福建省龙岩市2015初三数学上册期中测试卷(含答案解析)

一、选择题（本大题共11小题，每小题4分，共40分）

1．抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点是( )

A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）

2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40°，则∠AOC的度数为( )

A．20° B．40° C．60° D．80°

3．某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨．若平均每月增长率是x，则可以列方程( )

A．500（1+2x）=720 B．500（1+x）2=720 C．500（1+x2）=720 D．720（1+x）2=500

4．如果关于x的一元二次方程ax2+x﹣1=0有实数根，则a的取值范围是( )

A．a＞﹣ B．a≥﹣ C．a≥﹣ 且a≠0 D．a＞ 且a≠0

5．如图，下列图形中，是中心对称图形的是( )

A． B． C． D．

6．下列事件是随机事件的为( )

A．度量三角形的内角和，结果是180°

B．经过城市中有交通信号灯的路口，遇到红灯

C．爸爸的年龄比爷爷大

D．通常加热到100℃时，水沸腾

7．将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为( )

A．y=（x+1）2+4 B．y=（x﹣1）2+4 C．y=（x+1）2+2 D．y=（x﹣1）2+2

8．已知一个圆锥的侧面积是150π，母线为15，则这个圆锥的底面半径是( )

A．5 B．10 C．15 D．20

9．将抛物线y=x2向左平移2个单位，所得抛物线的解析式为( )

A．y=x2﹣2 B．y=x2+2 C．y=（x+2）2 D．y=（x﹣2）2

10．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是( )

A．AE＞BE B． = C．∠AEC=2∠D D．∠B=∠C．

11．如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB．设AP=x，△PBE的面积为y．则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是( )

A．. B．. C．. D．.

二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）

12．已知⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线L的距离为3.5cm，那么直线L与⊙O的位置关系是__________．

13．如果扇形的圆心角为120°，半径为3cm，那么扇形的面积是__________cm2，弧长__________cm．

14．一个口袋里放有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是白色的，一枚是红色的．从中随机摸出一枚记下颜色，放回口袋搅匀，再从中随机摸出一枚记下颜色，两次摸出棋子颜色不同的概率是__________．

15．如图所示，圆O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么AB的长是__________．

16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= 经过平移得到抛物线y= ，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为__________．

17．若a、b（a＜b）是方程2x2﹣7x+3=0的两根，则点（a，b）关于x轴的对称点的坐标是__________．

18．如图所示，点A是半圆上的一个三等分点，B是劣弧 的中点，点P是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1，则AP+PB的最小值__________．

三、解答题（本大题共8题，共89分）

19．已知二次函数y=x2+2x﹣1．

（1）写出它的顶点坐标；

（2）当x取何值时，y随x的增大而增大；

（3）求出图象与x轴的交点坐标．

20．设点A的坐标为（x，y），其中横坐标x可取﹣1、2，纵坐标y可取﹣1、1、2．

（1）求出点A的坐标的所有等可能结果（用树状图或列表法求解）；

（2）试求点A与点B（1，﹣1）关于原点对称的概率．

21．为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．

（1）求w与x之间的函数关系式．

（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？

22．如图，已知二次函数y=x2﹣4x+3的图象交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．

（1）求直线BC的解析式；

（2）点D是在直线BC下方的抛物线上的一个动点，当△BCD的面积最大时，求D点坐标．

23．如图所示，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．

（1）请直接写出点A关于原点O对称的点的坐标；

（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，求A点经过的路径长；

（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．

24．如图，OC平分∠MON，点A在射线OC上，以点A为圆心，半径为2的⊙A与OM相切于点B，连接BA并延长交⊙A于点D，交ON于点E．

（1）求证：ON是⊙A的切线；

（2）若∠MON=60°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

25．（13分）已知关于x的一元二次方程kx2+（3k+1）x+3=0（k≠0）．

（1）求证：无论k取何值，方程总有两个实数根；

（2）若二次函数y=kx2+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为整数，求k的值．

解：

26．（14分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，以AB为直径的半⊙Oˊ与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是半⊙Oˊ的切线，AD⊥CD于点D．

