许昌市2015九年级数学上册期中重点试题(含答案解析)

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．下列方程中，是一元二次方程的是（）

A．x﹣y2=1 B．2x+1=0 C． D．

2．若（x+1）2﹣1=0，则x的值等于（）

A．±1 B．±2 C．0或2 D．0或﹣2

3．一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根 D．没有实数根

4．一元二次方程x2+2 x﹣6=0的根是（）

A．x1=x2= B．x1=0，x2=﹣2 C．x1= ，x2=﹣3 D．x1=﹣ ，x2=3

5．关于x的一元二次方程x2﹣5x+p2﹣2p+5=0的一个根为1，则实数p的值是（）

A．4 B．0或2 C．1 D．﹣1

6．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）

A．k＜﹣2 B．k＜2 C．k＞2 D．k＜2且k≠1

7．用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0，配方后所得方程为（）

A．（x+1）2=0 B．（x﹣1）2=0 C．（x+1）2=2 D．（x﹣1）2=2

8．已知一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2，则另一根为（）

A．2 B．3 C．4 D．8

9．方程x2﹣8x+12=0的两个根是等腰三角形的腰和底，则这个三角形的周长为（）

A．10 B．10或14 C．14 D．不能确定

10．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（）

A．（3+x）（4﹣0.5x）=15 B．（x+3）（4+0.5x）=15 C．（x+4）（3﹣0.5x）=15 D．（x+1）（4﹣0.5x）=15

二、填空题（每小题3分，共24分）

11．当m=时，关于x的方程（x﹣2） +2x+6=0是一元二次方程．

12．一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a=．

13．方程x2﹣3x+2=0的根是．

14．若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k=．

15．关于x的方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围．

16．分式 中，x取任意实数，分式都有意义，则c的取值范围是：．

17．一块矩形菜地的面积是120平方米，如果它的长减少2米，那么菜地就变成了正方形，则原矩形的长是米．

18．某企业为节约用水，自建污水净化站，7月份净化污水3000吨，9月份增加到3630吨，设这两个月净化污水量的平均每月增长的百分率为x，根据题意可列方程为．

三、解方程：（每小题15分，共15分）

19．（15分）解方程：

（1）x2﹣2x﹣8=0（用配方法解方程）

（2）3x（x﹣2）=2（2﹣x）

（3）（x﹣6）2=（2x﹣6）2．

四、解答题：（5小题，共51分）

20．已知：实数x满足（x2+x）2﹣（x2+x）﹣6=0，求：代数式x2+x+5的值．

21．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣3=0

（1）求证：不论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；

（2）当k=2时，用配方法解此一元二次方程．

22．（10分）一间会议室，它的地面是长方形的，长为40米，宽为30米，现在准备在会议室地面的中间铺一块地毯，要求四周未铺地毯的部分宽度相等，而且地毯的面积是会议室地面面积的一半，则地面上未铺地毯的部分宽度是多少米？

23．（10分）某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？

24．（12分）某水果商以2元/千克的价格，购进一批苹果，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了尽快减少库存，商户决定降价销售，经调查：每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天要上交管理费24元，若水果商每天欲得盈利200元，则应将苹果每千克售价降低多少元？

许昌市2015九年级数学上册期中重点试题(含答案解析)参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．下列方程中，是一元二次方程的是（）

A．x﹣y2=1 B．2x+1=0 C． D．

考点： 一元二次方程的定义．

分析： 根据只含有1个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程就是一元二次方程，依据定义即可判断．

解答： 解：A、方程含有两个未知数，故本选项错误；

B、是一元一次方程，故本选项错误；

C、不是整式方程，故此选项错误；

D、符合一元二次方程的定义，故本选项正确．

故选：D．

点评： 本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．

2．若（x+1）2﹣1=0，则x的值等于（）

A．±1 B．±2 C．0或2 D．0或﹣2

考点： 解一元二次方程-直接开平方法．

专题： 整体思想．

分析： 先移项，写成（x+a）2=b的形式，然后利用数的开方解答．

解答： 解：移项得，（x+1）2=1，

开方得，x+1=±1，

解得x1=0，x2=﹣2．故选D．

点评： （1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．

法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．

（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．

（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．

3．一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根 D．没有实数根

考点： 根的判别式．

分析： 把a=1，b=﹣4，c=5代入△=b2﹣4ac进行计算，根据计算结果判断方程根的情况．

解答： 解：∵a=1，b=﹣4，c=5，

∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×5=﹣4＜0，

所以原方程没有实数根．

故选：D．

点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

4．一元二次方程x2+2 x﹣6=0的根是（）

A．x1=x2= B．x1=0，x2=﹣2 C．x1= ，x2=﹣3 D．x1=﹣ ，x2=3

考点： 解一元二次方程-公式法．

专题： 计算题．

分析： 找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，再根据x= ，将a，b及c的值代入计算，即可求出原方程的解．

