2015九年级数学上学期期中考试题(含答案解析)

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）

1．方程x2＋2x－4=0的两根为x1，x2，则x1+x2的值为（ ▲ ）

A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4

2．已知在Rt△ABC中，∠C=90?，sinA= 35，则tanB的值为（ ▲ ）

A．43 B．45 C．54 D．34

3. 在 中， ，如果把 的各边的长都缩小为原 来的 ，

则 的正切值 （ ▲ ）

A.缩小为原 来的 B.扩大为原来的4倍

C.缩小为原来的 D.没有变化

4.方程y2－y＋ =0的两根的情况是（ ▲ ）

A.没有实数根； B.有两个不相等的实数根

C.有两个相等的实数根 D.不能确定

5. 如图，DE是ΔABC的中位线，则ΔADE与ΔABC的面积之比是（ ▲ ）

A．1:1 B．1:2 C．1:3 D．1:4

6.如图，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ ACB；③ ；

④AC2＝AD ?AB．其中能够单独判定△ABC∽△ACD的条件个数为 ( ▲ )

A．1 B．2 C．3 D．4

7．方程 的左边配成一个完全平方式后，所得的方程为( ▲ )

A． B． C． D．

8.三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2－6x＋8＝0的一个根，

则这个三角形的周长是( ▲ )

A．9 B．11 C．13 D．11或13

9.某商品连续两次降价，每次都降20﹪后的价格为 元，则原价是（ ▲ ）

A. 元 B. 1.2 元 C. 元 D. 0.82 元

10.如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点

A(0,1)，过点P(0,-7)的直线l与⊙B相交于C、D两点，则弦CD长的所有

可能的整数值有（ ▲ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应的位置）

11．已知x=m是方程x2－2x－3＝0的一个解，则代数式m2－2m的值为 ▲ .

12.如图，在△ABC中，DE∥BC，若 ，DE=4，则BC=　▲ ．

13.如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，

则AB的长为 ▲ ．

14．已知点P是线段AB的黄金分割点，APPB，如果AB=2，那么AP的长为　▲ ．

15.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28 场比赛，若设参赛球队的个数是x，则列出方程为 ▲ ．

16.如图，小明从路灯下，向前走了5米，发现自己在地面上的影子长DE是2米，如果小明的身高为1.6米，那么路灯离地面的高度AB是__▲___米．

17.如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M、N 两点关于对角线

AC对称，若DM=1，则tan∠ADN= ▲ ．

18.将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为

点B′，折痕为EF．已知AB=AC=3，BC=4，若以点B′、F、C为顶点的三角

形与△ABC相似，则BF=___▲__．

三、解答题：

19．（本题8分）计算：

(1) (－12)?1－12＋4cos30°?3?2 (2)

20．（本题8分）解方程：

(1) (2)

21．（本题满分6分）如图，在边长为1的正方形网格中，有一格点△ABC，已知A、B、C三点的坐标分别是A（1，0）、B（2，－1）、C（3，1）．

(1) 请在网格图形中画出平面直角坐标系；

(2) 以原点O为位似中心，将△ABC放大2倍，画出放大后的△A′B′C′；

(3) 写出△A′B′C′各顶点的坐标：A′____，B′____，C′ ___；

22．(本题满分8分)如图 ，某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且CB＝5米．

(1)求钢缆CD的长度；(精确到0.1米)

(2)若AD＝2米，灯的顶端E距离A处1.6米，且∠EAB＝120°，则灯的顶

端E距离地面多少米？

(参考数据：tan400＝0.84， sin400＝0.64， cos400＝ )

