2015九年级数学下册期中重点圆测试题7(含答案解析)

一．解答题（共30小题）

1．在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连接OD．

（1）求证：△ADO∽△ACB．

（2）若⊙O的半径为1，求证：AC=AD?BC．

2．已知在△ABC中，∠B=90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E．

（1）求证：AC?AD=AB?AE；

（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长．

3．AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于N．

（1）求证：∠ADC=∠ABD；

（2）求证：AD2=AM?AB；

（3）若AM= ，sin∠ABD= ，求线段BN的长．

4．在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．

（1）求证：DF⊥AC；

（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．

5．△ABC内接于⊙O，AB=AC，BD为⊙O的弦，且AB∥CD，过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F．

（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；

（2）若AE=6，CD=5，求OF的长．

6．在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．

（1）若∠B=30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形．

（2）若AC=6，AB=10，连结AD，求⊙O的半径和AD的长．

7．AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E．

（1）求证：DC=DE；

（2）若tan∠CAB= ，AB=3，求BD的长．

8．AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，与AC的延长线交于点D，作AE⊥AC交DE于点E．

（1）求证：∠BAD=∠E；

（2）若⊙O的半径为5，AC=8，求BE的长．

9．AB是半圆O的直径，CD⊥AB于点C，交半圆于点E，DF切半圆于点F．已知∠AEF=135°．

（1）求证：DF∥AB；

（2）若OC=CE，BF= ，求DE的长．

10．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P．

（1）求证：∠BCP=∠BAN

（2）求证： = ．

11．AB是⊙O的直径，点C是 的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．

（1）求证：AC=CD；

（2）若OC= ，求BH的长．

12．MN是⊙O的直径，QN是⊙O的切线，连接MQ交⊙O于点H，E为 上一点，连接ME，NE，NE交MQ于点F，且ME2=EF?EN．

（1）求证：QN=QF；

（2）若点E到弦MH的距离为1，cos∠Q= ，求⊙O的半径．

13．点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．

（1）求证：AD平分∠BAC；

（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．

14．直线l经过点A（4，0），B（0，3）．

（1）求直线l的函数表达式；

（2）若圆M的半径为2，圆心M在y轴上，当圆M与直线l相切时，求点M的坐标．

15．已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．

（1）求证：AB=BE；

（2）若PA=2，cosB= ，求⊙O半径的长．

16．已知A、B、C是⊙O上的三个点．四边形OABC是平行四边形，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D．

（Ⅰ）如图①，求∠ADC的大小．

（Ⅱ）如图②，经过点O作CD的平行线，与AB交于点E，与 交于点F，连接AF，求∠FAB的大小．

17．已知三角形ABC的边AB是⊙0的切线，切点为B．AC经过圆心0并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E．

（1）求证：CB平分∠ACE；

（2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径．

18．五边形ABCDE中，∠EAB=∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC，且满足以点B为圆心，AB长为半径的圆弧AC与边DE相切于点F，连接BE，BD．

（1）如图1，求∠EBD的度数；

（2）如图2，连接AC，分别与BE，BD相交于点G，H，若AB=1，∠DBC=15°，求AG?HC的值．

19．AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P．求证：

（1）AC?PD=AP?BC；

（2）PE=PD．

20．AB是⊙O的直径， = ，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．

（1）若OA=CD=2 ，求阴影部分的面积；

（2）求证：DE=DM．

21．已知AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，且点E是OD的中点，⊙O的切线BM与AO的延长线相交于点M，连接AC，CM．

（1）若AB=4 ，求 的长；（结果保留π）

（2）求证：四边形ABMC是菱形．

22．已知四边形ABCD是平行四边形，AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，边CD与⊙O相交于点E，连接AE，BE．

（1）求证：AB=AC；

（2）若过点A作AH⊥BE于H，求证：BH=CE+EH．

23．在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点且∠BOD=60°，过点D作⊙O的切线CD交AB的延长线于点C，E为 的中点，连接DE，EB．

