哈尔滨市2015初三年级数学上册期中试卷(含答案解析)

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．下列各数中，比﹣1小的数是（）

A． 0 B． 1 C． ﹣2 D． 2

2．平面直角坐标系内一点P（﹣3，4）关于原点对称点的坐标是（）

A． （3，4） B． （﹣3，﹣4） C． （3，﹣4） D． （4，﹣3）

3．哈尔滨市地域广阔，总面积为53 200平方公里，这个数用科学记数法表示为（）

A． 5.32×104 B． 5.32×103 C． 5.32×102 D． 53.2×104

4．下列计算正确的是（）

A． x2+x3=x5 B． x2?x3=x6 C． （x2）3=x5 D． x5÷x3=x2

5．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）

A． B． C． D．

6．已知反比例函数 在其图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值的增大而减小，则k的取值范围是（）

A． k＜2 B． k≤2 C． k＞2 D． k≥2

7．如果将抛物线y=x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位，那么所得的抛物线的表达式是（）

A． y=（x﹣1）2+2 B． y=（x﹣1）2﹣2 C． y=（x+1）2﹣2 D． y=（x+1）2+2

8．已知：如图，AB是圆O的直径，CD为弦，连AD、AC，∠CAB=55°，则∠D=（）

A． 55° B． 50° C． 35° D． 45°

9．下列命题正确的为（）

A． 平分弦的直径垂直于弦

B． 过三点可以作圆

C． 在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等

D． 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等

10．如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP=x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是（）

A． B． C． D．

二、填空题（每小题3分，共30分）

11．计算 =．

12．函数 中，自变量x的取值范围是．

13．分解因式：9a﹣ab2=．

14．不等式组 的解集是．

15．若函数 ﹣x+2是关于x的二次函数，则k=．

16．已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为米．

17．⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2﹣4x+m=0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为．

18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=6，Rt△AB′C′可以看作是由Rt△ABC绕点A逆时针方向旋转60°得到的，则线段B′C的长为．

19．O为△ABC的外心，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是度．

20．△ABC中，AB=5，BC=8，∠ABC=60°，则△ABC的内切圆半径为．

三、解答题（共60分，第21题-第22题每题6分，第23题-第24题每题8分，第25题-第26题每题10分，第27题12分）．

21．先化简，再求值： ，其中 ．

22．图1、图2分别是12×6的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个网格中画有一个四边形．请分别在图1、图2中各画一条线段，满足以下要求：

（1）线段的一个端点为四边形的顶点，另一个端点在四边形一边的格点上（每个小正方形的顶点均为格点）；

（2）将四边形分成两个图形（图1、图2中的分法各不相同），其中一个图形是轴对称的三角形．

23．哈六十九中学为了解该校学生喜欢球类活动的情况，随机抽取了若干名学生进行问卷调查（要求每位学生只能填写一种自己喜欢的球类），并将调查的结果绘制成如图的两幅不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下面的问题：

（1）在这次调查中，参与问卷调查的学生共有多少名学生？

（2）若学校有5 000名学生，估计喜欢足球的学生共有多少名学生？

24．哈六十九中学校要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围成一个矩形ABCD生物园（如图所示），设矩形的边AB（AB＞BC）为x米，面积为y平方米．

（1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；

（2）当x为多少米时，y有最大值？并求出这个最大值．

[参考公式：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当x= 时，y最大（小）值= ]．

25．（10分）（2014秋?哈尔滨校级期中）如图，已知：⊙O为△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，BA平分∠CBE，AD⊥BE，垂足为D．

（1）求证：AD为⊙O的切线；

（2）若tan∠ABD= ，AC=8，求⊙O的直径BC的长．

26．（10分）（2014秋?哈尔滨校级期中）哈六十九中校团委为了教育学生，开展了以感恩为主题的有奖征文活动，并为获奖的同学颁发奖品．小红与小明去文化商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本20个，乙种笔记本10个，共用110元，且买甲种笔记本30个比买乙种笔记本20个少花10元．

（1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？

（2）若本次购进甲种笔记本的数量比乙种笔记本的数量的2倍还少10个，且购买这两种笔记本的总金额不超过320元，求本次乙种笔记本最多购买多少个？

27．（12分）（2014秋?哈尔滨校级期中）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c，与x轴交于点A、B，且点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），D为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式及D点的坐标；

（2）P为第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为N，PN交线段BC于M，连接PC、PB，设P点的横坐标为t，△PBC的面积为S，求S与t的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，连接OM，当t为何值时，△OMN与△CDB相似．

