2016-10-25 收藏
浙江省金华四中2015初三数学上学期期中试卷(含答案解析)
一.选择题(每小题 3分,共30分.).
1.若反比例函数y=﹣ 的图象经过点A(2,m),则m的值是( )
A.﹣2 B.2 C.﹣ D.
考点:待定系数法求反比例函数解析式.
专题:计算题;待定系数法.
分析:直接把点的坐标代入解析式即可.
解答: 解:把点A代入解析式可知:m=﹣ .
故选C.
点评:主要考查了反比例函数的求值问题.直接把点的坐标代入解析式即可求出点坐标中未知数的值.
2.抛物线y=(x﹣2)2﹣2的顶点坐标是( )
A.(2,﹣2) B.(﹣2,﹣2) C.(2,2) D.(﹣2,2)
考点:二次函数的性质.
分析:因为y=(x﹣2)2﹣2是二次函数的顶点式,根据顶点式可直接写出顶点坐标.
解答: 解:∵抛物线解析式为y=(x﹣2)2﹣2,
∴二次函数图象的顶点坐标是(2,﹣2).
故选A.
点评:根据抛物线的顶点式,可确定抛物线的开口方向,顶点坐标(对称轴),最大(最小)值,增减性等.
3.在反比例函数y= 的图象的每一条曲线上,y都随x的增大而增大,则k的值可以是( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
考点: 反比例函数的性质.
专题:函数思想.
分析:对于函数 来说,当k<0时,每一条曲线上,y随x的增大而增大;当k>0时,每一条曲线上,y随x的增大而减小.
解答: 解:反比例函数 的图象上的每一条曲线上,y随x的增大而增大,
∴1﹣k<0,
∴k>1.
故选:D.
点评:本题考查反比例函数的增减性的判定.在解题时,要注意整体思想的运用.易错易混点:学生对解析式 中k的意义不理解,直接认为k<0,错选A.
4.矩形面积为4,它的长y与宽x之间的函数关系用图象大致可表示为( )
A. B. C. D.
考点:反比例函数的应用;反比例函数的图象.
分析:首先由矩形的面积公 式,得出它的长y与宽x之间的函数关系式,然后根据函数的图象性质作答.注意本题中自变量x的取值范围.
解答: 解:由矩形的面积4=xy,可知它的长y与宽x之间的函数关系式为y= (x>0),是反比例函数图象,且其图象在第一象限.
故选B.
点评:反比例函数y= 的图象是双曲线,当k>0时,它的两个分支分别位于第一、三象限;当k<0时,它的两个分支分别位于第二、四象限.
5.若点P1(﹣1,y1),P2(﹣2,y2),P3(1,y3),都在函数y=x2﹣2x+3的图象上,则( )
A.y2<y1<y3 B.y1<y2<y3 C.y2>y1>y3 D.y1>y2>y3
考点:二次函数图象上点的坐标特征.
专题:计算题.
分析:抛物线y=x2﹣2x+3=(x﹣1)2+2,可知抛物线对称轴为x=1,开口向上,p1,p2在对称轴左边,y随x的增大而减小,p3为最低点故可判断y1,y2,y3的大小.
解答: 解:∵y=x2﹣2x+3=(x﹣1)2+2,
∴抛物线对称轴为x=1,开口向上,
在对称轴的左边,y随x的增大而减小,
又∵1>﹣1>﹣2,
∴y2>y1>y3.故选C.
点评:本题考查了二次函数的增减性.当二次项系数a>0时,在对称轴的左边,y随x的增大而减小,在对称轴的右边,y随x的增大而增大;a<0时,在对称轴的左边,y随x的增大而增大,在对称轴的右边,y随x的增大而减小.
6.抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示,要使y>0,则x的取值范围是( )
A.﹣4<x<1 B.﹣3<x<1 C.x<﹣4或x>1 D.x<﹣3或x>1
考点:二次函数的图象.
分析:根据抛物线的对称性可知,图象与x轴的另一个交点是﹣3,y>0反映到图象上是指x轴上方的部分,对应的x值即为x的取值范围.