（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；

（2）已知图中阴影部分面积为6π，求⊙O的半径r．

24．点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．

（1）求证：直线PB与⊙O相切；

（2）PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．

25．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．

（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AC=3，∠B=30°．

①求⊙O的半径；

②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）

26．已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．

（1）如图①所示，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是（至少说出两种）：或者．

（2）如图②所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．

27．等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．

（1）求证：直线EF是⊙O的切线；

（2）求cos∠E的值．

28．⊙O是△ABC的外接圆，P是⊙O外的一点，AM是⊙O的直径，∠PAC=∠ABC

（1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）连接PB与AC交于点D，与⊙O交于点E，F为BD上的一点，若M为 的中点，且∠DCF=∠P，求证： = = ．

29．△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．

（1）试说明DF是⊙O的切线；

（2）若AC=3AE，求tanC．

30.在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连接DE．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）连接AE，若∠C=45°，求sin∠CAE的值．

2015九年级数学下册期中重点圆测试题7(含答案解析)参考答案与试题解析

一．解答题（共30小题）

1．在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连接OD．

（1）求证：△ADO∽△ACB．

（2）若⊙O的半径为1，求证：AC=AD?BC．

考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质．

分析： （1）由AB是⊙O的切线，得到OD⊥AB，于是得到∠C=∠ADO=90°，问题可证；

（2）由△ADO∽△ACB列比例式即可得到结论．

解答： （1）证明：∵AB是⊙O的切线，

∴OD⊥AB，

∴∠C=∠ADO=90°，

∵∠A=∠A，

∴△ADO∽△ACB；

（2）解：由（1）知：△ADO∽△ACB．

∴ ，

∴AD?BC=AC?OD，

∵OD=1，

∴AC=AD?BC．

点评： 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，熟记定理是解题的关键．

2．已知在△ABC中，∠B=90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E．

（1）求证：AC?AD=AB?AE；

（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长．

考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质．

分析： （1）连接DE，根据圆周角定理求得∠ADE=90°，得出∠ADE=∠ABC，进而证得△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例即可求得结论；

（2）连接OD，根据切线的性质求得OD⊥BD，在RT△OBD中，根据已知求得∠OBD=30°，进而求得∠BAC=30°，根据30°的直角三角形的性质即可求得AC的长．

解答： （1）证明：连接DE，

∵AE是直径，

∴∠ADE=90°，

∴∠ADE=∠ABC，

∵∠DAE=∠BAC，

∴△ADE∽△ABC，

∴ = ，

∴AC?AD=AB?AE；

（2）解：连接OD，

∵BD是⊙O的切线，

∴OD⊥BD，

在RT△OBD中，OE=BE=OD，

∴OB=2OD，

∴∠OBD=30°，

同理∠BAC=30°，

在RT△ABC中，AC=2BC=2×2=4．

点评： 本题考查了圆周角定理的应用，三角形相似的判定和性质，切线的性质，30°的直角三角形的性质等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．

3．AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于N．

（1）求证：∠ADC=∠ABD；

（2）求证：AD2=AM?AB；

（3）若AM= ，sin∠ABD= ，求线段BN的长．

考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质．

分析： （1）连接OD，由切线的性质和圆周角定理即可得到结果；

（2）由已知条件证得△ADM∽△ABD，即可得到结论；

（3）根据三角函数和勾股定理代入数值即可得到结果．

解答： （1）证明：连接OD，

∵直线CD切⊙O于点D，

∴∠CDO=90°，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3，

∵OB=OD，

∴∠3=∠4，

∴∠ADC=∠ABD；

（2）证明：∵AM⊥CD，

∴∠AMD=∠ADB=90°，

∵∠1=∠4，

∴△ADM∽△ABD，

∴ ，

∴AD2=AM?AB；

（3）解：∵sin∠ABD= ，

∴sin∠1= ，

∵AM= ，

∴AD=6，

∴AB=10，

∴BD= =8，

∵BN⊥CD，

∴∠BND=90°，

∴∠DBN+∠BDN=∠1+∠BDN=90°，

∴∠DBN=∠1，

∴sin∠NBD= ，

∴DN= ，

∴BN= = ．

点评： 本题考查了圆的切线性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．

4．在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．

（1）求证：DF⊥AC；

（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．

考点： 切线的性质；扇形面积的计算．

分析： （1）连接OD，易得∠ABC=∠ODB，由AB=AC，易得∠ABC=∠ACB，等量代换得∠ODB=∠ACB，利用平行线的判定得OD∥AC，由切线的性质得DF⊥OD，得出结论；