哈尔滨市2015初三年级数学上册期中试卷(含答案解析)参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．下列各数中，比﹣1小的数是（）

A． 0 B． 1 C． ﹣2 D． 2

考点： 有理数大小比较．

专题： 探究型．

分析： 根据有理数比较大小的法则进行比较即可．

解答： 解：∵﹣1是负数，

∴﹣1＜0，故A错误；

∵2＞1＞0，

∴2＞1＞0＞﹣1，故B、D错误；

∵|﹣2|＞|﹣1|，

∴﹣2＜﹣1，故C正确．

故选C．

点评： 本题考查的是有理数大小比较的法则：

①正数都大于0；

②负数都小于0；

③正数大于一切负数；

④两个负数，绝对值大的其值反而小．

2．平面直角坐标系内一点P（﹣3，4）关于原点对称点的坐标是（）

A． （3，4） B． （﹣3，﹣4） C． （3，﹣4） D． （4，﹣3）

考点： 关于原点对称的点的坐标．

分析： 根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案．

解答： 解：∵P（﹣3，4），

∴关于原点对称点的坐标是（3，﹣4），

故选：C．

点评： 此题主要考查了原点对称的点的坐标特点，关键是掌握坐标的变化规律：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．

3．哈尔滨市地域广阔，总面积为53 200平方公里，这个数用科学记数法表示为（）

A． 5.32×104 B． 5.32×103 C． 5.32×102 D． 53.2×104

考点： 科学记数法—表示较大的数．

分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

解答： 解：53 200=5.32×104，

故选：A．

点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．下列计算正确的是（）

A． x2+x3=x5 B． x2?x3=x6 C． （x2）3=x5 D． x5÷x3=x2

考点： 同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

分析： 根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，分别进行计算，即可选出答案．

解答： 解：A、x2与x3不是同类项，不能合并，故此选项错误；

B、x2?x3=x2+3=x5，故此选项错误；

C、（x2）3=x6，故此选项错误；

D、x5÷x3=x2，故此选项正确；

故选：D．

点评： 此题主要考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，很容易混淆，一定要记准法则才能做题．

5．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）

A． B． C． D．

考点： 中心对称图形；轴对称图形．

分析： 根据轴对称图形和中心对称图形的定义可直接得到答案．

解答： 解：A、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；

C、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；

D、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；

故选：B．

点评： 此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：

轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；

中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

6．已知反比例函数 在其图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值的增大而减小，则k的取值范围是（）

A． k＜2 B． k≤2 C． k＞2 D． k≥2

考点： 反比例函数的性质．

分析： 先根据反比例函数 的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．

解答： 解：∵反比例函数 的图象在每一个象限内，y随x的增大而减小，

∴k﹣2＞0，

∴k＞＞2．

故选C．

点评： 本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y= （k≠0）的图象是双曲线，当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．

7．如果将抛物线y=x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位，那么所得的抛物线的表达式是（）

A． y=（x﹣1）2+2 B． y=（x﹣1）2﹣2 C． y=（x+1）2﹣2 D． y=（x+1）2+2

考点： 二次函数图象与几何变换．

分析： 直接根据二次函数图象平移的法则即可得出结论．

解答： 解：根据“上加下减，左加右减”的法则可知，将抛物线y=x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位所得抛物线的表达式是y=（x﹣1）2+2．

故选：A．

点评： 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．

8．已知：如图，AB是圆O的直径，CD为弦，连AD、AC，∠CAB=55°，则∠D=（）

A． 55° B． 50° C． 35° D． 45°

考点： 圆周角定理．

分析： 由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，∠ACB=90°，又由直角三角形的两锐角互余，即可求得∠B的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得答案．

解答： 解：∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠CAB=55°，

∴∠B=90°﹣∠CAB=35°，

∴∠ADC=∠B=35°．

故选：C．

点评： 此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用，注意数形结合思想的应用．

9．下列命题正确的为（）

A． 平分弦的直径垂直于弦

B． 过三点可以作圆

C． 在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等

D． 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等

考点： 命题与定理．

分析： 利用垂径定理、确定圆的条件、圆周角定理及三角形的外心的性质分别判断后即可确定正确的选项．

解答： 解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误；

B、过不在同一直线上的三点可以作一个圆，故错误；

C、在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等或互补，故错误；

D、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，

故选D．

点评： 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解垂径定理、确定圆的条件、圆周角定理及三角形的外心的性质，难度不大．

