苍南县2015初三年级数学上学期期中试卷(含答案解析)

一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选均不给分）

1．若抛物线y=ax2经过P（1，﹣2），则它也经过 ( )

A．（2，1） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（﹣1，﹣2）

2．一个盒子里装有3粒黑棋，2粒白棋，每个棋子除颜色外均相同，从中任意摸出一粒棋子为黑棋的概率是( )

A． B． C． D．

3．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是( )

A．4 B．5 C．6 D．8

4．将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为( )

A．y=3（x﹣2）2﹣1 B．y=3（x﹣2）2+1 C．y=3（x+2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+1

5．已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）（0≤x≤3）的图象如图所示，则该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( )

A．有最大值1，没有最小值 B．有最大值3，有最小值﹣3

C．有最大值1，有最小值﹣3 D．有最大值3，有最小值1

6．如图，量角器外缘边上有A、P、Q三点，它们所表示的读数分别是180°，70°，30°，则∠PAQ的大小为( )

A．10° B．20° C．30° D．40°

7．任意抛掷一枚硬币2次，两次都正面朝上的概率( )

A．1 B． C． D．

8．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为4的概率是( )

A． B． C． D．

9．如图，两灯塔A、B间的距离恰好为暗礁所在的圆的半径，要使船P不驶入 暗礁区，则航行中应保持∠P( )

A．大于60° B．大于30° C．小于60° D．小于30°

10．如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上，下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P( )

A．到CD的距离保持不变 B．位置不变

C．等分 D．随C点移动而移动

二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）

11．请写出一个y关于x的二次函数，并符合如下条件；（1）开口向上，（2）经过原点，这个函数解析式可以为：__________．

12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=40°，则∠A的度数为__________．

13．一个骰子六个面上的数字分别为1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上的面出现数字2的概率是__________．

14．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为__________厘米．

15．如图，AB是⊙O的直径，C是半圆上的一个三等分点，D是 的中点，P是直径AB上一点，⊙O是半径为1，则PC+PD的最小值是__________．

16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x与直线y= 交于A、B，直线AB交于y轴于点C，点P为线段OB上一个动点（不与点O、B重合），当△OPC为等腰三角形时，点P的坐标：__________．

三、思维拓展题：（本题有2小题，共20分）

17．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（1，0）…

求证：这个二次函数的图象关于直线x=2对称，根据现有信息，题中的二次函数具有的性质：

（1）过点（3，0）

（2）顶点是（1，﹣2）

（3）在x轴上截得的线段的长度是2

（4）c=3a

正确的个数( )

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

18．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．

苍南县2015初三年级数学上学期期中试卷(含答案解析)参考答案及试题解析

一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选均不给分）

1．若抛物线y=ax2经过P（1，﹣2），则它也经过( )

A．（2，1） B．（﹣1，2） C．（1，2） D ．（﹣1，﹣2）

考点：二次函数图象上点的坐标特征．

分析：根据二次函数图象的对称性解答．

解答： 解：∵抛物线y=ax2经过点P（1，﹣2），

∴x=﹣1时的函数值也是﹣2，

即它也经过点（﹣1，﹣2）．

故选D．

点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟记二次函数的对称性是解题的关键．

2．一个盒子里装有3粒黑棋，2粒白棋，每个棋子除颜色外均相同，从中任意摸出一粒棋子为黑棋的概率是( )

A． B． C． D．

考点：概率公式．

分析：让黑棋的个数除以球的总数即为摸到黑棋的概率．

解答： 解：∵共5粒棋子，有3粒为黑色，

∴从中任意摸出一粒棋子为黑棋的概率是 ，

故选B．

点评：本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

3．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是( )

A．4 B．5 C．6 D．8

考点：垂径定理；勾股定理．

分析：根据垂径定理求出BC，根据勾股定理求出OC即可．

解答： 解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点，

∴BC=AC= AB= ×16=8，

在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC= = =6，

故选C．

点评：本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，关键是求出BC的长．

4．将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为( )

A．y=3（x﹣2）2﹣1 B．y=3（x﹣2）2+1 C．y=3（x+2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+1

考点：二次函数图象与几何变换 ．

分析：先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式写出抛物线解析式即可．

解答： 解：抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位后的抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣1），

所得抛物线为y=3（x+2）2﹣1．

故选C．

点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，求出平移后的抛物线的顶点坐标是解题的关键．

5．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）（0≤x≤3）的图象如图所示，则该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( )