（2）连接OE，利用（1）的结论得∠ABC=∠ACB=67.5°，易得∠BAC=45°，得出∠AOE=90°，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论．

解答： （1）证明：连接OD，

∵OB=OD，

∴∠ABC=∠ODB，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠ODB=∠ACB，

∴OD∥AC，

∵DF是⊙O的切线，

∴DF⊥OD，

∴DF⊥AC．

（2）解：连接OE，

∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，

∴∠ABC=∠ACB=67.5°，

∴∠BAC=45°，

∵OA=OE，

∴∠AOE=90°，

∵⊙O的半径为4，

∴S扇形AOE=4π，S△AOE=8 ，

∴S阴影=4π﹣8．

点评： 本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键．

5．△ABC内接于⊙O，AB=AC，BD为⊙O的弦，且AB∥CD，过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F．

（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；

（2）若AE=6，CD=5，求OF的长．

考点： 切线的性质；平行四边形的判定．

分析： （1）根据切线的性质证明∠EAC=∠ABC，根据等腰三角形等边对等角的性质和等量代得到∠EAC=∠ACB，从而根据内错角相等两直线平行的判定得到AE∥BC，结合已知AB∥CD即可判定四边形ABCD是平行四边形；

（2）作辅助线，连接AO，交BC于点H，双向延长OF分别交AB，CD于点N，M，根据切割线定理求得EC=4，证明四边形ABDC是等腰梯形，根据对称性、圆周角定理和垂径定理的综合应用证明△OFH∽△DMF∽△BFN，并由勾股定理列式求解即可．

解答： （1）证明：∵AE与⊙O相切于点A，

∴∠EAC=∠ABC，

∵AB=AC

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠EAC=∠ACB，

∴AE∥BC，

∵AB∥CD，

∴四边形ABCE是平行四边形；

（2）解：如图，连接AO，交BC于点H，双向延长OF分别交AB，CD与点N，M，

∵AE是⊙O的切线，

由切割线定理得，AE2=EC?DE，

∵AE=6，CD=5，

∴62=CE（CE+5），解得：CE=4，（已舍去负数），

由圆的对称性，知四边形ABDC是等腰梯形，且AB=AC=BD=CE=4，

又根据对称性和垂径定理，得AO垂直平分BC，MN垂直平分AB，DC，

设OF=x，OH=Y，FH=z，

∵AB=4，BC=6，CD=5，

∴BF= BC﹣FH=3﹣z，DF=CF= BC+FH=3+z，

易得△OFH∽△DMF∽△BFN，

∴ ， ，

即 ，①

②，

①+②得： ，

①÷②得： ，

解 得 ，

∵x2=y2+z2，

∴ ，

∴x= ，

∴OF= ．

点评： 本题考查了切线的性质，圆周勾股定理，等腰三角形的性质，平行的判定，平行四边形的判定和性质，等腰梯形的判定和性质，垂径定理，相似判定和性质，勾股定理，正确得作出辅助线是解题的关键．