10．如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP=x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是（）

A． B． C． D．

考点： 动点问题的函数图象．

分析： 根据已知得出S与x之间的函数关系式，进而得出函数是二次函数，当x=﹣ =2时，S取到最小值为： =0，即可得出图象．

解答： 解：∵A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，

∴AO=2，OP=x，则AP=2﹣x，

∴tan60°= = ，

解得：AB= （2﹣x）=﹣ x+2 ，

∴S△ABP= ×PA×AB= （2﹣x）? ?（﹣x+2）= x2﹣2 x+2 ，

故此函数为二次函数，

∵a= ＞0，

∴当x=﹣ =2时，S取到最小值为： =0，

根据图象得出只有D符合要求．

故选：D．

点评： 此题主要考查了动点函数的图象，根据已知得出S与x之间的函数解析式是解题关键．

二、填空题（每小题3分，共30分）

11．计算 =　6　．

考点： 二次根式的乘除法．

分析： 根据二次根式的乘法法则求解．

解答： 解：原式= = =6．

故答案为：6．

点评： 本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则．

12．函数 中，自变量x的取值范围是　x≠1　．

考点： 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．

分析： 分式的意义可知分母：就可以求出x的范围．

解答： 解：根据题意得：x﹣1≠0，

解得：x≠1．

故答案为：x≠1．

点评： 主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

13．分解因式：9a﹣ab2=　a（3+b）（3﹣b）　．

考点： 提公因式法与公式法的综合运用．

专题： 因式分解．

分析： 先提取公因式a，再根据平方差公式进行二次分解．

解答： 解：9a﹣ab2=a（9﹣b2）=a（3+b）（3﹣b）．

故答案为：a（3+b）（3﹣b）．

点评： 本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意分解要彻底．

14．不等式组 的解集是　3＜x＜4　．

考点： 解一元一次不等式组．

专题： 计算题．

分析： 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．

解答： 解： ，

解①得：x＞3，

解②得：x＜4．

则不等式组的解集是：3＜x＜4．

故答案是：3＜x＜4

点评： 本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．

15．若函数 ﹣x+2是关于x的二次函数，则k=　﹣2　．

考点： 二次函数的定义．

分析： 根据二次函数定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可得k2﹣2=2，且k﹣2≠0．

解答： 解：由题意得：k2﹣2=2，且k﹣2≠0，

解得：k=﹣2；

故答案为：﹣2．

点评： 此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）是二次函数，注意a≠0这一条件．

16．已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为　26　米．

考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

专题： 应用题．

分析： 首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案．

解答： 解：如图，由题意得：斜坡AB的坡度：i=1：2.4，AE=10米，AE⊥BD，

∵i= = ，

∴BE=24米，

∴在Rt△ABE中，AB= =26（米）．

故答案为：26．

点评： 此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义．

17．⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2﹣4x+m=0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为　4　．

考点： 直线与圆的位置关系；根的判别式．

专题： 判别式法．

分析： 先根据切线的性质得出方程有且只有一个根，再根据△=0即可求出m的值．

解答： 解：∵d、R是方程x2﹣4x+m=0的两个根，且直线L与⊙O相切，

∴d=R，

∴方程有两个相等的实根，

∴△=16﹣4m=0，

解得，m=4，

故答案为：4．

点评： 本题考查的是切线的性质及一元二次方程根的判别式，熟知以上知识是解答此题的关键．

18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=6，Rt△AB′C′可以看作是由Rt△ABC绕点A逆时针方向旋转60°得到的，则线段B′C的长为　 　．

考点： 旋转的性质．

专题： 压轴题．

分析： 作B′E⊥AC交CA的延长线于E，由直角三角形的性质求得AC、AE，BC的值，根据旋转再求出对应角和对应线段的长，再在直角△B′EC中根据勾股定理求出B′C的长度．

解答： 解：如图，作B′E⊥AC交CA的延长线于E．

∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=6，

∴∠ABC=30°，

∴AC= AB=3，

∵Rt△AB′C′可以看作是由Rt△ABC绕点A逆时针方向旋转60°得到的，

∴AB=AB′=6，∠B′AC′=60°，

∴∠EAB′=180°﹣∠B′AC′﹣∠BAC=60°．

∵B′E⊥EC，

∴∠AB′E=30°，

∴AE=3，

∴根据勾股定理得出：B′E= =3 ，

∴EC=AE+AC=6，

∴B′C= = =3 ．

故答案为：3 ．

点评： 本题把旋转的性质和直角三角形的性质结合求解，考查了学生综合运用数学知识的能力．

19．O为△ABC的外心，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是　80或100　度．

考点： 三角形的外接圆与外心．

分析： 分点B在优 上和点B在劣 上两种情况讨论，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质解答即可．