解答： 解：∵a=1，b=2 ，c=﹣6

∴x= = = =﹣ ±2 ，

∴x1= ，x2=﹣3 ；

故选：C．

点评： 此题考查了利用公式法求一元二次方程的解，利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，当根的判别式≥0时，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．

5．关于x的一元二次方程x2﹣5x+p2﹣2p+5=0的一个根为1，则实数p的值是（）

A．4 B．0或2 C．1 D．﹣1

考点： 一元二次方程的解．

分析： 本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．

解答： 解：∵x=1是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得p2﹣2p+1=0，解此方程得到p=1．故本题选C．

点评： 本题逆用一元二次方程解的定义易得出p的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件，此题二次项系数是1，不用考虑．因此在解题时要重视解题思路的逆向分析．

6．已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）

A．k＜﹣2 B．k＜2 C．k＞2 D．k＜2且k≠1

考点： 根的判别式；一元二次方程的定义．

专题： 计算题；压轴题．

分析： 根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．

解答： 解：根据题意得：△=b2﹣4ac=4﹣4（k﹣1）=8﹣4k＞0，且k﹣1≠0，

解得：k＜2，且k≠1．

故选：D．

点评： 此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，弄清题意是解本题的关键．

7．用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0，配方后所得方程为（）

A．（x+1）2=0 B．（x﹣1）2=0 C．（x+1）2=2 D．（x﹣1）2=2

考点： 解一元二次方程-配方法．

专题： 计算题．

分析： 先把常数项1移到方程右边，再把方程两边加上，然后根据完全平方公式得到（x﹣1）2=2．

解答： 解：x2﹣2x=1，

x2﹣2x+1=2，

（x﹣1）2=2．

故选D．

点评： 本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．

8．已知一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2，则另一根为（）

A．2 B．3 C．4 D．8

考点： 根与系数的关系．

专题： 计算题．

分析： 利用根与系数的关系来求方程的另一根．

解答： 解：设方程的另一根为α，则α+2=6，

解得α=4．

故选C．

点评： 本题考查了根与系数的关系．若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q，反过来可得p=﹣（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．

9．方程x2﹣8x+12=0的两个根是等腰三角形的腰和底，则这个三角形的周长为（）

A．10 B．10或14 C．14 D．不能确定

考点： 解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．

分析： 先解方程求出方程的解，得出两种情况，看看是否符合三角形三边关系定理，求出答案即可．

解答： 解：x2﹣8x+12=0，

解方程得：x=6或2，

①当等腰三角形的三边为2，2，6时，不符合三角形三边关系定理，此时等腰三角形不存在；

②当等腰三角形的三边为2，6，6时，符合三角形三边关系定理，此时等腰三角形的周长为2+6+6=14；

故选C．

点评： 本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系定理，等腰三角形的性质的应用，能求出符合三角形三边关系定理的三边长是解此题的关键．

10．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（）

A．（3+x）（4﹣0.5x）=15 B．（x+3）（4+0.5x）=15 C．（x+4）（3﹣0.5x）=15 D．（x+1）（4﹣0.5x）=15

考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．

专题： 销售问题．

分析： 根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（4﹣0.5x）元，由题意得（x+3）（4﹣0.5x）=15即可．

解答： 解：设每盆应该多植x株，由题意得

（3+x）（4﹣0.5x）=15，

故选：A．

点评： 此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键．

二、填空题（每小题3分，共24分）

11．当m=　±2　时，关于x的方程（x﹣2） +2x+6=0是一元二次方程．

考点： 一元二次方程的定义．

分析： 根据一元二次方程的定义列出关于m的方程，求出m的值即可．

解答： 解：∵方程（x﹣2） +2x+6=0是一元二次方程，

∴m2﹣2=2，解得m=±2．

故答案为：±2．

点评： 本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．

12．一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a=　1　．

考点： 一元二次方程的定义．

专题： 计算题；待定系数法．

分析： 根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到a+1≠0且a2﹣1=0，然后解不等式和方程即可得到a的值．