6．在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．

（1）若∠B=30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形．

（2）若AC=6，AB=10，连结AD，求⊙O的半径和AD的长．

考点： 切线的性质；菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．

分析： （1）连接OD、OE、ED．先证明△AOE是等边三角形，得到AE=AO=0D，则四边形AODE是平行四边形，然后由OA=OD证明四边形AODE是菱形；

（2）连接OD、DF．先由△OBD∽△ABC，求出⊙O的半径，然后证明△ADC∽△AFD，得出AD2=AC?AF，进而求出AD．

解答： （1）证明：如图1，连接OD、OE、ED．

∵BC与⊙O相切于一点D，

∴OD⊥BC，

∴∠ODB=90°=∠C，

∴OD∥AC，

∵∠B=30°，

∴∠A=60°，

∵OA=OE，

∴△AOE是等边三角形，

∴AE=AO=0D，

∴四边形AODE是平行四边形，

∵OA=OD，

∴四边形AODE是菱形．

（2）解：设⊙O的半径为r．

∵OD∥AC，

∴△OBD∽△ABC．

∴ ，即10r=6（10﹣r）．

解得r= ，

∴⊙O的半径为 ．

如图2，连接OD、DF．

∵OD∥AC，

∴∠DAC=∠ADO，

∵OA=OD，

∴∠ADO=∠DAO，

∴∠DAC=∠DAO，

∵AF是⊙O的直径，

∴∠ADF=90°=∠C，

∴△ADC∽△AFD，

∴ ，

∴AD2=AC?AF，

∵AC=6，AF= ，

∴AD2= ×6=45，

∴AD= =3 ．

点评： 本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、菱形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，是一个综合题，难度中等．熟练掌握相关图形的性质及判定是解本题的关键．

7．AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E．

（1）求证：DC=DE；

（2）若tan∠CAB= ，AB=3，求BD的长．

考点： 切线的性质；勾股定理；解直角三角形．

分析： （1）利用切线的性质结合等腰三角形的性质得出∠DCE=∠E，进而得出答案；

（2）设BD=x，则AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x，利用勾股定理得出BD的长．

解答： （1）证明：连接OC，

∵CD是⊙O的切线，

∴∠OCD=90°，

∴∠ACO=∠DCE=90°，

又∵ED⊥AD，∴∠EDA=90°，

∴∠EAD+∠E=90°，

∵OC=OA，∴∠ACO=∠EAD，

故∠DCE=∠E，

∴DC=DE，

（2）解：设BD=x，则AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x，

在Rt△EAD中，

∵tan∠CAB= ，∴ED= AD= （3+x），

由（1）知，DC= （3+x），在Rt△OCD中，

OC2+CD2=DO2，

则1.52+[ （3+x）]2=（1.5+x）2，

解得：x1=﹣3（舍去），x2=1，

故BD=1．

点评： 此题主要考查了切线的性质以及以及勾股定理和等腰三角形的性质等知识，熟练应用切线的性质得出∠OCD=90°是解题关键．

8．AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，与AC的延长线交于点D，作AE⊥AC交DE于点E．

（1）求证：∠BAD=∠E；

（2）若⊙O的半径为5，AC=8，求BE的长．

考点： 切线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．

分析： （1）根据切线的性质，和等角的余角相等证明即可；

（2）根据勾股定理和相似三角形进行解答即可．

解答： （1）证明：∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，

∴∠ABE=90°，

∴∠BAE+∠E=90°，

∵∠DAE=90°，

∴∠BAD+∠BAE=90°，

∴∠BAD=∠E；

（2）解：连接BC，如图：

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵AC=8，AB=2×5=10，

∴BC= ，

∵∠BCA=∠ABE=90°，∠BAD=∠E，

∴△ABC∽△EAB，

∴ ，

∴ ，

∴BE= ．

点评： 本题考查了切线的性质、相似三角形等知识点，关键是根据切线的性质和相似三角形的性质分析．

9．AB是半圆O的直径，CD⊥AB于点C，交半圆于点E，DF切半圆于点F．已知∠AEF=135°．

（1）求证：DF∥AB；

（2）若OC=CE，BF= ，求DE的长．

考点： 切线的性质．

分析： （1）证明：连接OF，根据圆内接四边形的性质得到∠AEF+∠B=180°，由于∠AEF=135°，得出∠B=45°，于是得到∠AOF=2∠B=90°，由DF切⊙O于F，得到∠DFO=90°，由于DC⊥AB，得到∠DCO=90°，于是结论可得；

（2）过E作EM⊥BF于M，由四边形DCOF是矩形，得到OF=DC=OA，由于OC=CE，推出AC=DE，设DE=x，则AC=x，在Rt△FOB中，∠FOB=90°，OF=OB，BF=2 ，由勾股定理得：OF=OB=2，则AB=4，BC=4﹣x，由于AC=DE，OCDF=CE，由勾股定理得：AE=EF，通过Rt△ECA≌Rt△EMF，得出AC=MF=DE=x，在Rt△ECB和Rt△EMB中，由勾股定理得：BC=BM，问题可得．