（1）求证：∠CAD=∠CAB；

（2）已知抛物线y=ax2+bx+c过A、B、C三点，AB=10，AC=2BC．

①求抛物线的解析式；

②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由．

福建省龙岩市2015初三数学上册期中测试卷(含答案解析)参考答案及试题解析：

一、选择题（本大题共11小题，每小题4分，共40分）

1．抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点是( )

A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）

【考点】二次函数的性质．

【分析】已知抛物线解析式为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写成顶点坐标．

【解答】解：因为抛物线y=2（x﹣1）2+2是顶点式，

根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为（1，2）．

故选B．

【点评】抛物线的顶点式的应用．

2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40°，则∠AOC的度数为( )

A．20° B．40° C．60° D．80°

【考点】圆周角定理．

【分析】由⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40°，根据圆周角定理，即可求得答案．

【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=40°，

∴∠AOC=2∠ABC=80°．

故选：D．

【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．

3．某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨．若平均每月增长率是x，则可以列方程( )

A．500（1+2x）=720 B．500（1+x）2=720 C．500（1+x2）=720 D．720（1+x）2=500

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．

【专题】增长率问题．

【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设平均每月增率是x，那么根据三月份的产量可以列出方程．

【解答】解：设平均每月增率是x，

二月份的产量为：500×（1+x）；

三月份的产量为：500（1+x）2=720；

故本题选B．

【点评】找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键；本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b（当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“﹣”）．

4．如果关于x的一元二次方程ax2+x﹣1=0有实数根，则a的取值范围是( )

A．a＞﹣ B．a≥﹣ C．a≥﹣ 且a≠0 D．a＞ 且a≠0

【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．

【分析】在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：

（1）二次项系数不为零；

（2）在有实数根的情况下必须满足△=b2﹣4ac≥0．

【解答】解：依题意列方程组

，

解得a≥﹣ 且a≠0．故选C．

【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．

5．如图，下列图形中，是中心对称图形的是( )

A． B． C． D．

【考点】中心对称图形．

【分析】根据中心对称图形的概念，即可求解．

【解答】解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，只有A符合；

B，C，D不是中心对称图形．

故选；A．

【点评】本题考查了中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

6．下列事件是随机事件的为( )

A．度量三角形的内角和，结果是180°

B．经过城市中有交通信号灯的路口，遇到红灯

C．爸爸的年龄比爷爷大

D．通常加热到100℃时，水沸腾

【考点】随机事件．

【分析】随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，依据定义即可作出判断．

【解答】A、是必然事件，选项错误；

B、正确；

C、是不可能事件，选项错误；

D、是必然事件，选项错误．

故选B．

【点评】解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

7．将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为( )

A．y=（x+1）2+4 B．y=（x﹣1）2+4 C．y=（x+1）2+2 D．y=（x﹣1）2+2

【考点】二次函数的三种形式．

【分析】本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可．

【解答】解：y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2．

故选：D．

【点评】二次函数的解析式有三种形式：

（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；

（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；

（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．

8．已知一个圆锥的侧面积是150π，母线为15，则这个圆锥的底面半径是( )

A．5 B．10 C．15 D．20

【考点】圆锥的计算．

【分析】根据圆锥的侧面积=底面半径×母线长×π，进而求出即可．

【解答】解：∵母线为15，设圆锥的底面半径为x，

∴圆锥的侧面积=π×15×x=150π．

解得：x=10．

故选：B．

【点评】本题考查了圆锥的计算，熟练利用圆锥公式求出是解题关键．

9．将抛物线y=x2向左平移2个单位，所得抛物线的解析式为( )

A．y=x2﹣2 B．y=x2+2 C．y=（x+2）2 D．y=（x﹣2）2

【考点】二次函数图象与几何变换．

【专题】存在型．

【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．

【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2向左平移2个单位，所得抛物线的解析式为：y=（x+2）2．

故选C．

【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．

10．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是( )

A．AE＞BE B． = C．∠AEC=2∠D D．∠B=∠C．

【考点】垂径定理；圆周角定理．

【分析】根据垂径定理和圆周角定理判断即可．

【解答】解：∵AB⊥CD，CD过O，

∴AE=BE，弧AD=弧BD，

连接OA，

则∠AOC=2∠ADE，

∵∠AEC＞∠AOC，

∴∠AEC=2∠D错误；

∵AB不是直径，

∴根据已知不能推出弧AC=弧BD，

∴∠B和∠C不相等，

即只有选项B正确；选项A、C、D都错误；

故选A．

【点评】本题考查了垂径定理和圆周角定理的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力．

11．如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB．设AP=x，△PBE的面积为y．则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是( )

A．. B．. C．. D．.