解答: 解:∵抛物线与x轴的一个交点是(1,0),对称轴是x=﹣1,
根据抛物线的对称性可知,抛物线与x轴的另一交点是(﹣3,0),
又图象开口向下,
∴当﹣3<x<1时,y>0.
故选:B.
点评:主要考查了二次函数图象的对称性.要会利用对称轴和与x轴的一个交点坐标求与x轴的另一个交点坐标.
7.(课改)现有A、B两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6).用小莉掷A立方体朝上的数字为x小明掷B立方体朝上的数字为y来确定点P(x,y),那么它们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y=﹣x2+4x上的概率为( )
A. B. C. D.
考点:概率公式;二次函数图象上点的坐标特征.
专题:压轴题.
分析:因为掷骰子的概率一样,每次都有六种可能性,因此小莉和小明掷骰子各六次,P的取值有36种.可将x、y值一一代入找出满足抛物线的x、y,用满足条件的个数除以总的个数即可得出概率.
解答: 解:点P的坐标共有36种可能,其中能落在抛物线y=﹣x2+4x上的共有(1,3)、(2,4)、(3,3)3种可能,其概率为 .
故选B.
点评:本题综合考查函数图象上点的坐标特征与概率的确定.
8.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,图象经过点(﹣1,2)和(1,0),且与y轴交于负半轴.给出四个结论:①abc<0;②2a+b>0;③a+b+c=0;④a>0.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
考点:二次函数图象与系数的关系.
分析:由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
解答: 解:①∵对称轴在y轴的右侧,
∴a、b异号,
∴ab<0.
又∵抛物线与y轴交于负半轴,
∴c<0,
∴abc>0.
故①错误;
②:如图所示,抛物线开口方向向上,则a>0.
又∵0<﹣ <1,
∴﹣b<2a,
∴2a+b>0.
故②正确;
③把点(1,0)代入函数解析式得到:a+b+c=0,故③正确;
④抛物线开口方向向上,则a>0.
故④正确.
综上所述,正确的个数是3个.
故选:C.
点评:本题考查了二次函数图象与系数的关系的知识:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小,当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置,当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左侧;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右侧;常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由△决定,△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.
9.在同一平面直角坐标系中,函数y=kx+k和函数y=﹣kx2+4x+4(k是常数,且k≠0)的图象可能是( )
A. B. C. D.
考点:二次函数图象与系数的关系;一次函数的图象.
分析:分两种情况进行讨论:k>0与k<0进行讨论即可.
解答: 解:当k>0时,函数y=kx+k的图象经过一、二、三象限;函数y=﹣kx2+4x+4的开口向下,对称轴在y轴的右侧;
当k<0时,函数y=kx+k的图象经过二、三、四象限;函数y=﹣kx2+4x+4的开口向上,对称轴在y轴的左侧,故D正确.
故选D.
点评:本题考查了二次函数的图象和系数的关系以及一次函数的图象,是基础知识要熟练掌握.
10.如图,已知A、B是反比例函数 (k>0,x>0)图象上的两点,BC∥x轴,交y轴于点C.动点P从坐标原点O出发,沿O→A→B→C(图中“→”所示路线)匀速运动,终点为C.过P作PM⊥x轴,PN⊥y轴,垂足分别为M、N.设四边形OMPN的面积为S,P点运动时间为t,则S关于t的函数图象大致为( )
A. B. C. D.
考点:反比例函数综合题;动点问题的函数图象.
专题:压轴题 ;动点型.
分析:当点P在OA上运动时,此时S 随t的增大而增大,当点P在AB上运动时,S不变,当点P在BC上运动时,S随t的增大而减小,根据以上判断做出选择即可.
解答: 解:①当点P在OA上运动时,OP=t,S=OM?PM=tcosα?tsinα,α角度固定,因此S是以y轴为对称轴的二次函数,开始向上;
②当点P在AB上运动时,设P点坐标为(x,y),则S=xy=k,为定值,
∴故B、D选项错误;
③当点P在BC上运动时,S随t的增大而逐渐减小,
∴故C选项错误.
故选:A.
点评:本题考查了反比例函数的综合题和动点问题的函数图象,解题的关键是根据点的移动确定函数的解析式,从而确定其图象.