A．有最大值1，没有最小值 B．有最大值3，有最小值﹣3

C．有最大值1，有最小值﹣3 D．有最大值3，有最小值1

考点：二次函数的最值．

分析：直接根据函数的图象顶点坐标及最低点求出该函数在所给自变量的取值范围内的最大及最小值即可．

解答： 解：由函数图象可知，此函数的顶点坐标为（1，1），

∵此抛物线开口向下，

∴此函数有最大值，最大值为1；

∵0≤x≤3，

∴当x=3时，函数最小值为﹣3．

故选：C．

点评：本题考查的是二次函数的最值及二次函数的图象，解答此题时要注意应用数形结合的思想求解．

6．如图，量角器外缘边上有A、P、Q三点，它们所表示的读数分别是180°，70°，30°，则∠PAQ的大小为( )

A．10° B．20° C．30° D．40°

考点：圆周角定理．

专题：计算题．

分析：利用量角器的知识计算．

解答： 解：P、Q所表示的读数分别是70°，30°，则设圆心是O，连接OP，OQ，

则∠POQ=40°，∠PAQ与∠POQ是同弧所对的圆心角与圆周角，

因而∠PAQ= =20度．

故选B．

点评：能够把量角器的问题，抽象成圆的问题，利用圆的知识解决，是数学知识与实际相联系，考查了利用数学解决问题的能力．

7．任意抛掷一枚硬币2次，两次都正面朝上的概率( )

A．1 B． C． D．

考点：列表法与树状图法．

专题：计算题．

分析：先画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两次都正面朝上的结果数，然后根据概率的定义求解．

解答： 解：画树状图为：

共有4种等可能的结果数，其中两次都正面朝上的结果数为1，

所以两次都正面朝上的概率= ．

故选D．

点评：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．

8．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为4的概率是( )

A． B． C． D．

考点：几何概率．

专题：计算题．

分析：根据几何概率的定义，分 别求出两圆中2所占的面积，即可求出针头扎在阴影区域内的概率．

解答： 解：指针指向（1）中2的概率是 ，指针指向（2）中2的概率是 ，

指针所指区域内的数字之和为4的概率是 × = ．

故选B．

点评：此题考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．两步完成的事件的概率=第一步事件的概率与第二步事件的概率的积．

9．如图，两灯塔A、B间的距离恰好为暗礁所在的圆的半径，要使船P不驶入暗礁区，则航行中应保持∠P( )

A．大于60° B．大于30° C．小于60° D．小于30°

考点：圆周角定理．

专题：应用题．

分析：连接OA，OB，AB及BC，由AB等于圆的半径，得到三角形AOB为等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠AOB=60°，由同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，求出∠ACB的度数，再由∠ACB为△PCB的外角，根据三角形的外角性质：三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角，可得∠APB小于∠ACB，即可得到正确的选项．

解答： 解：连接OA，OB，AB，BC，如图所示：

∵AB=OA=OB，即△AOB为等边三角形，

∴∠AOB=60°，

∵∠ACB与∠AOB所对的弧都为 ，

∴∠ACB= ∠AOB=30°，

又∠ACB为△PCB的外角，

∴∠ACB＞∠APB，即∠APB＜30°．

故选D．

点评：此题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，以及等边三角形的性质，根据题意作出辅助线，灵活运用圆周角定理是解本题的关键．

10．如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上，下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P( )

A．到CD的距离保持不变 B．位置不变

C．等分 D．随C点移动而移动

考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．

专题：探究型．

分析：连OP，由CP平分∠OCD，得到∠1=∠2，而∠1=∠3，所以有OP∥CD，则OP⊥AB，即可得到OP平分半圆APB．

解答： 解：连OP，如图，

∵CP平分∠OCD，

∴∠1=∠2，

而OC=OP，有∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴OP∥CD，

又∵弦CD⊥AB，

∴OP⊥AB，

∴OP平分半圆APB，即点P是半圆的中点．

故选B．

点评：本题考查了圆周 角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理的推论．

二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）

11．请写出一个y关于x的二次函数，并符合如下条件；（1）开口向上，（2）经过原点，这个函数解析式可以为：y=x2+2x．

考点：二次函数的性质．

专题：开放型．

分析：根据二次项系数大于零，可得图象开口向上，根据常数项为零，可得图象经过原点．

解答： 解：二次函数图象开口向上且经过原点，这个函数解析式可以为y=x2+2x，

故答案为：y=x2+2x．

点评：本题考查了二次函数的性质，利用了二次项系数大于零的函数图象开口向上，常数项为零的函数图象经过原点．

12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=40°，则∠A的度数为20°．

考点：圆周角定理．

分析：直接根据圆周角定理即可得出结论．

解答： 解：∵∠BOC与∠A是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BOC=40°，

∴∠BAC= ∠BOC=20°．

故答案为：20°．

点评：本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．

13．一个骰子六个面上的数字分别为1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上的面出现数字2的概率是 ．

考点：概率公式．

专题：计算题．

分析： 直接根据概率公式求解．

解答： 解：投掷一次，朝上的面出现数字2的概率= ．

故答案为

点评：本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．

14．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为10厘米．

考点：垂径定理的应用；勾股定理．

分析：首先找到EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM是16﹣x，MF=8，然后在直角三角形MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．