解答： （1）证明：连接OF，

∵A、E、F、B四点共圆，

∴∠AEF+∠B=180°，

∵∠AEF=135°，

∴∠B=45°，

∴∠AOF=2∠B=90°，

∵DF切⊙O于F，

∴∠DFO=90°，

∵DC⊥AB，

∴∠DCO=90°，

即∠DCO=∠FOC=∠DFO=90°，

∴四边形DCOF是矩形，

∴DF∥AB；

（2）解：过E作EM⊥BF于M，

∵四边形DCOF是矩形，

∴OF=DC=OA，

∵OC=CE，

∴AC=DE，

设DE=x，则AC=x，

∵在Rt△FOB中，∠FOB=90°，OF=OB，BF=2 ，由勾股定理得：OF=OB=2，

则AB=4，BC=4﹣x，

∵AC=DE，OCDF=CE，

∴由勾股定理得：AE=EF，

∴∠ABE=∠FBE，

∵EC⊥AB，EM⊥BF

∴EC=EM，∠ECB=∠M=90°，

在Rt△ECA和Rt△EMF中

∴Rt△ECA≌Rt△EMF，

∴AC=MF=DE=x，

在Rt△ECB和Rt△EMB中，由勾股定理得：BC=BM，

∴BF=BM﹣MF=BC﹣MF=4﹣x﹣x=2 ，

解得：x=2﹣ ，

即DE=2﹣ ．

点评： 本题考查了圆周角性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线性质，矩形的性质和判定的应用，正确的作出辅助线是解题的关键．

10．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P．

（1）求证：∠BCP=∠BAN

（2）求证： = ．

考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质．

专题： 证明题．

分析： （1）由AC为⊙O直径，得到∠NAC+∠ACN=90°，由AB=AC，得到∠BAN=∠CAN，根据PC是⊙O的切线，得到∠ACN+∠PCB=90°，于是得到结论．

（2）由等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，根据圆内接四边形的性质得到∠PBC=∠AMN，证出△BPC∽△MNA，即可得到结论．

解答： （1）证明：∵AC为⊙O直径，

∴∠ANC=90°，

∴∠NAC+∠ACN=90°，

∵AB=AC，

∴∠BAN=∠CAN，

∵PC是⊙O的切线，

∴∠ACP=90°，

∴∠ACN+∠PCB=90°，

∴∠BCP=∠CAN，

∴∠BCP=∠BAN；

（2）∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵∠PBC+∠ABC=∠AMN+∠ACN=180°，

∴∠PBC=∠AMN，

由（1）知∠BCP=∠BAN，

∴△BPC∽△MNA，

∴ ．

点评： 本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，解此题的关键是熟练掌握定理．

11．AB是⊙O的直径，点C是 的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．

（1）求证：AC=CD；

（2）若OC= ，求BH的长．

考点： 切线的性质．

分析： （1）连接OC，由C是 的中点，AB是⊙O的直径，则CO⊥AB，再由BD是⊙O的切线，得BD⊥AB，从而得出OC∥BD，即可证明AC=CD；

（2）根据点E是OB的中点，得OE=BE，可证明△COE≌△FBE（ASA），则BF=CO，即可得出BF=2，由勾股定理得出AF= ，由AB是直径，得BH⊥AF，可证明△ABF∽△BHF，即可得出BH的长．

解答： （1）证明：连接OC，

∵C是 的中点，AB是⊙O的直径，

∴CO⊥AB，

∵BD是⊙O的切线，

∴BD⊥AB，

∴OC∥BD，

∵OA=OB，

∴AC=CD；

（2）解：∵E是OB的中点，

∴OE=BE，

在△COE和△FBE中，

，

∴△COE≌△FBE（ASA），

∴BF=CO，

∵OB= ，

∴BF= ，

∴AF= =5，

∵AB是直径，

∴BH⊥AF，

∴△ABF∽△BHF，

∴ ，

∴AB?BF=AF?BH，

∴BH= = =2．

点评： 本题考查了切线的性质以及全等三角形的判定和性质、勾股定理，是中档题，难度不大．

12．MN是⊙O的直径，QN是⊙O的切线，连接MQ交⊙O于点H，E为 上一点，连接ME，NE，NE交MQ于点F，且ME2=EF?EN．

（1）求证：QN=QF；

（2）若点E到弦MH的距离为1，cos∠Q= ，求⊙O的半径．

考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质．

分析： （1）如图1，通过相似三角形（△MEF∽△MEN）的对应角相等推知，∠1=∠EMN；又由弦切角定理、对顶角相等证得∠2=∠3；最后根据等角对等边证得结论；