二.填空题(每小题4分,共24分)
11.写一个反比例函数的解析式,使它的图象在第一、三象限: .
考点:反比例函数的性质.
专题:开放型.
分析:反比例函数y= (k是常数,k≠0)的图象在第一,三象限,则k>0,符合上述条件的k的一个值可以是1.(正数即可,答案不唯一)
解答: 解:∵反比例函数的图象在一、三象限,
∴k>0,
只要是大于0的所有实数都可以.例如:2.
故答案为:y= 等.
点评:此题主要考查了反比例函数图象的性质:(1)k>0时,图象是位于一、三象限;(2)k<0时,图象是位于二、四象限.
12.已知点(﹣4,y1),(﹣2,y2),(3,y3)都在反比例函数y= (k<0)的图象上,那么y1、y2、y3的大小关系y2>y2>y3.
考点:反比例函数图象上点的坐标特征.
专题:计算题.
分析:利用反比例函数的增减性判断即可.
解答: 解:∵反比例函数y= (k<0),
∴反比例函数图象位于第二、四象限,且在每一个象限y随x的增大而增大,
∵点(﹣4,y1),(﹣2,y2),(3,y3)都在反比例函数y= (k<0)的图象上,且﹣4<﹣2<3,
∴ y2>y2>y3.
故答案为:y2>y2>y3.
点评:此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,熟练掌握反比例函数的图象与性质是解本题的关键.
13.将二次函数y=x2﹣4x+5化成y=(x﹣h)2+k的形式,则y=(x﹣2)2+1 .
考点:二次函数的三种形式.
专题:常规题型.
分析:将二次函数y=x2﹣4x+5的右边配方即可化成y=(x﹣h)2+k的形式.
解答: 解:y=x2﹣4x+5,
y=x2﹣4x+4﹣4+5,
y=x2﹣4x+4+1,
y=(x﹣2)2+1.
故答案为:y=(x﹣2)2+1.
点评:本题考查了二次函数的三种形式:一般式:y=ax2+bx+c,顶点式:y=a(x﹣h)2+k;两根式:y=a(x﹣x1)(x﹣x2).
14.如图,点M是反比例函数y= (a≠0)的图象上一点,过M点作x轴、y轴的平行线,若S阴影=5,则此反比例函数解析式为y=﹣ .
考点:反比例函数系数k的几何意义.
分析:根据反比例函数k的几何意义可得|a|=5,再根据图象在二、四象限可确定a=﹣5,进而得到解析式.
解答: 解:∵S阴影=5,
∴|a|=5,
∵图象在二、四象限,
∴a<0,
∴a=﹣5,
∴反比例函数解析式为y=﹣ ,
故答案为:y=﹣ .
点评:此题主要考查了反比例函数k的几何意义,关键是掌握y= (k≠0)图象中任取一点,过这一个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.
15.如图,矩形AOCB的两边OC、OA分别位x轴、y轴上,点B的坐标为B( ,5),D是AB边上的一点.将△ADO沿直线OD翻折,使A点恰好落在对角线OB上的点E处,若点E在一反比例函数的图象上,那么该函数的解析式是y=﹣ .
考点:待定系数法求反比例函数解析式;矩形的性质.
专题:代数几何综合题;压轴题.
分析:此题要求反比例函数的解析式,只需求得点E的坐标.
根据点B的坐标,可知矩形的长和宽;从而再根据锐角三角函数求得点E的坐标,运用待定系数法进行求解.
解答: 解:过E点作EF⊥OC于F
由条件可知:OE=OA=5, ,
所以EF=3,OF=4,
则E点坐标为(﹣4,3)
设反比例函数的解析式是y=
则有k=﹣4×3=﹣12
∴反比例函数的解析式是y= .
故答案为y= .
点评:主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式.
本题综合性强,考查知识面广,能较全面考查学生综合应用知识的能力.
16.(1)将抛物线y1=2x2向右平移2个单位,得到抛 物线y2的图象,则y2=2(x﹣2)2或2x2﹣8x+8;
(2)如图,P是抛物线y2对称轴上的一个动点,直线x=t平行于y轴,分别与直线y=x、抛物线y2交于点A、B.若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形,求满足条件的t的值,则t=1,3或 .
