东城区2015九年级数学上册期中试题(含答案解析)

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．

1．已知 ，则锐角A的度数是

A． B． C． D．

2．下列安全标志图中，是中心对称图形的是

A B C D

3．以下事件为必然事件的是

A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是0

B．多边形的内角和是

C．二次函数的图象必过原点

D．半径为2的圆的周长是

4．将二次函数 的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是

A. B.

C. D.

5． 如图，线段AB是⊙O的直径，弦 CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于

A． 120° B． 140° C． 150° D． 160°

6．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接EC交对角线BD于点F，则

S△DEF：S△BCF等于

A. 1：2 B．1：4 C．1：9 D．4：9

7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数 与反比例函数 在同一坐标系内的图象大致是

A B C D

8．如图，边长为4的正方形ABCD的边BC与直角边分别是2和4的Rt GEF的边GF重合,正方形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿GE向右匀速运动，当点A和点E重合时正方形停止运动.设正方形的运动时间为t秒，正方形ABCD与Rt GEF重叠部分的面积为S，则S关于t的函数图象为

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9．已知反比例函数 (k是常数，且 )的图象在第二、四象限，请写出一个符合条件的反比例函数表达式 ．

10．如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△ ， 交AC于点D，若∠ =90°，则∠A= 度．

11．如图，反比例函数 在第一象限的图象上有两点 ， ，它们的横坐标分别是2，6，则△ 的面积是 .

12．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B,O分别落在点B1,C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A （ ，0），B（0，4），则点B4的坐标为 ,点B2014的坐标为．

三、解答题（本题共30分，每小题 5分）

13．计算： .

14．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′．

（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；

（2）计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过的区域的面积．

15．已知二次函数 .

（1）将 化成 的形式；

（2）当 时， 的最小值是 ，最大值是 ；

（3）当 时，写出 的取值范围.

16．如图，AB是半圆O的直径，点P（不与点A,B重合）为半圆上一点．将图形沿BP折叠，分别得到点A，O的对称点 ， ．设∠ABP =α．

（1）当α=10°时， °；

（2）当点 落在 上时，求出 的度数．

17．如图，在△ABC中，AB=AC=8,BC=6,点D为BC上一点，BD=2.过点D作射线DE交AC于点E，使∠ADE=∠B. 求线段EC的长度。

18． 如图， AB为⊙O的直径,与弦CD相交于点E，且AC=2，AE= ，CE=1．

求 的长度．

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．为了提高学生书写汉字的能力，某市举办了“汉字听写大赛”．为了决定谁将获得仅有的一张观赛券，小王和小李设计了如下的一个规则：不透明的甲袋中有编号分别为1，2，3的乒乓球三个，不透明的乙袋中有编号分别为4，5的乒乓球两个，五个球除了编号不同外，其他均相同．小王和小李分别从甲、乙两个袋子中随机地各摸出一个球，若所摸出的两个球上的数字之和为奇数，则小王去；若两个球上的数字之和为偶数，则小李去．试用列表法或画树状图的方法分析这个规则对双方是否公平？

20．国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如下图，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A处测得高华峰顶F点的俯角为30°，保持方向不变又前 进1200米到达点B处测得F点的俯角为45°．请据此计算高华峰的海拔高度．（结果保留整数，参考数值： ≈1.732）

21．如图，在△ABC中，∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O与边AC交于点D，过点D的直线交BC边于点E，∠BDE=∠A．

（1）证明:DE是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径R=5，tanA= ，求线段CD的长.

22．如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，EF分别是 BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；

探索延伸：

如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝ ∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23．已知二次函数 （a为常数，且a≠0）的图象过点A（0，1），B（1，-2）和点C（-1,6）.

（1）求二次函数表达式；

（2）若 ，比较 与 的大小；

（3）将抛物线 平移，平移后图象的顶点为 ，若平移后的抛物线与直线 有且只有一个公共点，请用含 的代数式表示 .

24.在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），连接AC1、BD1，AC1与BD1交于点P.

（1）如图1，若四边形ABCD是正方形.请直接写出AC1 与BD1的数量关系和位置关系.

（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，判断AC1与BD1的数量关系和位置关系，并给出证明；

（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC=6，BD=12，连接DD1，设AC1=kBD1，

请直接写出k的值和 的值.

25．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（-1，0），另一个交点为B,与y轴的交点为C（0，-3），其顶点为D，对称轴为直线x=1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ACM是以AC为一腰的等腰三角形时，求点M的坐标；

（3）将△OBC沿x轴向右平移m个单位长度（ 0＜m＜3） 得到另一个三角形△EFG，将△EFG与△BCD重叠部分的面积记为S，用含m的代数式表示S．

东城区2015九年级数学上册期中试题(含答案解析)参考答案及评分标准

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案 A B D C B B A B

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

题号 9 10 11 12

答案 等

55

（20，4），（10070，4）

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

14. 解:（1）

………………2分

（2）由图可知，线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积就是扇形B′AB的面积，

其中∠B′AB=90°， ，

∴线段AB在变换到AB′的过程中扫过的区域的面积为： .………5分

15．解：（1） ； ………………2分

（2）-1，8； ……………… 4分

（3） . ………………5分

16.（1）（1）当α=10°时， 20 ……………2分

（2）若点 落在 上，连接OO′.