（2）如图2，连接OE交MQ于点G，设⊙O的半径是r．根据（1）中的相似三角形的性质证得∠EMF=∠ENM，所以由“圆周角、弧、弦间的关系”推知点E是弧MH的中点，则OE⊥MQ；然后通过解直角△MNE求得cos∠Q=sin∠GMO= = ，则可以求r的值．

解答： （1）证明：如图1，

∵ME2=EF?EN，

∴ = ．

又∵∠MEF=∠MEN，

∴△MEF∽△MEN，

∴∠1=∠EMN．

∵∠1=∠2，∠3=∠EMN，

∴∠2=∠3，

∴QN=QF；

（2）解：如图2，连接OE交MQ于点G，设⊙O的半径是r．

由（1）知，△MEF∽△MEN，则∠4=∠5．

∴ = ．

∴OE⊥MQ，

∴EG=1．

∵cos∠Q= ，且∠Q+∠GMO=90°，

∴sin∠GMO= ，

∴ = ，即 = ，

解得，r=2.5，即⊙O的半径是2.5．

点评： 本题考查切线的性质和相似三角形的判定与性质．在（1）中判定△MEF∽△MEN是解题的关键，在（2）中推知点E是弧MH的中点是解题的关键．

13．点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．

（1）求证：AD平分∠BAC；

（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．

考点： 切线的性质；扇形面积的计算．

分析： （1）由Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O切BC于D，易证得AC∥OD，继而证得AD平分∠CAB．

（2）如图，连接ED，根据（1）中AC∥OD和菱形的判定与性质得到四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，则图中阴影部分的面积=扇形EOD的面积．