【考点】动点问题的函数图象．

【分析】过点P作PF⊥BC于F，若要求△PBE的面积，则需要求出BE，PF的值，利用已知条件和正方形的性质以及勾股定理可求出BE，PF的值．再利用三角形的面积公式得到y与x的关系式，此时还要考虑到自变量x的取值范围和y的取值范围．

【解答】解：过点P作PF⊥BC于F，

∵PE=PB，

∴BF=EF，

∵正方形ABCD的边长是1，

∴AC= = ，

∵AP=x，∴PC= ﹣x，

∴PF=FC= （ ﹣x）=1﹣ x，

∴BF=FE=1﹣FC= x，

∴S△PBE= BE?PF= x（1﹣ x）=﹣ x2+ x，

即y=﹣ x2+ x（0＜x＜ ），

∴y是x的二次函数（0＜x＜ ），

故选D．

【点评】本题考查了动点问题的函数图象，和正方形的性质；等于直角三角形的性质；三角形的面积公式．对于此类问题来说是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．

二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）

12．已知⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线L的距离为3.5cm，那么直线L与⊙O的位置关系是相交．

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】运用直线与圆的三种位置关系，结合3.5＜4，即可解决问题．

【解答】解：∵⊙O的半径为4，

圆心O到直线L的距离为3.5，而3.5＜4，

∴直线L与⊙O相交．

故答案为：相交．

【点评】该题主要考查了直线与圆的位置关系及其应用问题；若圆的半径为λ，圆心到直线的距离为μ，当λ＞μ时，直线与圆相交；当λ=μ时，直线与圆相切；当λ＜μ时，直线与圆相离．

13．如果扇形的圆心角为120°，半径为3cm，那么扇形的面积是3πcm2，弧长2πcm．

【考点】扇形面积的计算；弧长的计算．

【分析】先根据扇形的面积公式计算出扇形的面积，再根据弧长公式计算出其弧长即可．

【解答】解：∵扇形的圆心角为120°，半径为3cm，

∴S扇形= =3π（cm2）；l= =2π（cm）．

故答案为：3π，2π．

【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．

14．一个口袋里放有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是白色的，一枚是红色的．从中随机摸出一枚记下颜色，放回口袋搅匀，再从中随机摸出一枚记下颜色，两次摸出棋子颜色不同的概率是 ．

【考点】列表法与树状图法．

【专题】计算题．

【分析】根据题意列出表格得出所有等可能的情况数，找出颜色不同的情况数，即可求出所求的概率．

【解答】解：列表如下：

白 白 红

白 （白，白） （白，白） （红，白）

白 （白，白） （白，白） （红，白）

红 （白，红） （白，红） （红，红）

所有等可能的情况有9种，其中两次摸出棋子颜色不同的情况有5种，

则P（颜色不同）= ．

故答案为： ．

【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

15．如图所示，圆O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么AB的长是8．

【考点】垂径定理；勾股定理．

【分析】如图，连接OA；首先求出OE的长度；借助勾股定理求出AE的长度，即可解决问题．

【解答】 解：如图，连接OA；

OE=OC﹣CE=5﹣2=3；

∵OC⊥AB，

∴AE=BE；

由勾股定理得：AE2=OA2﹣OE2，

∵OA=5，OE=3，

∴AE=4，AB=2AE=8．

故答案为8．

【点评】该题主要考查了勾股定理、垂径定理等的应用问题；作辅助线，构造直角三角形，灵活运用勾股定理、垂径定理来分析、判断、解答是解题的关键．

16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= 经过平移得到抛物线y= ，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为4．

【考点】二次函数图象与几何变换．

【分析】确定出抛物线y= x2﹣2x的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，从而判断出阴影部分的面积等于三角形的面积，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．

【解答】解：如图，∵y= x2﹣2x= （x﹣2）2﹣2，

∴平移后抛物线的顶点坐标为（2，﹣2），对称轴为直线x=2，

当x=2时，y= ×22=2，

∴平移后阴影部分的面积等于如图三角形的面积，

×（2+2）×2=4．

故答案为：4．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，确定出与阴影部分面积相等的三角形是解题的关键．