则OO′=OB.

又∵点 关于直线 对称，

∴ .

∴ △BOO′是等边三角形.

∴ ∠OBO′=60°.

∴α= ∠OBO′=30°. ……………5分

18．解：连接OC，

∵△ACE中，AC=2，AE= ，CE=1，

∴AE2+CE2=AC2，

∴△ACE是直角三角形，即AE⊥CD．┉┉┉２分

∴∠A=30°．

∴∠COE=60°．┉┉┉3分

∵AE⊥CD，

∴ = ，

∴ 的长度l= = ．┉┉┉５分

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19.解：列表或画树状图正确． ………………………………………………… 2分

∵ P(两个球上的数字之和为奇数)= ，

P(两个球上的数字之和为偶数)= ，

∴ 这个规则公平． ……………………………………………………… 5分

答：钓鱼岛的最高海拔高度约362米．

21. （1）解：连接OD.

∵OA=OD,

∴∠ODA=∠A.

又∵∠BDE=∠A,

∴∠ODA=∠BDE.

∵AB是⊙O直径,

∴∠ADB=90.°

即∠ODA+∠ODB=90°.

∴∠BDE+∠ODB=90°.

∴ .

∴DE是⊙O的切线.…………………２ 分

（2）∵R=5,

∴AB=10.

∵tanA= ＝

∴BC= AB?tanA=10× =

∴AC= ……………３分

∵∠BDC=∠ABC=90°，∠BCD=∠ACB,

∴△BCD∽△ACB .

∴

∴　 ……………５分

22．解： EF＝BE＋FD.………………………1分

探索延伸：EF＝BE＋FD仍然成立.………………………2分

证明：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，

∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADG＋∠ADC＝180°，

∴∠B＝∠ADG.

又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG.

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.

又∵∠EAF＝ ∠BAD，

∴∠FAG＝∠FAD＋∠DAG

＝∠FAD＋∠BAE

＝∠BAD－∠EAF

＝∠BAD－ ∠BAD

＝ ∠BAD .

∴∠EAF＝∠F AG.

∴△AEF≌△AGF.

∴EF＝GF.

又∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF,

∴EF＝BE＋FD. ………………………5分

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23.解：（1）∵抛物线过点 , , ,

∴

∴

∴ .………………………2分

(2)∵当 时， 随 的增大而增大，

∴当 时， ，即 .…………………4分

(3) 由（1）知， .设平移后的抛物线的表达式为 .

∵直线与抛物线有且只有一个公共点，

∴方程 有两个相等的实数根.

整理得： .

∴ .

∴ . ………………………7分

（2） .

证明：∵四边形ABCD是菱形,

∴OC＝OA= ＡＣ，ＯＤ＝OB= ＢＤ，AC⊥BD.

∵△C1OD1由△COD绕点O旋转得到,

∴O C1= OC，O D1=OD，∠CO C1=∠DO D1.

∴O C1＝OA ，O D1＝OB，∠AO C1=∠BO D1,

∴ .

∴ .

∴△AO C1∽△BOD1.………………………………4分

∴∠O AC1= ∠OB D1.

又∵∠AOB=90°,

∴∠O AB+∠ABP+∠OB D1=90°.

∴∠O AB+∠ABP+∠O AC1=90°.

∴∠APB=90°.

∴ＡC1⊥BD1。……………………………………………5分

∵△AO C1∽△BOD1,,,,

∴ .

即 .

（3） .……………………………………………6分

.…………………………………7分

25. 解：（1）由题意可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为B（3，0），

则,

解得 ．

故抛物线的解析式为 . ----------------2分

（2）①当AC=AM时，M ；

②当AC=CM时，M 或M ．

所以,点M的坐标为 , , ;----------------４分

（3）记平移后的三角形为△EFG．

设直线BC的解析式为y=kx+b，则

解得

则直线BC的解析式为 ．

△OBC沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到△EFG，

易得直线FG的解析式为 ．

设直线BD的解析式为y=k′x+b′，则

解得

则直线BD的解析式为 ．

连结CG，直线CG交BD于H，则H（ ，-3）．

在△OBC沿x轴向右平移的过程中．

①当0＜m≤ 时，如图1所示．

设EG交BC于点P，GF交BD于点Q．

则CG=BF=m，BE=PE=3﹣ m，

联立 ，

解得 ，

即点Q（3﹣m，-2m）． 图1

②当 ＜m＜3时，如图2所示．

设EG交BC于点P，交BD于点N．

则OE=m，BE=PE=3﹣ m，

又 因为直线BD的解析式为 ，

所以当x=m时，得y=2m﹣6，

所以点N（m，2m-6）． 图2

综上所述，当0＜m≤ 时，S=﹣ m2+3m；当 ＜m＜3时，S= m2﹣3m+ ．---------------8分