解答： 解：∵一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，

∴a+1≠0且a2﹣1=0，

∴a=1．

故答案为：1．

点评： 本题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程，其一般式为ax2+bx+c=0（a≠0）．也考查了一元二次方程的解的定义．

13．方程x2﹣3x+2=0的根是　1或2　．

考点： 解一元二次方程-因式分解法．

专题： 因式分解．

分析： 由题已知的方程进行因式分解，将原式化为两式相乘的形式，再根据两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0，求出方程的解．

解答： 解：因式分解得，（x﹣1）（x﹣2）=0，

解得x1=1，x2=2．

故答案为：1或2．

点评： 本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根，因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．

14．若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k=　﹣1　．

考点： 根与系数的关系．

专题： 判别式法．

分析： 根据已知和根与系数的关系x1x2= 得出k2=1，求出k的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的k的值．

解答： 解：∵x1x2=k2，两根互为倒数，

∴k2=1，

解得k=1或﹣1；

∵方程有两个实数根，△＞0，

∴当k=1时，△＜0，舍去，

故k的值为﹣1．

故答案为：﹣1．

点评： 本题考查了根与系数的关系，根据x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=﹣ ，x1x2= 进行求解．

15．关于x的方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围　k＜1　．

考点： 根的判别式．

分析： 关于x的方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于k的不等式，从而求得k的范围．

解答： 解：∵a=1，b=﹣2，c=k，

∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×k=4﹣4k＞0，

解得：k＜1．

点评： 总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0?方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0?方程没有实数根．

16．分式 中，x取任意实数，分式都有意义，则c的取值范围是：　c＞1　．

考点： 分式有意义的条件．

分析： 分式有意义，分母不等于零．

解答： 解：依题意得：x2+2x+c≠0，

令y=x2+2x+c，

因为抛物线开口方向向上，则该抛物线与x轴无交点时，x取任意实数，y＞0，

则△=4﹣4c＜0，

解得c＞1．

故答案是：c＞1．

点评： 本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：

（1）分式无意义?分母为零；

（2）分式有意义?分母不为零；

（3）分式值为零?分子为零且分母不为零．

17．一块矩形菜地的面积是120平方米，如果它的长减少2米，那么菜地就变成了正方形，则原矩形的长是　12　米．

考点： 一元二次方程的应用．

专题： 几何图形问题．

分析： 根据“如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形”可以得到长方形的长比宽多2米，利用矩形的面积公式列出方程即可．

解答： 解：∵长减少2m，菜地就变成正方形，

∴设原菜地的长为x米，则宽为（x﹣2）米，

根据题意得：x（x﹣2）=120，

解得：x=12或x=﹣10（舍去），

故答案为：12．

点评： 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系．

18．某企业为节约用水，自建污水净化站，7月份净化污水3000吨，9月份增加到3630吨，设这两个月净化污水量的平均每月增长的百分率为x，根据题意可列方程为　3000（1+x）2=3630　．

考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．

专题： 增长率问题．

分析： 等量关系为：9月份净化污水吨数=7月份净化污水吨数×（1+平均每月增长的百分率）2，把相关数值代入即可求解．

解答： 解：∵7月份净化污水3000吨，平均每月增长的百分率为x，

∴8月份净化污水3000×（1+x），

∴9月份净化污水3000×（1+x）×（1+x）=3000×（1+x）2，

∴可列方程为：3000（1+x）2=3630，

故答案为：3000（1+x）2=3630．

点评： 本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．得到9月份净化污水吨数的等量关系是解决本题的关键．