17．若a、b（a＜b）是方程2x2﹣7x+3=0的两根，则点（a，b）关于x轴的对称点的坐标是（ ，﹣3）．

【考点】解一元二次方程-因式分解法；关于x轴、y轴对称的点的坐标．

【专题】计算题．

【分析】利用因式分解法求出已知方程的解确定出a与b的值，即可得出（a，b）关于x轴的对称点坐标．

【解答】解：方程2x2﹣7x+3=0，

分解因式得：（2x﹣1）（x﹣3）=0，

解得：x1= ，x2=3，

∴a= ，b=3，

则（ ，3）关于x轴的对称点坐标为（ ，﹣3），

故答案为：（ ，﹣3）

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

18．如图所示，点A是半圆上的一个三等分点，B是劣弧 的中点，点P是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1，则AP+PB的最小值 ．

【考点】垂径定理；轴对称-最短路线问题．

【专题】动点型．

【分析】本题是要在MN上找一点P，使PA+PB的值最小，设A′是A关于MN的对称点，连接A′B，与MN的交点即为点P．此时PA+PB=A′B是最小值，可证△OA′B是等腰直角三角形，从而得出结果．

【解答】解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，PA，AA′．

∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，

∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，

∵点B是弧AN的中点，

∴∠BON=30°，

∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，

又∵OA=OA′=1，

∴A′B= ．

∴PA+PB=PA′+PB=A′B= ．

故答案为： ．

【点评】本题结合图形的性质，考查轴对称﹣﹣最短路线问题．其中求出∠BOA′的度数是解题的关键．

三、解答题（本大题共8题，共89分）

19．已知二次函数y=x2+2x﹣1．

（1）写出它的顶点坐标；

（2）当x取何值时，y随x的增大而增大；

（3）求出图象与x轴的交点坐标．

【考点】二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．

【分析】（1）配方后直接写出顶点坐标即可；

（2）确定对称轴后根据其开口方向确定其增减性即可；

（3）令y=0后求得x的值后即可确定与x轴的交点坐标；

【解答】解：（1）y=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2，

∴顶点坐标为：（﹣1，﹣2）；

（2）∵y=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2的对称轴为：x=﹣1，开口向上，

∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；

（3）令y=x2+2x﹣1=0，解得：x=﹣1﹣ 或x=﹣1+ ，

∴图象与x轴的交点坐标为（﹣1﹣ ，0），（﹣1+ ，0）．

【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解抛物线的有关性质．

20．设点A的坐标为（x，y），其中横坐标x可取﹣1、2，纵坐标y可取﹣1、1、2．

（1）求出点A的坐标的所有等可能结果（用树状图或列表法求解）；

（2）试求点A与点B（1，﹣1）关于原点对称的概率．

【考点】列表法与树状图法；关于原点对称的点的坐标．

【分析】列举出所有情况，让所求的情况数除以总情况数即为所求的概率．

【解答】解：（解法一）

（1）列举所有等可能结果，画出树状图如下

由上图可知，点A的坐标的所有等可能结果为：（﹣1，﹣1）、（﹣1，1）、（﹣1，2）、

（2，﹣1）、（2，1）、（2，2），共有6种，

（2）由（1）知，能与点B（1，﹣1）关于原点对称的结果有1种．

∴P（点A与点B关于原点对称）=

（解法二）（1）列表如下

﹣1 1 2

﹣1 （﹣1，﹣1） （﹣1，1） （﹣1，2）

2 （2，﹣1） （2，1） （21，2）

由一表可知，点A的坐标的所有等可能结果为：（﹣1，﹣1）、（﹣1，1）、（﹣1，2）、

（2，﹣1）、（2，1）、（2，2），共有6种，

（2）由（1）知，能与点B（1，﹣1）关于原点对称的结果有1种．

∴P（点A与点B关于原点对称）= ．

【点评】用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．两点关于原点对称，横纵坐标均互为相反数．

21．为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．