解答： 解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，

设OF=x，则OM=16﹣x，MF=8，

在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2

即：（16﹣x）2+82=x2

解得：x=10

故答案为：10．

点评：本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确的作出辅助线构造直角三角形．

15．如图，AB是⊙O的直径，C是半圆上的一个三等分点，D是 的中点，P是直径AB上一点，⊙O是半径为1，则PC+PD的最小值是 ．

考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理．

分析：作D关于AB的对称点E，连接CE交AB于点P′，连接OC，OE，则DP+CP最小，根据解直角三角形求出CE，根据轴对称求出DP′+CP′=CE即可．

解答： 解：作D关于AB的对称点E，连接CE交AB于点P′，连接OC，OE，

则根据垂径定理得：E在⊙O上，连接EC交AB于P′，则若P在P′时，DP+CP最小，

∵C是半圆上的一个三等分点，

∴∠AOC= ×180°=60°，

∵D是 的中点，

∴∠AOE= ∠AOC=30°，

∴∠COE=90°，

∴CE= OC= ，

即DP+CP= ．

故答案为： ．

点评：本题考查了解直角三角形，圆周角定理，垂径定理，轴对称的性质等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算能力．

16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x与直线y= 交于A、B，直线AB交于y轴于点C，点P为线段OB上一个动点（不与点O、B重合），当△OPC为等腰三角形时，点P的坐标：P1（ ， ），P2（ ， ），P3（ ， ）．

考点：二次函数的性质．

分析：根据解方程组，可得B点坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据等腰三角形的判定，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案．

解答： 解：联立抛物线与直线，得

，

解得 ， ，

即B（3，3）．

当x=0时，y= ，即C（0， ）．

设OB的解析式为y=kx，将B点坐标代入，得

3k=3，解得k=1，

即OB的解析式为y=x，

设P点坐标为（x，x），

当OP=OC时，x2+x2=（ ）2．

解得x=﹣ （不符合题意，舍），x= ，y=x= ，P1（ ， ）；

当OP=CP时，x2+（x﹣ ）2=x2+x2，

解得x= ，y=x= ，P2（ ， ）；

当OC=CP时，x2+（x﹣ ）2=（ ）2，

解得x=0（不符合题意，舍），x= ，y=x= ，P3（ ， ），

综上所述：P1（ ， ），P2（ ， ），P3（ ， ），

故答案为：P1（ ， ），P2（ ， ），P3（ ， ）．

点评：本题考查了二次函数的性质，利用解方程组求交点坐标，等腰三角形的判定，分类讨论是解题关键，以防遗漏．

三、思维拓展题：（本题有2小题，共20分）

17．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（1，0）…

求证：这个二次函数的图象关于直线x=2对称，根据现有信息，题中的二次函数具有的性质：

（1）过点（3，0）

（2）顶点是（1，﹣2）

（ 3）在x轴上截得的线段的长度是2

（4）c=3a

正确的个数( )

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

考点：二次函数的性质．

分析：分别利用二次函数的对称性以及二次函 数图象上点的坐标性质进而得出答案．

解答： 解：（1）因为图象过点（1，0），且对称轴是直线x=2，另一个对称点为（3，0），正确；

（2）顶点的横坐标应为对称轴，本题的顶点坐标与已知对称轴矛盾，错误；

（3）抛物线与x轴两交点为（1，0），（3，0），故在x轴上截得的线段长是2，正确；

（4）图象过点（1，0），且对称轴是直线x=﹣ =2时，则b=﹣4a，即a﹣4a+c=0，即可得出c=3a，正确．

正确个数为3．

故选B．

点评：本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是掌握二次函数图象的对称性，此题难度不大．

18．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．

考点：二次函数综合题．

专题：代数几何综合题；压轴题．

分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；

（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点D；

（3）根据直线AC 的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0时，△ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．

解答： 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），

∴ ，

解得 ，

所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；

（2）∵点A、B关于对称轴对称，

∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，

设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），

则 ，

解得 ，

所以，直线AC的解析式为y=x﹣1，

∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴抛物线的对称轴为直线x=2，

当x=2时，y=2﹣1=1，

∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△ BCD的周长最小；

（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，

联立 ，

消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0，

△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，

即m=﹣ 时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，

此时x= ，y= ﹣ =﹣ ，

∴点E的坐标为（ ，﹣ ），

设过点E的直线与x轴交点为F，则F（ ，0），

∴AF= ﹣1= ，

∵直线AC的解析式为y=x﹣1，

∴∠CAB=45°，

∴点F到AC的距离为AF?sin45°= × = ，

又∵AC= =3 ，

∴△ACE的最大面积= ×3 × = ，此时E点坐标为（ ，﹣ ）．

点评：本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，利用平行线确定点到直线的最大距离问题．