考点:二次函数综合题.
专题:压轴题;动点型.
分析:(1)根据二次函数图象左加右减,上加下减的平移规律即可得出y2的图象;
(2)由(1)可得出抛物线y2的对称轴,也就得出了P点的横坐标;将x=t分别代入y=x和抛物线y2的解析式中,可求出A、B的坐标,若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形,则AB=AP(或BP)即A、B两点纵坐标差的绝对值等于点A(或B)与点P横坐标差的绝对值,由此可列出关于t的方程求出t的值.
解答: 解:(1)抛物线y1=2x2向右平移2个单位,得:y=2(x﹣2)2=2x2﹣8x+8;
故抛物线y2的解析式为y2=2x2﹣8x+8.
(2)由(1)知:抛物线y2的对称轴为x=2,故P点横坐标为2;
当x=t时,直线y=x=t,故A(t,t);
则y2=2x2﹣8x+8=2t2﹣8t+8,故B(t,2t2﹣8t+8);
若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形,则有AB=AP或AB=BP,
此时AB=|2t2﹣8t+8﹣t|,AP=|t﹣2|,
可得:|t﹣2 |=|2t2﹣8t+8﹣t|;
当2t2﹣8t+8﹣t=t﹣2时,如图1,t2﹣5t+5=0,解得t1= ;
当2t2﹣8t+8﹣t=2﹣t时,如图2,t2﹣4t+3=0,解得t2=1,t3=3;
故符合条件的t值为:1或3或 .
点评:此题主要考查了二次函数的图象的平移、函数图象交点、等腰直角三角形的判定和性质等.
三.解答题(第17、18、19题各6分,第20、21题各8分,第22、23题各10分,第24题12分,共66分)
17.如图,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y= 的图象交于M、N两点.
(1)求反比例函数与一次函数的解析式;
(2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围.
考点:反比例函数与一次函数的交点问题.
分析:(1)先根据点A的坐标求出反比例函数的解析式,再根据反比例函数解析式求出点B的坐标,利用待定系数法求一次函数的解析式;
(2)当一次函数的值<反比例函数的值时,直线在双曲线的下方,直接根据图象写出一次函数的值<反比例函数的值的x的取值范围.
解答: 解;(1)反比例函数y= 的图象过点M(﹣3,1),
∴k=﹣3,
反比例函数的解析式为y= ,
反比例函数y= 的图象过点N(n,﹣3),
∴ ,n=1,N(1,﹣3),
一次函数y=ax+b的图象过点M(﹣3,1)、N(1,﹣3),
,
解得 ,
故一次函数的解析式为y=﹣x﹣3;
(2)一次函数图象在反比例函数图象下方的部分,
则﹣3<x<0或x>1.
点评:本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,利用了待定系数法求函数解析式,数形结合法求不等式的解集.
18.已知y与z成正比例,z与x成反比例.当x=﹣4时,z=3,y=﹣4.求:
(1)y关于x的函数解析式;
(2)当z=﹣1时,x,y的值.
考点:待定系数法求反比例函数解析式.
专题:计算题.
分析:(1)根据题意设y=kz,z= ,将x,y与z的值代入计算求出k与m的值,即可确定出y与x的函数解析式;
(2)将z的值代入z与x关系式求出x的值,代入y与x关系式求出y的值即可.
解答: 解:(1)根据题意设y=kz,z= ,
将y=﹣4,z=3代入得:k=﹣ ;将x=﹣4,z=3代入得:m=﹣12,
∴y=﹣ z,z=﹣ ,
则y= ;
(2)当z=﹣1时,x=12,此时y= = .
点评:此题考查了待定系数法求反比例函数解析式,熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
19.农民张大伯为了致富奔小康,大力发展家庭养殖业,他准备用40米长的木栏围一个矩形的养圈,为了节约材料,同时要使矩形面积最大,他利用了自己家房屋一面长25米的墙,设计了如图一个矩形的养圈.
(1)请你求出张大伯设计的矩形羊圈的面积;
(2)请你判断他的设计方案是否使矩形羊圈的面积最大?如果不是最大,应怎样设计?请说明理由.
考点:二次函数的应用.