（1）求w与x之间的函数关系式．

（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？

【考点】二次函数的应用．

【专题】压轴题．

【分析】（1）根据销售额=销售量×销售单价，列出函数关系式；

（2）用配方法将（1）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值；

（3）把y=150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据x的取值范围求x的值．

【解答】解：（1）由题意得出：

w=（x﹣20）?y

=（x﹣20）（﹣2x+80）

=﹣2x2+120x﹣1600，

故w与x的函数关系式为：w=﹣2x2+120x﹣1600；

（2）w=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）2+200，

∵﹣2＜0，

∴当x=30时，w有最大值．w最大值为200．

答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．

（3）当w=150时，可得方程﹣2（x﹣30）2+200=150．

解得 x1=25，x2=35．

∵35＞28，

∴x2=35不符合题意，应舍去．

答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．

【点评】本题考查了二次函数的运用．关键是根据题意列出函数关系式，运用二次函数的性质解决问题．

22．如图，已知二次函数y=x2﹣4x+3的图象交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．

（1）求直线BC的解析式；

（2）点D是在直线BC下方的抛物线上的一个动点，当△BCD的面积最大时，求D点坐标．

【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．

【专题】计算题．

【分析】（1）利用y=x2﹣4x+3的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线y=x2﹣4x+3交y轴于点C，即可得出A，B，C点的坐标，将B，C点的坐标分别代入y=kx+b（k≠0），即可得出解析式；

（2）设过D点的直线与直线BC平行，且抛物线只有一个交点时，△BCD的面积最大．

【解答】解：（1）设直线BC的解析式为：y=kx+b（k≠0）．

令x2﹣4x+3=0，

解得：x1=1，x2=3，

则A（1，0），B（3，0），C（0，3），

将B（3，0），C（0，3），代入y=kx+b（k≠0），得

，

解得：k=﹣1，b=3，

BC所在直线为：y=﹣x+3；

（2）设过D点的直线与直线BC平行，且抛物线只有一个交点时，△BCD的面积最大．

∵直线BC为y=﹣x+3，∴设过D点的直线为y=﹣x+b，

∴ ，∴x2﹣3x+3﹣b=0，

∴△=9﹣4（3﹣b）=0，

解得b= ，

∴ ，

解得， ，

则点D的坐标为：（ ，﹣ ）．

【点评】本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用平行线确定点到直线的最大距离问题．

23．如图所示，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．

（1）请直接写出点A关于原点O对称的点的坐标；

（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，求A点经过的路径长；

（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．

【考点】作图-旋转变换；平行四边形的性质．

【分析】（1）直接写出点A关于原点O对称的点的坐标即可．

（2）根据网格结构找出点A、B、C绕坐标原点O逆时针旋转90°对应点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点B′的坐标，根据弧长公式列式计算即可得解；

（3）根据平行四边形的对边平行且相等，分AB、BC、AC是对角线三种情况分别写出即可．

【解答】解：（1）点A关于原点O对称的点的坐标为（2，﹣3）；

（2）△ABC旋转后的△A′B′C′如图所示，

点A′的对应点的坐标为（﹣3，﹣2）；

OA′= = ，

即点A所经过的路径长为 = ；

（3）若AB是对角线，则点D（﹣7，3），

若BC是对角线，则点D（﹣5，﹣3），

若AC是对角线，则点D（3，3）．

【点评】本题考查了利用旋转变换作图，平行四边形的对边平行且相等的性质，弧长公式，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键，难点在于（3）分情况讨论．

