宁海县中学2015初三年级数学上学期期中试卷(含答案解析)

一、选择题（每小题4分，共48分）

1．抛物线y=2（x﹣3）2的顶点在（）

A． 第一象限 B． 第二象限 C． x轴上 D． y轴上

2．已知点（a，8）在二次函数y=ax2的图象上，则a的值是（）

A． 2 B． ﹣2 C． ±2 D． ±

3．在同一坐标系中，抛物线y=4x2，y= x2，y=﹣ x2的共同特点是（）

A． 关于y轴对称，开口向上

B． 关于y轴对称，y随x的增大而增大

C． 关于y轴对称，y随x的增大而减小

D． 关于y轴对称，顶点是原点

4．若A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）

A． y1＜y2＜y3 B． y2＜y1＜y3 C． y3＜y1＜y2 D． y1＜y3＜y2

5．把二次函数y=x2﹣2x﹣1的解析式配成顶点式为（）

A． y=（x﹣1）2 B． y=（x﹣1）2﹣2 C． y=（x+1）2+1 D． y=（x+1）2﹣2

6．下列说法中，正确的是（）

A． 买一张电影票，座位号一定是偶数

B． 投掷一枚均匀硬币，正面一定朝上

C． 三条任意长的线段可以组成一个三角形

D． 从1、2、3、4、5这五个数字中任取一个数，取得奇数比取得偶数的可能性大

7．如图，小明周末到外婆家，走到十字路口处，记不清前面哪条路通往外婆家，那么他能一次选对路的概率是（）

A． B． C． D． 0

8．一个袋中里有4个珠子，其中2个红色，2个蓝色，除颜色外其余特征均相同，若从这个袋中任取2个珠子，都是蓝色珠子的概率是（）

A． B． C． D．

9．对于任何的实数t，抛物线y=x2+（2﹣t）x+t总经过一个固定的点，这个点是（）

A． （1，0） B． （﹣1，0） C． （﹣1，3） D． （1，3）

10．关于二次函数y=ax2+bx+c的图象有下列命题：

①当c=0时，函数的图象经过原点；

②当c＞0，且函数的图象开口向下时，方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；

③函数图象最高点的纵坐标是 ；

④当b=0时，函数的图象关于y轴对称．

其中正确命题的个数是（）

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

11．如图，在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（）

A． B． C． D．

12．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动（抛物线随顶点一起平移），与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为（）

A． ﹣3 B． 1 C． 5 D． 8

二、填空题（每小题4分，共24分）

13．一道选择题有A，B，C，D 4个选项，只有1个选项是正确的．若两位同学随意任选1个答案，则同时选对的概率为．

14．函数y=x2+2x﹣8与x轴的交点坐标是．

15．平移抛物线y=x2+2x+8．使它经过原点．写出平移后抛物线的一个解析式．

16．已知y=ax2+bx+c的图象如下，则：a+b+c0，a﹣b+c0，2a﹣b0．

17．小华和小勇做抛掷2枚硬币游戏，抛1次．如果都“正面向上”，那么小华得1分；如果“一正一反”，那么小勇得1分；否则两人都得0分．谁先得到10分，谁就赢．对小华和小勇来讲，这个游戏规则公平吗？答：．

18．将10cm长的线段分成两部分，一部分作为正方形的一边，另一部分作为一个等腰直角三角形的斜边，求这个正方形和等腰直角三角形面积之和的最小值为．

三、解答题（本题有8小题，共78分）

19．在一个布袋内有大小、质量都相同的球20个，其中红球6个，蓝球6个，白球8个，从中任摸取1个，求摸到红球或蓝球的概率．

20．已知二次函数y=ax2+bx﹣3的图象经过点A（2，﹣3），B（﹣1，0）．

（1）求二次函数的解析式；

（2）填空：要使该二次函数的图象与x轴只有一个交点，应把图象沿y轴向上平移个单位．

21．某公司的各办公室内线电话的号码都是由四个数字组成．前两个数都是88，后两个数是由l、3、5 和2、4、6 两组数中分别任取一个组成（顺序不限）．后两个数之和为几的概率最大？概率为多少？后两个数字的和为9的概率是多少．请画出树状图说明．