专题:应用题.
分析:(1)根据张大伯设计的羊圈数据可以知道,矩形的两边长度,根据矩形面积公式算出此时矩形面积.
(2)先根据题意列出二次函数关系式,再根据求二次函数最值的方法求解,便可以解决问题.
解答: 解:(1)由题意可得张大伯设计羊圈的面积为:
S=25×7.5=187.5(平方米),
答:张大伯设计羊圈的面积为187.5平方米.
(2)不是最大.
设矩形的长为x,面积为y,
则
在x的取值范围中
∴当x=20时y最大=200,
此时矩形的长为20米,宽为10米.
故答案为:①张大伯设计羊圈的面积为187.5平方米;
②矩形的长为20米,宽为10米时y最大=200.
点评:本题考查的是二次函数在实际生活中的应用,主要考查了二次函数求最值的方法.
20.如图所示,二次函数y=﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3,0),另一个交点为B,且与y轴交于点C.
(1)求m的值;
(2)求点B的坐标;
(3)该二次函数图象上有一点D(x,y)(其中x>0,y>0)使S△ABD=S△ABC,求点D的坐标.
考点:二次函数综合题.
专题:代数几何综合题;方程思想.
分析:(1)由二次函数y=﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3,0),利用待定系数法将点A的坐标代入函数解析式即可求得m的值;
(2)根据(1)求得二次函数的解析式,然后将y=0代入函数解析式,即可求得点B的坐标;
(3)根据(2)中的函数解析式求得点C的坐标,由二次函数图象上有一点D(x,y)(其中x>0,y>0),可得点D在第一象限,又由S△ABD=S△ABC,可知点D与点C的纵坐标相等,代入函数的解析式即可求得点D的坐标.
解答: 解:(1)∵二次函数y=﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3,0),
∴﹣9+2×3+m=0,
解得:m=3;
(2)∵二次函数的解析式为:y=﹣x2+2x+3,
∴当y=0时,﹣x2+2x+3=0,
解得:x1=3,x2=﹣1,
∴B(﹣1,0);
(3)如图,连接BD、AD, 过点D作DE⊥AB,
∵当x=0时,y=3,
∴C(0,3),
若S△ABD=S△ABC,
∵D(x,y)(其中x>0,y>0),
则可得OC=DE=3,
∴当y=3时,﹣x2+2x+3=3,
解得:x=0或x=2,
∴点D的坐标为(2,3).
另法:点D与点C关于x=1对称,
故D(2,3).
点评:此题考查了待定系数法求二次函数的解析式,考查了一元二次方程的解法以及三角形的面积问题等知识.此题综合性较强,但难度不大,属于中档题,解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系,注意数形结合与方程思想的应用.
21.某商品的进价为每件30元,现在的售价为每件40元,每星期可卖出150件.市场调查反映:如果每件的售价每涨1元(售价每件不能高于45元),那么每星期少卖10件.设每件涨价x元(x为非负整数),每星期的销量为y件.
(1)求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;
(2)如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大?每星期的最大利润是多少?
考点:二次函数的应用;一次函数的应用.
分析:根据题意可得到函数关系式,并得到x的取值范围.再得到总利润的函数式,两个式子结合起来,可得到定价.
解答: 解:(1)由题意,y=150﹣10x,0≤x≤5且x为正整数;
(2)设每星期的利润为w元,
则w=(40+x﹣30)y
=(x+10)(150﹣10x)
=﹣10(x﹣2.5)2+1562.5
∵x为非负整数,
∴当x=2或3时,利润最大为1560元,
又∵销量较大,
∴x=2,即当售价为42元时,每周的利润最大且销量较大,最大利润为1560元.
答:当售价为42元时,每星期的利润最大且每星期销量较大,每星期的最大利润为1560元.
点评:利用了二次函数的性质,以及总利润=售价×销量.
22.近年来,我国煤矿安全事故频频发生,其中危害最大的是瓦斯,其主要成分是CO.在一次矿难事件的调查中发现:从零时起,井内空气中CO的浓度达到4mg/L,此后浓度呈直线型增加,在第7小时达到最高值46mg/L,发生爆炸;爆炸后,空气中的CO浓度成反比例下降.如图所示,根据题中相关信息回答下列问题:
(1)求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式,并写出相应的自变量取值范围;
(2)当空气中的CO浓度达到34mg/L时,井下3km的矿工接到自动报警信号,这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生?