24．如图，OC平分∠MON，点A在射线OC上，以点A为圆心，半径为2的⊙A与OM相切于点B，连接BA并延长交⊙A于点D，交ON于点E．

（1）求证：ON是⊙A的切线；

（2）若∠MON=60°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

【考点】切线的判定；扇形面积的计算．

【分析】（1）首先过点A作AF⊥ON于点F，易证得AF=AB，即可得ON是⊙A的切线；

（2）由∠MON=60°，AB⊥OM，可求得AF的长，又由S阴影=S△AEF﹣S扇形ADF，即可求得答案．

【解答】（1）证明：过点A作AF⊥ON于点F，

∵⊙A与OM相切于点B，

∴AB⊥OM，

∵OC平分∠MON，

∴AF=AB=2，

∴ON是⊙A的切线；

（2）解：∵∠MON=60°，AB⊥OM，

∴∠OEB=30°，

∴AF⊥ON，

∴∠FAE=60°，

在Rt△AEF中，tan∠FAE= ，

∴EF=AF?tan60°=2 ，

∴S阴影=S△AEF﹣S扇形ADF= AF?EF﹣ ×π×AF2=2 ﹣ π．

【点评】此题考查了切线的判定与性质、扇形的面积以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

25．（13分）已知关于x的一元二次方程kx2+（3k+1）x+3=0（k≠0）．

（1）求证：无论k取何值，方程总有两个实数根；

（2）若二次函数y=kx2+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为整数，求k的值．

解：

【考点】根的判别式；抛物线与x轴的交点．

【专题】证明题．

【分析】（1）先计算判别式得值得到△=（3k+1）2﹣4k×3=（3k﹣1）2，然后根据非负数的性质得到△≥0，则根据判别式的意义即可得到结论；

（2）先理由求根公式得到kx2+（3k+1）x+3=0（k≠0）的解为x1=﹣ ，x2=﹣3，则二次函数y=kx2+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标分别为﹣ 和﹣3，然后根据整数的整除性可确定整数k的值．

【解答】（1）证明：△=（3k+1）2﹣4k×3

=（3k﹣1）2，

∵（3k﹣1）2，≥0，

∴△≥0，

∴无论k取何值，方程总有两个实数根；

（2）解：kx2+（3k+1）x+3=0（k≠0）

x= ，

x1=﹣ ，x2=﹣3，

所以二次函数y=kx2+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标分别为﹣ 和﹣3，

根据题意得﹣ 为整数，

所以整数k为±1．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了抛物线与x轴的交点．

26．（14分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，以AB为直径的半⊙Oˊ与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是半⊙Oˊ的切线，AD⊥CD于点D．

（1）求证：∠CAD=∠CAB；

（2）已知抛物线y=ax2+bx+c过A、B、C三点，AB=10，AC=2BC．

①求抛物线的解析式；

②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）连接O′C，由CD是⊙O的切线，可得O′C⊥CD，则可证得O′C∥AD，又由O′A=O′C，则可证得∠CAD=∠CAB；

（2）①首先证得△CAO∽△BCO，根据相似三角形的对应边成比例，可得OC2=OA?OB，又由AC=2BC则可求得CO，AO，BO的长，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；

②首先证得△FO′C∽△FAD，由相似三角形的对应边成比例，即可得到F的坐标，求得直线DC的解析式，然后将抛物线的顶点坐标代入检验即可求得答案．

【解答】（1）证明：连接O′C，

∵CD是⊙O′的切线，

∴O′C⊥CD，

∵AD⊥CD，

∴O′C∥AD，

∴∠O′CA=∠CAD，

∵O′A=O′C，

∴∠CAB=∠O′CA，

∴∠CAD=∠CAB；

（2）解：①∵AB是⊙O′的直径，

∴∠ACB=90°，

∵OC⊥AB，

∴∠CAB=∠OCB，

∴△CAO∽△BCO，

∴ = ，

即OC2=OA?OB，

∵AC=2BC，

∴tan∠CAO=tan∠CAB= ，

∴AO=2CO，

又∵AB=10，

∴OC2=2CO（10﹣2CO），

解得CO1=4，CO2=0（舍去），

∴CO=4，AO=8，BO=2

∵CO＞0，

∴CO=4，AO=8，BO=2，

∴A（﹣8，0），B（2，0），C（0，4），

∵抛物线y=ax2+bx+c过点A，B，C三点，

∴c=4，

由题意得： ，

解得： ，

∴抛物线的解析式为：y=﹣ x2﹣ x+4；

②设直线DC交x轴于点F，

∴△AOC≌△ADC，

∴AD=AO=8，

∵O′C∥AD，

∴△FO′C∽△FAD，

∴ = ，

∴O′F?AD=O′C?AF，

∴8（BF+5）=5（BF+10），

∴BF= ，F（ ，0）；

设直线DC的解析式为y=kx+m，

则 ，

解得： ，

∴直线DC的解析式为y=﹣ x+4，

由y=﹣ x2﹣ x+4=﹣ （x+3）2+ 得顶点E的坐标为（﹣3， ），

将E（﹣3， ）代入直线DC的解析式y=﹣ x+4中，

右边=﹣ ×（﹣3）+4= =左边，

∴抛物线顶点E在直线CD上．

【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定与性质，点与函数的关系，直角梯形等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．