22．已知二次函数 在x=0和x=2时的函数值相等

（1）求二次函数的解析式，并作图象；

（2）若一次函数y=kx+6的图象与二次函数的象都经过点A（﹣3，m），求m和k的值．

23．已知抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，当x≥0时，其图象如图所示．

（1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；

（2）画出抛物线y=ax2+bx+c当x＜0时的图象；

（3）利用抛物线y=ax2+bx+c，写出x为何值时，y＞0．

24．某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售出价（x）定为多少元时，才能使每天所赚的利润（y）最大并求出最大利润．

25．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．

（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；

（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km（桥长忽略不计）．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行），试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？

26．二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）．

（1）试求a，b所满足的关系式；

（2）设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△AMC的面积为△ABC面积的 倍时，求a的值；

（3）是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

宁海县中学2015初三年级数学上学期期中试卷(含答案解析)参考答案与试题解析

一、选择题（每小题4分，共48分）

1．抛物线y=2（x﹣3）2的顶点在（）

A． 第一象限 B． 第二象限 C． x轴上 D． y轴上

考点： 二次函数的性质．

分析： 二次函数的一般形式中的顶点式是：y=a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）．

解答： 解：∵函数y=2（x﹣3）2的顶点为（3，0），

∴顶点在x轴上．

故选C．

点评： 本题主要是考查二次函数的对称轴，顶点坐标的求法．

2．已知点（a，8）在二次函数y=ax2的图象上，则a的值是（）

A． 2 B． ﹣2 C． ±2 D． ±

考点： 二次函数图象上点的坐标特征．

分析： 因为点（a，8）在二次函数y=ax2的图象上，所以（a，8）符合解析式，代入解析式得8=a3，即a=2．

解答： 解：把点（a，8）代入解析式得8=a3，即a=2．故选A．

点评： 要明确点在函数图象上即点的坐标符合解析式．

3．在同一坐标系中，抛物线y=4x2，y= x2，y=﹣ x2的共同特点是（）

A． 关于y轴对称，开口向上

B． 关于y轴对称，y随x的增大而增大

C． 关于y轴对称，y随x的增大而减小

D． 关于y轴对称，顶点是原点

考点： 二次函数的图象．

分析： 形如y=ax2的抛物线共同特点就是：关于y轴对称，顶点是原点，a正负性决定开口方向．a的绝对值大小决定开口的大小．

解答： 解：因为抛物线y=4x2，y= x2，y=﹣ x2都符合抛物线的最简形式y=ax2，其对称轴是y轴，顶点是原点．

故选D．

点评： 要求掌握 形如y=ax2的抛物线性质．

4．若A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）

A． y1＜y2＜y3 B． y2＜y1＜y3 C． y3＜y1＜y2 D． y1＜y3＜y2

考点： 二次函数图象上点的坐标特征．

专题： 计算题．

分析： 分别计算x=﹣4、﹣3、1时的函数值，然后比较大小即可．

解答： 解：当x=﹣4时，y1=（﹣4）2+4×（﹣4）﹣5=﹣5；

当x=﹣3时，y2=（﹣3）2+4×（﹣3）﹣5=﹣8；

当x=﹣1时，y3=12+4×1﹣5=0，

所以y2＜y1＜y3．

故选B．

点评： 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．

5．把二次函数y=x2﹣2x﹣1的解析式配成顶点式为（）

A． y=（x﹣1）2 B． y=（x﹣1）2﹣2 C． y=（x+1）2+1 D． y=（x+1）2﹣2

考点： 二次函数的三种形式．

分析： 利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．

解答： 解：y=x2﹣2x﹣1=x2﹣2x+1﹣1﹣1=（x﹣1）2﹣2．

故选B．

点评： 二次函数的解析式有三种形式：

（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、 b、c为常数）；

（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；

（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．

6．下列说法中，正确的是（）

A． 买一张电影票，座位号一定是偶数

B． 投掷一枚均匀硬币，正面一定朝上

C． 三条任意长的线段可以组成一个三角形

D． 从1、2、3、4、5这五个数字中任取一个数，取得奇数比取得偶数的可能性大

考点： 随机事件．

分析： 分别利用事件发生的可能性分别分析得出即可．

解答： 解：A、买一张电影票，座位号不一定是偶数，故此选项错误；