(3)矿工只有在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时,才能回到矿井开展生产自救,求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井?
考点:反比例函数的应用;一次函数的应用.
专题:应用题;压轴题.
分析:(1)根据图象可以得到函数关系式,y=k1x+b(k1≠0),再由图象所经过点的坐标(0,4),(7,46)求出k1 与b的值,然后得出函数式y=6x+4,从而求出自变量x的取值范围.再由图象知 (k2≠0)过点(7,46),求出k2的值,再由函数式求出自变量x的取值范围.
(2)结合以上关系式,当y=34时,由y=6x+4得x=5,从而求出撤离的最长时间,再由v= 速度.
(3)由关系式y= 知,y=4时,x=80.5,矿工至少在爆炸后80.5﹣7=73.5(小时)才能下井.
解答: 解:(1)因为爆炸前浓度呈直线型增加,
所以可设y与x的函数关系式为y=k1x+b(k1≠0),
由图象知y=k1x+b过点(0,4)与(7,46),
则 ,
解得 ,
则y=6x+4,此时自变量x的取值范围是0≤x≤7.
(不取x=0不扣分,x=7可放在第二段函数中)
∵爆炸后浓度成反比例下降,
∴可设y与x的函数关系式为 (k2≠0).
由图象知 过点(7,46),
∴ ,
∴k2=322,
∴ ,此时自变量x的取值范围是x>7.
(2)当y=34时,由y=6x+4得,6x+4=34,x=5.
∴撤离的最长时间为7﹣5=2(小时).
∴撤离的最小速度为3÷2=1.5(km/h).
(3)当y=4时,由y= 得,x=80.5,
80.5﹣7=73.5(小时).
∴矿工至少在爆炸后73.5小时才能下井.
点评:现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量,解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系,然后利用待定系数法求出它们的关系式.
23.已知抛物线y= x2+1(如图所示).
(1)填空:抛物线的顶点坐标是(0,1),对称轴是x=0(或y轴);
(2)已知y轴上一点A(0,2),点P在抛物线上,过点P作PB⊥x轴,垂足为B.若△PAB是等边三角形,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,点M在直线AP上.在平面内是否存在点N,使四边形OAMN为菱形?若存在,直接写出所有满足条件的点N的坐标;若不存在,请说明理由.
考点:二次函数综合题.
专题:压轴题.
分析:(1)根据函数的解析式直接写出其顶点坐标和对称轴即可;
(2)根据等边三角形的性质求得PB=4,将PB=4代入函数的解析式后求得x的值即可作为P点的横坐标,代入解析式即可求得P点的纵坐标;
(3)首先求得直线AP的解析式,然后设出点M的坐标,利用勾股定理表示出有关AP的长即可得到有关M点的横坐标的方程,求得M的横坐标后即可求得其纵坐标,
解答: 解:(1)顶点坐标是(0,1),对称轴是y轴(或x=O).
(2)∵△PAB是等边三角形,
∴∠ABO=90°﹣60°=30°.
∴AB=20A=4.
∴PB=4.
解法一:把y=4代入y= x2+1,
得 x=±2 .
∴P1(2 ,4),P2(﹣2 ,4).
解法二:∴OB= =2
∴P1(2 ,4).
根据抛物线的对称性,得P2(﹣2 ,4).
(3)∵点A的坐标为(0,2),点P的坐标为(2 ,4)
∴设线段AP所在直线的解析式为y=kx+b
∴
解得:
∴解析式为:y= x+2
设存在点N使得OAMN是菱形,
∵点M在直线AP上,
∴设点M的坐标为:(m, m+2)
如图,作MQ⊥y轴于点Q,则MQ=m,AQ=OQ﹣OA= m+2﹣2= m
∵四边形OAMN为菱形,
∴AM=AO=2,
∴在直角三角形AMQ中,AQ2+MQ2=AM2,
即:m2+( m)2=22解得:m=±
代入直线AP的解析式求得y=3或1,
当P点在抛物线的右支上时,分为两种情况:
当N在右图1位置时,
∵OA=MN,
∴MN=2,
又∵M点坐标为( ,3),
∴N点坐标为( ,1),即N1坐标为( ,1).