解答： （1）证明：∵⊙O切BC于D，

∴OD⊥BC，

∵AC⊥BC，

∴AC∥OD，

∴∠CAD=∠ADO，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ADO，

∴∠OAD=∠CAD，

即AD平分∠CAB；

（2）设EO与AD交于点M，连接ED．

∵∠BAC=60°，OA=OE，

∴∠AEO是等边三角形，

∴AE=OA，∠AOE=60°，

∴AE=A0=OD，

又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，

∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD=60°，

∴S△AEM=S△DMO，

∴S阴影=S扇形EOD= = ．

点评： 此题考查了切线的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

14．直线l经过点A（4，0），B（0，3）．

（1）求直线l的函数表达式；

（2）若圆M的半径为2，圆心M在y轴上，当圆M与直线l相切时，求点M的坐标．

考点： 切线的性质；待定系数法求一次函数解析式．

分析： （1）把点A（4，0），B（0，3）代入直线l的解析式y=kx+b，即可求出结果．

（2）先画出示意图，在Rt△ABM中求出sin∠BAM，然后在Rt△AMC中，利用锐角三角函数的定义求出AM，继而可得点M的坐标．

解答： 解：（1）∵直线l经过点A（4，0），B（0，3），

∴设直线l的解析式为：y=kx+b，

∴

∴ ．

∴直线l的解析式为：y=﹣ x+3；

（3）设M坐标为（0，m）（m＞0），即OM=m，

若M在B点下边时，BM=3﹣m，

∵∠MBN′=∠ABO，∠MN′B=∠BOA=90°，

∴△MBN′∽△ABO，

∴ = ，即 = ，

解得：m= ，此时M（0， ）；

若M在B点上边时，BM=m﹣3，

同理△BMN∽△BAO，则有 = ，即 = ，

解得：m= ．此时M（0， ）．

点评： 本题考查了用待定系数法求函数的解析式，切线的性质，解答本题的关键是画出示意图，熟练掌握切线的性质及锐角三角函数的定义，难度一般．

15．已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．

（1）求证：AB=BE；

（2）若PA=2，cosB= ，求⊙O半径的长．

考点： 切线的性质；解直角三角形．

分析： （1）本题可连接OD，由PD切⊙O于点D，得到OD⊥PD，由于BE⊥PC，得到OD∥BE，得出∠ADO=∠E，根据等腰三角形的性质和等量代换可得结果；

（2）由（1）知，OD∥BE，得到∠POD=∠B，根据三角函数的定义即可得到结果．

解答： （1）证明：连接OD，

∵PD切⊙O于点D，

∴OD⊥PD，

∵BE⊥PC，

∴OD∥BE，

∴ADO=∠E，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ADO，

∴∠OAD=∠E，

∴AB=BE；

（2）解：有（1）知，OD∥BE，

∴∠POD=∠B，

∴cos∠POD=cosB= ，

在Rt△POD中，cos∠POD= = ，

∵OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，

∴ ，

∴OA=3，

∴⊙O半径=3．

点评： 本题考查了切线的性质，等腰三角形性质以及等边三角形的判定等知识点，正确的画出辅助线是解题的关键．

16．已知A、B、C是⊙O上的三个点．四边形OABC是平行四边形，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D．

（Ⅰ）如图①，求∠ADC的大小．

（Ⅱ）如图②，经过点O作CD的平行线，与AB交于点E，与 交于点F，连接AF，求∠FAB的大小．

考点： 切线的性质；平行四边形的性质．

分析： （Ⅰ）由CD是⊙O的切线，C为切点，得到OC⊥CD，即∠OCD=90°由于四边形OABC是平行四边形，得到AB∥OC，即AD∥OC，根据平行四边形的性质即可得到结果．

（Ⅱ）如图，连接OB，则OB=OA=OC，由四边形OABC是平行四边形，得到OC=AB，△AOB是等边三角形，证得∠AOB=60°，由OF∥CD，又∠ADC=90°，得∠AEO=∠ADC=90°，根据垂径定理即可得到结果．

解答： 解：（Ⅰ）∵CD是⊙O的切线，C为切点，

∴OC⊥CD，即∠OCD=90°

∵四边形OABC是平行四边形，

∴AB∥OC，即AD∥OC，

有∠ADC+∠OCD=180°，

∴∠ADC=180°﹣∠OCD=90°；

（Ⅱ）如图②，连接OB，则OB=OA=OC，

∵四边形OABC是平行四边形，

∴OC=AB，

∴OA=OB=AB，

即△AOB是等边三角形，

∴∠AOB=60°，

由OF∥CD，又∠ADC=90°，

得∠AEO=∠ADC=90°，

∴OF⊥AB，

∴ ，

∴∠FOB=∠FOA= ∠AOB=30°，

∴ ．

点评： 本题考查了切线的性质，平行四边形的性质，垂径定理，等边三角形的判定，熟练掌握定理是解题的关键．

17．已知三角形ABC的边AB是⊙0的切线，切点为B．AC经过圆心0并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E．

（1）求证：CB平分∠ACE；

（2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径．

考点： 切线的性质．

分析： （1）证明：如图1，连接OB，由AB是⊙0的切线，得到OB⊥AB，由于CE丄AB，的OB∥CE，于是得到∠1=∠3，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2，通过等量代换得到结果．

（2）如图2，连接BD通过△DBC∽△CBE，得到比例式 ，列方程可得结果．

解答： （1）证明：如图1，连接OB，

∵AB是⊙0的切线，

∴OB⊥AB，

∵CE丄AB，

∴OB∥CE，

∴∠1=∠3，

∵OB=OC，

∴∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∴CB平分∠ACE；

（2）如图2，连接BD，

∵CE丄AB，

∴∠E=90°，

∴BC= = =5，

∵CD是⊙O的直径，

∴∠DBC=90°，

∴∠E=∠DBC，

∴△DBC∽△CBE，

∴ ，

∴BC2=CD?CE，

∴CD= = ，

∴OC= = ，

∴⊙O的半径= ．

点评： 本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

18．五边形ABCDE中，∠EAB=∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC，且满足以点B为圆心，AB长为半径的圆弧AC与边DE相切于点F，连接BE，BD．