B、投掷一枚均匀硬币，正面不一定朝上，故此选项错误；

C、三条任意长的线段不一定组成一个三角形，故此选项错误；

D、从1、2、3、4、5这五个数字中任取一个数，取得奇数比取得偶数的可能性大，正确．

故选：D．

点评： 此题主要考查了随机事件以及必然事件的定义，正确区分各事件是解题关键．

7．如图，小明周末到外婆家，走到十字路口处，记不清前面哪条路通往外婆家，那么他能一次选对路的概率是（）

A． B． C． D． 0

考点： 概率公式．

专题： 应用题；压轴题．

分析： 让1除以路的总条数即为小明能一次选对路的概率．

解答： 解：因为有三个路口，所以小明一次能走对路的概率是 ．

故选B．

点评： 本题考查概率的基本计算，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

8．一个袋中里有4个珠子，其中2个红色，2个蓝色，除颜色外其余特征均相同，若从这个袋中任取2个珠子，都是蓝色珠子的概率是（）

A． B． C． D．

考点： 概率公式．

专题： 压轴题．

分析： 列举出所有情况，看2个珠子都是蓝色珠子的情况数占总情况数的多少即可．

解答： 解：共有3×4=12种可能，而有2种结果都是蓝色的，所以都是蓝色的概率概率为 ．

故选D．

点评： 本题考查求随机事件概率的方法．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

9．对于任何的实数t，抛物线y=x2+（2﹣t）x+t总经过一个固定的点，这个点是（）

A． （1，0） B． （﹣1，0） C． （﹣1，3） D． （1，3）

考点： 二次函数图象上点的坐标特征．

专题： 计算题．

分析： 先把而次函数的解析式变形得到关于t的不定方程得（1﹣x）t=y﹣x2﹣2x，由于t有无数个值，所以1﹣x=0且y﹣x2﹣2x=0，然后求出x与y即可得到固定的点的坐标．

解答： 解：把y=x2+（2﹣t）x+t变形得到（1﹣x）t=y﹣x2﹣2x，

∵对于任何的实数t，抛 物线y=x2+（2﹣t）x+t总经过一个固定的点，

∴1﹣x=0且y﹣x2﹣2x=0，

∴x=1，y=3，

即这个固定的点的坐标为（1，3）．

故选D．

点评： 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．

10．关于二次函数y=ax2+bx+c的图象有下列命题：

①当c=0时，函数的图象经过原点；

②当c＞0，且函数的图象开口向下时，方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；

③函数图象最高点的纵坐标是 ；

④当b=0时，函数的图象关于y轴对称．

其中正确命题的个数是（）

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

考点： 抛物线与x轴的交点．

专题： 压轴题．

分析： 根据c与0的关系判断二次函数y=ax2+bx+c与y轴交点的情况；根据顶点坐标与抛物线开口方向判断函数的最值；根据函数y=ax2+c的图象与y=ax2图象相同，判断函数y=ax2+c的图象对称轴．

解答： 解：（1）c是二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点，所以当c=0时，函数的图象经过原点；

（2）c＞0 时，二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点在y轴的正半轴，又因为函数的图象开口向下，所以方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；

（3）当a＜0时，函数图象最高点的纵坐标是 ；当a＞0时，函数图象最低点的纵坐标是 ；由于a值不定，故无法判断最高点或最低点；

（4）当b=0时，二次函数y=ax2+bx+c变为y=ax2+c，又因为y=ax2+c的图象与y=ax2图象相同，所以当b=0时，函数的图象关于y轴对称．

三个正确，故选C．

点评： 二次函数y=ax2+bx+c的最值：当a＜0时，函数的最大值是 ；当a＞0时，函数的最小值是 ．

11．（4分）在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（）

A． B． C． D．

考点： 二次函数的图象；一次函数的图象．

专题： 几何图形问题．

分析： 根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．

解答： 解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），

∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故D选项错误；

当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；

当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误；

综上所述B选项正确．

故选：B．

点评： 考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．

12．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动（抛物线随顶点一起平移），与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为（）

A． ﹣3 B． 1 C． 5 D． 8

考点： 二次函数综合题．

专题： 压轴题；动点型．

分析： 当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为A（1，4），根据此时抛物线的对称轴，可判断出CD间的距离；