23. (本题满分6分)如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，

E为AB中点，

（1）求证：AC2＝AB?AD；

（2）若AD＝4，AB＝6，求 的值．

24．（本题满分6分）已知关于x的一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ．

（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；

（2）若 ，判断动点P（m，n）所形成的函数图象是否经过点A（4，5），并说明理由．

25. (本题满分8分)小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返

回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返

回，结果比去时少用2.5分钟．

（1）求返回时A、B两地间的路程；

（2）若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过

程不休息）．据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步

行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻

炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热

量就增加1卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里

热量．问：小明从A地到C地共锻炼多少分钟？

26. (本题满分10分)已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，

∠ACB=90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），tan∠BAC= ．

（1）写出点B的坐标；

（2）在x轴上找一点D，连接BD，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并

求点D的坐标；

（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，

问是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出的m值；

如不存在，请说明理由．

27. (本题满分12分)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm．点P从

B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称

点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm，当

点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q两点运动时间为t秒．

（1）当t为何值时，PQ∥BC？

（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式；并说明四边形PQCB

面积能否是△ABC面积的 ？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；

（3）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？（直接写出结果）

28．(本题满分12分)已知Rt△ABC中，AC=BC=2．一直角的顶点P在AB上滑动，

直角的两边分别交线段AC，BC于E．F两点

（1）如图1，当 = 且PE⊥AC时，求证： = ；

（2）如图2，当 =1时（1）的结论是否仍然成立？ 为什么？

（3）在（2）的条件下，将直角∠EPF绕 点P旋转，设∠BPF=α（0°＜α＜90°）．连

结EF，当△CEF的周长等于2+ 时，请直接写出α的度数．

2015九年级数学上学期期中考试题(含答案解析)参考答案及评分标准

一、 选择题（10小题，每题3分，共30分）

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

B A D C D C B C A C

二、 填空题（每空2分，共16分）

11 12 13 14 15 16 17 18

3 12 1+

﹣1 =28 5.6 或2

三、解答题：(共84分)

19.（每题4分，共8分）

（1）—4+ （2）3+

20.（每题4分，共8分）

（1） ； （2）3、-1；

21. (本题满分6分)

解：(1)1分；（2）2分；（3）A′（-2，0），B′（-4，2），C′（-6，-2）各1分；

22. (本题满分8分)

解：（1）在Rt△BCD中， ，

∴ ≈6.7；（3分）

（2）在Rt△BCD中，BC=5，∴BD=5tan40°=4.2．（4分）

过E作AB的垂线，垂足为F，

在Rt△AFE中，AE=1.6，∠EAF=180°﹣120° =60°，

AF= =0.8（6分）

∴FB=AF+AD+BD=0.8+2+4.20=7米．（7分）

答：钢缆CD的长 度为6.7米，灯的顶端E距离地面7米．（8分）

23. (本题满分6分)

（1）证明：∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠CAB，

∵∠ADC=∠ACB=90°，

∴△ADC∽△ACB，

∴AD：AC=AC：AB，

∴AC2=AB?AD； （3分）

（2）解：∵CE∥AD，

∴△AFD∽△CFE，

∴AD：CE=AF：CF，

∵CE= AB，

∴CE= ×6=3，

∵AD=4，

∴ ，

∴ ． (6分)

24. (本题满分6分)

解：（1）∵△=（m+6）2﹣4（3m+9）=m2+12m+36﹣12m﹣36=m2≥0，（2分）

∴该一元二次方程总有两个实数根； （3分）

（2）动点P（m，n）所形成的函数图象经过点A（4，5）；（4分）

理由：

∵x1+x2=m+6，n=x1+x2﹣5，

∴n=m+1， （5分）

∵当m=4时，n=5，

∴动点P（m，n）所形成的函数图象经过点A（4，5）．（6分）

25、（本题满分8分）

解：（1）设返回时A，B两地间的路程为x米，由题意得：

， （2分）

解得x=1800．

答：A、B两地间的路程为1800米； （4分）

（2）设小明从A地到B地共锻炼了y分钟，由题意得：

25×6+5×10+[10+（y﹣30）×1]（y﹣30）=904， （6分）

整理得y2﹣50y﹣104=0，

解得y1=52，y2=﹣2（舍去）．

答：小明从A地到C地共锻炼52分钟． （8分 ）

26．(本题满分10分)

