为4．

………………………………………………5分

（3）如图2.

设M(m,n)，且m0．

∵ 点M在二次函数的图象上，

∴ n =-m2 +m +2．

∵ ⊙M与y轴相切，切点为D，

∴ ∠MDC =90°．

∵ 以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，

∴ ，或 ． …………………………………6分

①当n 2时， ．

解得 m1=0(舍去)，m2= ， 或m3=0(舍去)，m4=-1(舍去)．

②同理可得，当n2 时，m1=0(舍去) ，m2= ，或m3=0（舍去），m4=3．

综上，满足条件的点M的坐标为（ ， ），（ ， ），（3，-4）． ……………8分