解答： 解：当点B在优 上时，

∠ABC= ∠AOC=160°=80°；

当点B在劣 上时，

∠ABC=180°﹣80°=100°．

故答案为：80或100．

点评： 本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半和圆内接四边形对角互补是解题的关键．

20．△ABC中，AB=5，BC=8，∠ABC=60°，则△ABC的内切圆半径为　 　．

考点： 三角形的内切圆与内心．

分析： 作AD⊥BC于D，根据直角三角形的性质和勾股定理求出BD、AD的长，根据三角形的面积= ×（AB+BC+AC）×r计算即可．

解答： 解：作AD⊥BC于D，

∵∠ABC=60°，

∴∠BAD=30°，∴BD= AB= ，

∴AD= ，CD=BC﹣BD= ，

∴AC=7，

设△ABC的内切圆半径为r，

×（AB+BC+AC）×r= ×BC×AD，

解得，r= ．

故答案为： ．

点评： 本题考查的是三角形内心的性质，掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点和角平分线的性质是解题的关键．

三、解答题（共60分，第21题-第22题每题6分，第23题-第24题每题8分，第25题-第26题每题10分，第27题12分）．

21．先化简，再求值： ，其中 ．

考点： 分式的化简求值；特殊角的三角函数值．

分析： 先化除法为乘法，对所求的代数式进行化简，然后代入求值．

解答： 解：原式= × +1，

=x﹣1+1，

=x．

把 = 代入，得

原式=x= ．

点评： 本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．

22．图1、图2分别是12×6的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个网格中画有一个四边形．请分别在图1、图2中各画一条线段，满足以下要求：

（1）线段的一个端点为四边形的顶点，另一个端点在四边形一边的格点上（每个小正方形的顶点均为格点）；

（2）将四边形分成两个图形（图1、图2中的分法各不相同），其中一个图形是轴对称的三角形．

考点： 利用轴对称设计图案．

分析： 根据轴对称图形的定义，等腰三角形是轴对称性图形，可得答案．

解答： 解：如图：

，

图1，图2中△ABC都是轴对称图形．

点评： 本题考查了利用轴对称设计图案，解答此题要明确：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形；对称轴：折痕所在的这条直线叫做对称轴．

23．哈六十九中学为了解该校学生喜欢球类活动的情况，随机抽取了若干名学生进行问卷调查（要求每位学生只能填写一种自己喜欢的球类），并将调查的结果绘制成如图的两幅不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下面的问题：

（1）在这次调查中，参与问卷调查的学生共有多少名学生？

（2）若学校有5 000名学生，估计喜欢足球的学生共有多少名学生？

考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．

分析： （1）根据喜爱乒乓球的人数除以喜爱乒乓球所占的百分比，可得答案；

（2）根据有理数的减法，可得喜爱足球的人数，根据全校学生的人数乘以喜爱足球人数所占的百分比，可得答案．

解答： 解：（1）60÷20%=300（名）．

答：在这次调查中，参与问卷调查的学生共有300名学生；

（2）调查中喜爱足球的人数300﹣60﹣120﹣30=90人，

5000× =1500（人）．

答：喜欢足球的学生共有1500名学生．

点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

24．哈六十九中学校要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围成一个矩形ABCD生物园（如图所示），设矩形的边AB（AB＞BC）为x米，面积为y平方米．

（1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；

（2）当x为多少米时，y有最大值？并求出这个最大值．

[参考公式：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当x= 时，y最大（小）值= ]．

考点： 二次函数的应用．

分析： （1）矩形的边AB（AB＞BC）为x米，面积为y平方米，根据矩形面积公式“面积=长×宽”列出函数的关系式；

（2）求出顶点坐标，根据二次函数的性质即可解决．

解答： 解：（1）矩形的边AB（AB＞BC）为x米，面积为y平方米，则

y=x（20﹣x）﹣﹣x2+20x；

（2）y=﹣x2+20x=﹣（x﹣10）2+100

∴当x=10米时，y有最大值，最大值为100m2．

点评： 本题考查了二次函数的应用．关键是根据矩形面积公式列出函数式，利用二次函数的性质解题．

25．（10分）（2014秋?哈尔滨校级期中）如图，已知：⊙O为△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，BA平分∠CBE，AD⊥BE，垂足为D．