当N在右图2位置时,
∵MN=OA=2,M点坐标为(﹣ ,1),
∴N点坐标为(﹣ ,﹣1),即N2坐标为(﹣ ,﹣1).
当P点在抛物线的左支上时,分为两种情况:
第一种是当点M在线段PA上时(PA内部)我们求出N点坐标为(﹣ ,1);
第二种是当M点在PA的延长线上时(在第一象限)我们求出N点坐标为( ,﹣1)
∴存在N1( ,1),N2(﹣ ,﹣1)N3(﹣ ,1),N4( ,﹣1)使得四边形OAMN是菱形.
点评:本题考查了二次函数 的应用,解题的关键是仔细读题,并能正确的将点的坐标转化为线段的长,本题中所涉及的存在型问题更是近几年2015届中考的热点问题.
24.已知,如图,二次函数y=ax2+2ax﹣3a(a≠0)图象的顶点为H,与x轴交于A、B两点(B在A点右侧),点H、B关于直线l: 对称.
(1)求A、B两点坐标,并证明点A在直线l上;
(2)求二次函数解析式;
(3)过点B作直线BK∥AH交直线l于K点,M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点,连接HN、NM、MK,求HN+NM+MK和的最小值.
考点:二次函数综合题;解二元一次方程组;待定系数法求二次函数解析式;抛物线与x轴的交点;图象法求一元 二次方程的近似根;勾股定理.
专题:计算题;代数几何综合题;压轴题.
分析:(1)求出方程ax2+2ax﹣3a=0(a≠0),即可得到A点坐标和B点坐标;把A的坐标代入直线l即可判断A是否在直线上;
(2)根据点H、B关于过A点的直线l: 对称,得出AH=AB=4,过顶点H作HC⊥AB交AB于C点,求出AC和HC的长,得出顶点H的坐标,代入二次函数解析式,求出a,即可得到二次函数解析式;
(3)解方程组 ,即可求出K的坐标,根据点H、B关于直线AK对称,得出HN+MN的最小值是MB,过点K作直线AH的对称点Q,连接QK,交直线AH于E,得到BM+MK的最小值是BQ,即BQ的长是HN+NM+MK的最小值,由勾股定理得QB=8,即可得出答案.
解答: 解:(1)依题意,得ax2+2ax﹣3a=0(a≠0),
两边都除以a得:
即x2+2x﹣3=0,
解得x1=﹣3,x2=1,
∵B点在A点右侧,
∴A点坐标为(﹣3,0),B点坐标为(1,0),
答:A、B两点坐标分别是(﹣3,0),(1,0).
证明:∵直线l: ,
当x=﹣3时, ,
∴点A在直线l上.
(2)∵点H、B关于过A点的直线l: 对称,
∴AH=AB=4,
过顶点H作HC⊥AB交AB于C点,
则 , ,
∴顶点 ,
代入二次函数解析式,解得 ,
∴二次函数解析式为 ,
答:二次函数解析式为 .
(3)直线AH的解析式为 ,
直线BK的解析式为 ,
由 ,
解得 ,
即 ,
则BK=4,
∵点H、B关于直线AK对称,K(3,2 ),
∴HN+MN的最小值是MB,
过K作KD⊥x轴于D,作点K关于直线AH的对称点Q,连接QK,交直线AH于E,
则QM=MK, ,AE⊥QK,
∴根据两点之间线段最短得出BM+MK的最小值是BQ,即BQ的长是HN+ NM+MK的最小值,
∵BK∥AH,
∴∠BKQ=∠HEQ=90°,
由勾股定理得QB= = =8,
∴HN+NM+MK的最小值为8,
答:HN+NM+MK和的最小值是8.
点评:本题主要考查对勾股定理,解二元一次方程组,二次函数与一元二次方程,二次函数与X轴的交点,用待定系数法求二次函数的解析式等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行计算是解此题的关键,此题是一个综合性比较强的题目,有一定的难度.
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