三、解方程：（每小题15分，共15分）

19．（15分）（2015秋?许昌县校级月考）解方程：

（1）x2﹣2x﹣8=0（用配方法解方程）

（2）3x（x﹣2）=2（2﹣x）

（3）（x﹣6）2=（2x﹣6）2．

考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．

分析： （1）先把常数项移到等号的右边，然后进行配方，进而得到方程的根；

（2）方程提取公因式（x﹣2），进而得到（x﹣2）（3x﹣2）=0，解两个一元一次方程即可；

（3）利用平方差公式得到[（x﹣6）+（2x﹣6）][（x﹣6）﹣（2x﹣6）]=0，整理后得到x（x﹣4）=0，解方程即可求解．

解答： 解：（1）∵x2﹣2x﹣8=0，

∴x2﹣2x=8，

∴x2﹣2x+1=8+1，

∴（x﹣1）2=9，

∴x﹣1=±3，

∴x1=4，x2=﹣2；

（2）∵3x（x﹣2）=2（2﹣x）

∴3x（x﹣2）+2（x﹣2）=0，

∴（x﹣2）（3x﹣2）=0，

∴x﹣2=0或3x﹣2=0，

∴x1=2，x2= ；

（3）∵（x﹣6）2=（2x﹣6）2，

∴[（x﹣6）+（2x﹣6）][（x﹣6）﹣（2x﹣6）]=0，

∴﹣x（3x﹣12）=0，

∴x（x﹣4）=0，

∴x1=0，x2=4．

点评： 本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

四、解答题：（5小题，共51分）

20．已知：实数x满足（x2+x）2﹣（x2+x）﹣6=0，求：代数式x2+x+5的值．

考点： 换元法解一元二次方程．

分析： 设x2+x=t，则由原方程得到关于t的一元二次方程，通过解该方程得到x2+x的值；然后将其代入所求的代数式进行求值．

解答： 解：设x2+x=t，则

t2﹣t﹣6=0，

整理，得

（t﹣3）（t+2）=0，

解得t=3或t=﹣2（舍去），

即x2+x=3，

所以x2+x+5=3+5=8，即x2+x+5的值为8．

点评： 本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．

21．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣3=0

（1）求证：不论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；

（2）当k=2时，用配方法解此一元二次方程．

考点： 根的判别式；解一元二次方程-配方法．

分析： （1）先进行判别式得到△=k2+12，再根据非负数的性质得到△＞0，然后根据判别式的意义即可得到结论；

（2）代入k的值得出一元二次方程，用配方法解方程即可．

解答： （1）证明：△=k2+12，

∵k2≥0，

∴k2+12＞0，

∴不论k为何实数，方程总会有两个不相等的实数根；

（2）当k=2时，方程为x2+2x﹣3=0，

x2+2x+1=1+3

（x+1）2=4

x+1=±2

x1=1，x2=﹣3．

点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．以及利用配方法解一元二次方程．

22．（10分）一间会议室，它的地面是长方形的，长为40米，宽为30米，现在准备在会议室地面的中间铺一块地毯，要求四周未铺地毯的部分宽度相等，而且地毯的面积是会议室地面面积的一半，则地面上未铺地毯的部分宽度是多少米？

考点： 一元二次方程的应用．

专题： 几何图形问题．

分析： 等量关系为：地毯的长×地毯的宽=会议室面积的一半，把相关数值代入求得合适的解即可．

解答： 解：设地面上未铺地毯的部分宽度是x米．

（40﹣2x）（35﹣2x）= ×40×30，

解得x1=30（不合题意，舍去），x2=5．

∴x=5．

答：地面上未铺地毯的部分宽度是5米．

点评： 考查一元二次方程的应用；得到地毯的边长是解决本题的易错点；得到地毯面积的等量关系是解决本题的关键．

23．（10分）如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？

考点： 一元二次方程的应用．

专题： 几何图形问题．

分析： 设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m．根据长方形面积公式即可列方程（30﹣2x）（20﹣x）=6×78．

解答： 解：设道路的宽为xm，由题意得：

（30﹣2x）（20﹣x）=6×78，

解得x=2或x=﹣16（舍去），

答：通道应设计成2米．

点评： 此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．

24．（12分）某水果商以2元/千克的价格，购进一批苹果，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了尽快减少库存，商户决定降价销售，经调查：每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天要上交管理费24元，若水果商每天欲得盈利200元，则应将苹果每千克售价降低多少元？

考点： 一元二次方程的应用．

专题： 销售问题．

分析： 设应将水果售价降低x元．那么每千克的利润为：（3﹣2﹣x），由于这种水果每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克．所以降价x元，则每天售出数量为：200+ 千克．本题的等量关系为：每千克的利润×每天售出数量﹣固定成本=200．

解答： 解：设应将水果售价降低x元．

根据题意，得[（3﹣2）﹣x]（200+ ）﹣24=200．

原式可化为：50x2﹣25x+3=0，

解这个方程，得x1=0.2，x2=0.3．

因为购买成本不超过600元，x=0.3不符合题意，舍去，

故x=0.2．

答：应将水果售价降低0.2元．

点评： 本题考查理解题意的能力，关键是求出每千克的利润，求出总销售量，从而得到利润．根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解．