（1）求证：AD为⊙O的切线；

（2）若tan∠ABD= ，AC=8，求⊙O的直径BC的长．

考点： 切线的判定．

分析： （1）要证AD是⊙O的切线，连接OA，只证∠DAO=90°即可．

（2）根据三角函数的知识可求出AB，从而根据勾股定理求出BC的长，得出⊙O的直径．

解答： （1）略（2）10

（1）证明：连接OA；

∵BC为⊙O的直径，BA平分∠CBE，AD⊥BE，

∴∠ADB=∠BAC=90°，∠DBA=∠CBA；

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠DAO=∠DAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°，

∴DA为⊙O的切线．

（2）解：∵∠DBA=∠CBA，tan∠ABD= ，AC=8，

∴tan∠CBA= ，

∴AB= = =6，

∴BC= = =10，

∴⊙O的直径BC为10．

点评： 本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了三角函数的知识．

26．（10分）（2014秋?哈尔滨校级期中）哈六十九中校团委为了教育学生，开展了以感恩为主题的有奖征文活动，并为获奖的同学颁发奖品．小红与小明去文化商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本20个，乙种笔记本10个，共用110元，且买甲种笔记本30个比买乙种笔记本20个少花10元．

（1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？

（2）若本次购进甲种笔记本的数量比乙种笔记本的数量的2倍还少10个，且购买这两种笔记本的总金额不超过320元，求本次乙种笔记本最多购买多少个？

考点： 一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．

分析： （1）首先设甲种笔记本的单价是x元，乙种笔记本的单价是y元，根据题意可得：①20个甲种笔记本的价格+10个乙种笔记本的价格=110元；②甲种笔记本30个的价格+10=乙种笔记本20个的价格，根据等量关系列出方程组，再解即可；

（2）设乙种笔记本购买a个，由题意得不等关系：3×甲种笔记本的数量+5×乙种笔记本的数量≤320元，根据不等关系列出不等式，再解即可．

解答： 解：（1）设甲种笔记本的单价是x元，乙种笔记本的单价是y元，由题意得：

，

解得 ．

答：甲种笔记本的单价是3元；乙种笔记本的单价是5元；

（2）设乙种笔记本购买a个，由题意得：

3（2a﹣10）+5a≤320，

解得： ，

∵a为整数，

∴a取31．

答：本次乙种笔记本最多购买31个．

点评： 此题主要考查了一元一次不等式的应用，以及二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系或不等关系，列出不等式或方程．

27．（12分）（2014秋?哈尔滨校级期中）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c，与x轴交于点A、B，且点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），D为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式及D点的坐标；

（2）P为第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为N，PN交线段BC于M，连接PC、PB，设P点的横坐标为t，△PBC的面积为S，求S与t的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，连接OM，当t为何值时，△OMN与△CDB相似．

考点： 二次函数综合题．

分析： （1）代入点A（﹣1，0），点C（0，3）求得函数解析式即可；进一步利用顶点坐标公式求得答案即可；

（2）设P点的横坐标为t，纵坐标为﹣t2+2t+3，利用三角形PBN的面积加上梯形CONP的面积减去三角形OBC的面积表示出三角形PBC的面积即可；

（3）利用勾股定理分别求得DC、DB、BC的长，利用勾股定理逆定理判定三角形BCD是直角三角形，求得BC解析式，设出M点的坐标，再利用三角形相似的性质分两种直角边对应求得答案即可．

解答： 解：（1）把A（﹣1，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，

解得b=2，c=3，

抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；

﹣ =1， =4，

顶点D为（1，4）；

（2）如图，

由题意可知点P（t，﹣t2+2t+3）

S= （3﹣t）（﹣t2+2t+3）+ t（3﹣t2+2t+3）﹣ ×3×3

=﹣ t2+ t；

（3）如图，

由题意可知：BC=3 ，CD= ，BD=2 ，

∵BC2+CD2=BD2，

∴△BCD是直角三角形，∠BCD=90°，

∵B（3，0），C（0，3），

∴直线BC=﹣x+3，

设M点的坐标为（t，﹣t+3），

∵△OMN∽△CDB，

∴ = 或 = ，

即 = 或 =

解得 或 ．

点评： 此题考查二次函数综合题，综合考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，勾股定理逆定理的运用，相似的性质，以及渗透分类讨论思想．