解：（1）B（1，3）， （1分）

（2）如图1，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，

在Rt△ABC和Rt△ADB中，

∵∠BAC=∠DAB，

∴Rt△ABC∽Rt△ADB，

∴D点为所求，

又tan∠ADB=tan∠ABC= ，

∴CD=BC÷tan∠ADB=3÷ ，

∴OD=OC+CD=1+ = ，

∴D（ ，0）； （4分）

（3）这样的m存在．

在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，

如图1，当PQ∥BD时，△APQ∽△ABD，

则 = ，

解得m= ， （6分）

如图2，当PQ⊥AD时，△APQ∽△ADB，

则 = ，

解得m= ． (9分)

故存在m的值是 或 时，使得△APQ与△ADB相似．（10分）

27、（本题满分12分）

解：（1）Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，

∴AB=10cm．

∵BP=t，AQ=2t，

∴AP=AB﹣BP=10﹣t．

∵PQ∥BC，

∴ = ，

∴ = ，

解得t= ； （2分）

（2）∵S四边形PQCB=S△ACB﹣S△APQ= AC?BC﹣ AP?AQ?sinA

∴y= ×6×8﹣ ×（10﹣2t）?2t?

=24﹣ t（10﹣2t）

= t2﹣8t+24，

即y关于t的函数关系式为y= t2﹣8t+24；（4分）

四边形PQCB面积能是△ABC面积的 ，理由如下：

由题意，得 t2﹣8t+24= ×24，

整理，得t2﹣10t+12=0，

解得t1=5﹣ ，t2=5+ （不合题意舍去）．

故四边形PQCB面积能是△ABC面积的 ，此时t的值为5﹣ ；（6分）

（3）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：

①如果AE=AQ，那么10﹣2t=2t，解得t= ； （8分）

②如果EA=EQ，那么（10﹣2t）× =t，解得t= ； （10分）

③如果QA=QE，那么2t× =5﹣t，解得t= ．

故当t为 秒 秒 秒时，△AEQ为等腰三角形． （12分）

28.（本题满分12分）

解：（1）如图1，

∵PE⊥AC，

∴∠AEP=∠PEC=90°．

又∵∠EPF=∠ACB=90°，

∴四边形PECF为矩形，

∴∠PFC=90°，

∴∠PFB=90°，

∴∠AEP=∠PFB．

∵AC=BC，∠C=90°，

∴∠A=∠B=45°，

∴∠FPB=∠B=45°，△AEP∽△PFB，

∴PF=BF， = ，

∴ = = ； （3分）

（2）（1）的结论不成立，理由如下：

连接PC，如图2．

∵ =1，

∴点P是AB的中点．

又 ∵∠ACB=90°，CA=CB，

∴CP=AP= AB．∠ACP=∠BCP= ∠ACB=45°，CP⊥AB，

∴∠APE+∠CPE=90°．

∵∠CPF+∠CPE=90°，

∴∠APE=∠CPF．

在△APE和△CPF中，

，

∴△APE≌△CPF，

∴AE=CF，PE=PF．

故（1）中的结论 = 不成立； （6分）

（3）当△CEF的周长等于2+ 时，α的度数为75°或15°．

提示：在（2）的条件下，可得AE=CF（已证），

∴EC+CF=EC+AE=AC=2．

∵EC+CF+EF=2+ ，

∴EF= ．

设CF=x，则有CE=2﹣x，

在Rt△CEF中，根据勾股定理可得x2+（2﹣x）2=（ ）2，

整理得 ：3x2﹣6x+2=0，

解得：x1= ，x2= ．

①若CF= ，如图3，

过点P作PH⊥BC于H，

易得PH=HB=CH=1，FH=1﹣ = ，

在Rt△PHF中，tan∠FPH= = ，

∴∠FPH=30°，

∴α=∠FPB=30+45°=75°； （9分）

②若CF= ，如图4，

过点P作PG⊥AC于G，

同理可得：∠APE=75°，

∴α=∠FPB=180°﹣∠APE﹣∠EPF=15°． （12分）