当D点横坐标最大时，抛物线顶点为B（4，4），再根据此时抛物线的对称轴及CD的长，可判断出D点横坐标最大值．

解答： 解：当点C横坐标为﹣3时，抛物线顶点为A（1，4），对称轴为x=1，此时D点横坐标为5，则CD=8；

当抛物线顶点为B（4，4）时，抛物线对称轴为x=4，且CD=8，故C（0，0），D（8，0）；

由于此时D点横坐标最大，

故点D的横坐标最大值为8；

故选：D．

点评： 能够正确地判断出点C横坐标最小、点D横坐标最大时抛物线的顶点坐标是解答此题的关键．

二、填空题（每小题4分，共24分）

13．一道选择题有A，B，C，D 4个选项，只有1个选项是正确的．若两位同学随意任选1个答案，则同时选对的概率为　 　．

考点： 概率公式．

分析： 一个同学任取一个有四种情况，选对的情况只有一种．计算出各自概率再相乘即可．

解答： 解：一个同学任取一个的概率为 ，故两位同学随意任选1个答案同时选对的概率为 = ．

点评： 用到的知识点为：两步完成的事件的概率=第一步事件的概率与第二步事件的概率的积．

14．函数y=x2+2x﹣8与x轴的交点坐标是　（2，0），（﹣4，0）　．

考点： 抛物线与x轴的交点．

分析： 解：令y=0，得方程x2+2x﹣8=0，根据十字相乘法求出方程的根，其就是函数与x轴交点的横坐标，从而求出函数y=x2+2x﹣8与x轴的交点坐标．

解答： 解：令y=0，得

方程x2+2x﹣8=0，

解方程得，x=2或﹣4，

∴函数y=x2+2x﹣8与x轴的交点坐标是：（2，0），（﹣4，0）．

点评： 此题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，两者互相转化，要充分运用这一点来解题．

15．平移抛物线y=x2+2x+8．使它经过原点．写出平移后抛物线的一个解析式　y=x2+2x　．

考点： 二次函数图象与几何变换．

专题： 几何变换．

分析： 由于平移前后的二次项系数不变，而平移后的抛物线过原点，则平移后的抛物线解析式中常数项为0，然后根据这两个条件写出一个解析式即可．

解答： 解：平移抛物线y=x2+2x+8，使它经过原点，则平移后的抛物线解析式可为y=x2+2x．

故答案为y=x2+2x．

点评： 本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

16．已知y=ax2+bx+c的图象如下，则：a+b+c　＜　0，a﹣b+c　＞　0，2a﹣b　=　0．

考点： 二次函数图象与系数的关系．

分析： 根据图象确定当x=1或﹣1时，y的符号，确定a+b+c、a﹣b+c的符号，根据对称轴为x=﹣1，确定2a﹣b的符号．

解答： 解：由图象可知，x=1时，y＜0，a+b+c＜0

x=﹣1时，y＞0，a﹣b+c＞0

﹣ =﹣1，2a﹣b=0

故答案为：＜；＞；=．

点评： 本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．

17．小华和小勇做抛掷2枚硬币游戏，抛1次．如果都“正面向上”，那么小华得1分；如果“一正一反”，那么小勇得1分；否则两人都得0分．谁先得到10分，谁就赢．对小华和小勇来讲，这个游戏规则公平吗？答：　不公平　．

考点： 游戏公平性．

分析： 游戏是否公平，只要计算出抛2次，如果2次“正面向上”和如果2次“反面向上”的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论．

解答： 解：如图所示：

，

根据概率的求法：任意抛掷一枚硬币两次，共4种情况；两次朝上的面都是正面只是其中的一种情况，

故P（小华赢）= ，则P（小勇赢）= ，比较得P（小华赢）= ＜P（小勇赢）= ，故该游戏不公平．

故答案为：不公平．

点评： 本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

18．将10cm长的线段分成两部分，一部分作为正方形的一边，另一部分作为一个等腰直角三角形的斜边，求这个正方形和等腰直角三角形面积之和的最小值为　20平方厘米　．

考点： 二次函数的最值；等腰直角三角形；正方形的性质．

专题： 计算题．

分析： 设等腰直角三角形的斜边为x，则正方形的边长为10﹣x．分别用含x的式子表示两个图形的面积，再求和的表达式，运用函数性质求解．

解答： 解：设等腰直角三角形的斜边为xcm，则正方形的边长为（10﹣x）cm．若等腰直角三角形的面积为S1，正方形面积为S2，则

S1= ?x? x= x2，S2=（10﹣x）2，

面积之和S= x2+（10﹣x）2= x2﹣20x+100．

∵ ＞0，

∴函数有最小值．

即S最小值= =20（cm2）．

故答案为20平方厘米．

点评： 此题的关键在数学建模思想的应用．选择合适的未知量表示面积得到函数关系式，再运用函数性质求解．

三、解答题（本题有8小题，共78分）

19．在一个布袋内有大小、质量都相同的球20个，其中红球6个，蓝球6个，白球8个，从中任摸取1个，求摸到红球或蓝球的概率．

考点： 概率公式．

分析： 根据随机事件概率大小的求法，找准两点：

①符合条件的情况数目；

②全部情况的总数．

二者的比值就是其发生的概率的大小．

解答： 解：根据题意可得：一袋中装有20个球，红球和蓝球共12个，

故任意摸出1个，摸到红球或蓝球的概率= = =0.6．

点评： 本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．

20．已知二次函数y=ax2+bx﹣3的图象经过点A（2，﹣3），B（﹣1，0）．

（1）求二次函数的 解析式；

（2）填空：要使该二次函数的图象与x轴只有一个交点，应把图象沿y轴向上平移　4　个单位．

考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．

分析： （1）将A（2，﹣3），B（﹣1，0）代入y=ax2+bx﹣3，用待定系数法即可求得二次函数的解析式；

（2）利用顶点坐标公式可求出图象沿y轴向上平移的单位．

解答： 解：（1）由已知，有 ，即 ，解得

∴所求的二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3．

（2）∵﹣ =1， =﹣4．

∴顶点坐标为（1，﹣4）．

∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，

∴应把图象沿y轴向上平移4个单位．

点评： 考查利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．二次函数的图象与x轴只有一个交点，即顶点的纵坐标为0．

21．某公司的各办公室内线电话的号码都是由四个数字组成．前两个数都是88，后两个数是由l、3、5 和2、4、6 两组数中分别任取一个组成（顺序不限）．后两个数之和为几的概率最大？概率为多少？后两个数字的和为9的概率是多少．请画出树状图说明．

考点： 列表 法与树状图法．

分析： 首先画出树形图，即可求出两个数之和为7时的概率最大，进而求出其概率以及后 两个数字的和为9的概率．

解答： 解：画树形图得：

由树形图可知两个数之和为7时的概率最大 ，其概率为： = ，

后两个数字的和为9的概率是 ．

点评： 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．

22．已知 二次函数 在x=0和x=2时的函数值相等

（1）求二次函数的解析式，并作图象；

（2）若一次函数y=kx+6的图象与二次函数的象都经过点A（﹣3，m），求m和k的值．

考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数图象上点的坐标特征．

分析： （1）根据已知条件知，该函数的对称轴方程为x=1，则﹣ =1，据此易求t的值，把t的值代入函数解析式即可；根据图象与坐标轴的交点坐标，顶点坐标画出图象；

（2）把点A的坐标代入二次函数解析式，利用方程可以求得m的值；然后把点A的坐标代入一次函数解析式，也是利用方程来求k的值．

解答： 解：（1）∵二次函数 在x=0和x=2时的函数值相等，

∴对称轴x=﹣ = =1，即﹣ =1，

解得，t=﹣ ，

则二次函数的解析式为：y=（﹣ +1）x2+2（﹣ +2）x+ ，即y=﹣ （x+1）（x﹣3）或y=﹣ （x﹣1）2+2，

∴该函数图象的开口方向向下，且经过点（﹣1，0），（3，0），（0， ），顶点坐标是（1，2）．其图象如图所示：

；

（2）∵二次函数的象经过点A（﹣3，m），

∴m=﹣ （﹣3+1）（﹣3﹣3）=﹣6．

又∵一次函数y=kx+6的图象经过点A（﹣3，m），

∴m=﹣3k+6，即﹣6=﹣3k+6，

解得，k=4．

综上所述，m和k的值分别是﹣6、4．

点评： 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象以及二次函数图象上点的坐标特征．求得二次函数的解析式时，利用了二次函数图象的对称性质．

23．已知抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，当x≥0时，其图象如图所示．

（1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；

（2）画出抛物线y=ax2+bx+c当x＜0时的图象；

（3）利用抛物线y=ax2+bx+c，写出x为何值时，y＞0．

考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象．

分析： 本题的关键是求出抛物线的解析式，在题目给出的图象中可得出A、B、C三点的坐标，可用待定系数求出抛物线的解析式，进而可画出x＜0时抛物线的图象，以及y＞0时x的取值范围．

解答： 解：（1）由图象，可知A（0，2），B（4，0），C（5，﹣3），

得方程组 ．

解得a=﹣ ，b= ，c=2．

∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+2．

顶点坐标为（ ， ）．

（2）所画图如图．

（3）由图象可知，当﹣1＜x＜4时，y＞0．

点评： 本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识，以及数形结合的数学思想方法．

24．某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售出价（x）定为多少元时，才能使每天所赚的利润（y）最大并求出最大利润．

考点： 二次函数的应用．

专题： 压轴题．

分析： 日利润=销售量×每件利润．每件利润为x﹣8元，销售量为100﹣10（x﹣10），据此得关系式．

解答： 解：由题意得，

y=（x﹣8）[100﹣10（x﹣10）]=﹣10（x﹣14）2+360（10≤a＜20），

∵a=﹣10＜0

∴当x=14时，y有最大值360

答：他将售出价（x）定为14元时，才能使每天所赚的利润（y）最大，最大利润是360元．

点评： 本题重在考查运用二次函数性质求最值常用配方法或公式法．

25．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．

（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；

（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km（桥长忽略不计）．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行），试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？

考点： 二次函数的应用．

专题： 应用题．

分析： 根据抛物线在坐标系的位置，设抛物线的解析式为y=ax2，设D、B的坐标求解析式；

解答： 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2（a不等于0），桥拱最高点O到水面CD的距离为h米．

则D（5，﹣h），B（10，﹣h﹣3）

∴

解得

∴抛物线的解析式为y=﹣ x2

（2）水位由CD处涨到点O的时间为：1÷0.25=4（小时）

货车按原来速度行驶的路程为：40×1+40×4=200（米）＜280（米）

∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥．

设货车速度提高到x千米/时

当4x+40×1=280时，x=60

∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60千米/时．

点评： 本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．

26．二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）．

（1）试求a，b所满足的 关系式；

（2）设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△AMC的面积为△ABC面积的 倍时，求a的值；

（3）是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题．

专题： 压轴题；开放型．

分析： （1）把点A（1，0）和点B（0，1）的坐标代入抛物线的解析式，就可以得到关于a，b，c关系式．整理就得到a，b的关系．

（2）△ABC的面积可以求出是 ，利用公式求出抛物线的顶点的纵坐标，进而表示出△AMC的面积，根据 ，就可以得到关于a的方程，解得a的值．

（3）本题应分A是直角顶点，B是直角顶点，C是直角顶点三种情况进行讨论．

解答： 解：（1）将A（1，0），B （0，l）代入y=ax2+bx+c，

得： ，

可得：a+b=﹣1

（2）∵a+b=﹣1，

∴b=﹣a﹣1代入函数的解析式得到：y=ax2﹣（a+1）x+1，

顶点M的纵坐标为 ，

因为 ，

由同底可知： ，

整理得：a2+3a+1=0，

解得： ，

由图象可知：a＜0，

因为抛物线过点（1，0），顶点M在第二象限，其对称轴x= ，

∴﹣1＜a＜0，

∴ 舍去，

从而 ．

（3）①由图可知，A为直角顶点不可能；

②若C为直角顶点，此时C点与原点 O重合，不合题意；

③若设B为直角顶点，则可知AC2=AB2+BC2，

令y=0，可得：0=ax2﹣（a+1）x+1，

解得：x1=1，x2=

得：AC=1﹣ ，BC= ，AB= ．

则（1﹣ ）2=（1+ ）+2，

解得：a=﹣1，由﹣1＜a＜0，不合题意．

所以不存在．

综上所述：不存在．

点评： 本题值函数与三角形相结合的题目，注意数与形的结合是解题的关键．