（1）如图1，求∠EBD的度数；

（2）如图2，连接AC，分别与BE，BD相交于点G，H，若AB=1，∠DBC=15°，求AG?HC的值．

考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质．

分析： （1）如图1，连接BF，由DE与⊙B相切于点F，得到BF⊥DE，通过Rt△BAE≌Rt△BEF，得到∠1=∠2，同理∠3=∠4，于是结论可得；

（2）如图2，连接BF并延长交CD的延长线于P，由△ABE≌△PBC，得到PB=BE= ，求出PF= ，通过△AEG∽△CHD，列比例式即可得到结果．

解答： 解：（1）如图1，连接BF，

∵DE与⊙B相切于点F，

∴BF⊥DE，

在Rt△BAE与Rt△BEF中， ，

∴Rt△BAE≌Rt△BEF，

∴∠1=∠2，

同理∠3=∠4，

∵∠ABC=90°，

∴∠2+∠3=45°，

即∠EBD=45°；

（2）如图2，连接BF并延长交CD的延长线于P，

∵∠4=15°，

由（1）知，∠3=∠4=15°，

∴∠1=∠2=30°，∠PBC=30°，

∵∠EAB=∠PCB=90°，AB=1，

∴AE= ，BE= ，

在△ABE与△PBC中， ，

∴△ABE≌△PBC，

∴PB=BE= ，

∴PF= ，

∵∠P=60°，

∴DF=2﹣ ，

∴CD=DF=2﹣ ，

∵∠EAG=∠DCH=45°，

∠AGE=∠BDC=75°，

∴△AEG∽△CHD，

∴ ，

∴AG?CH=CD?AE，

∴AG?CH=CD?AE=（2﹣ ）? = ．

点评： 本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，画出辅助线构造全等三角形是解题的关键．

19．AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P．求证：

（1）AC?PD=AP?BC；

（2）PE=PD．

考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质．

专题： 证明题．

分析： （1）首先根据AB是⊙O的直径，BC是切线，可得AB⊥BC，再根据DE⊥AB，判断出DE∥BC，△AEP∽△ABC，所以 = ；然后判断出 = ，即可判断出ED=2EP，据此判断出PE=PD即可．

（2）首先根据△AEP∽△ABC，判断出 ；然后根据PE=PD，可得 ，据此判断出AC?PD=AP?BC即可．

解答： 解：（1）∵AB是⊙O的直径，BC是切线，

∴AB⊥BC，

∵DE⊥AB，

∴DE∥BC，

∴△AEP∽△ABC，

∴ = …①，

又∵AD∥OC，

∴∠DAE=∠COB，

∴△AED∽△OBC，

∴ = = = …②，

由①②，可得ED=2EP，

∴PE=PD．

（2）∵AB是⊙O的直径，BC是切线，

∴AB⊥BC，

∵DE⊥AB，

∴DE∥BC，

∴△AEP∽△ABC，

∴ ，

∵PE=PD，

∴ ，

∴AC?PD=AP?BC．

点评： （1）此题主要考查了切线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

（2）此题还考查了相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．

20．AB是⊙O的直径， = ，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．

（1）若OA=CD=2 ，求阴影部分的面积；

（2）求证：DE=DM．

考点： 切线的性质；扇形面积的计算．

分析： （1）连接OD，根据已知和切线的性质证明△OCD为等腰直角三角形，得到∠DOC=45°，根据S阴影=S△OCD﹣S扇OBD计算即可；

（2）连接AD，根据弦、弧之间的关系证明DB=DE，证明△AMD≌△ABD，得到DM=BD，得到答案．

解答： （1）解：如图，连接OD，

∵CD是⊙O切线，

∴OD⊥CD，

∵OA=CD=2 ，OA=OD，

∴OD=CD=2 ，

∴△OCD为等腰直角三角形，

∴∠DOC=∠C=45°，

∴S阴影=S△OCD﹣S扇OBD= ﹣ =4﹣π；

（2）证明：如图，连接AD，

∵AB是⊙O直径，

∴∠ADB=∠ADM=90°，

又∵ = ，

∴ED=BD，∠MAD=∠BAD，

在△AMD和△ABD中，

，

∴△AMD≌△ABD，

∴DM=BD，

∴DE=DM．

点评： 本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法．

21．已知AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，且点E是OD的中点，⊙O的切线BM与AO的延长线相交于点M，连接AC，CM．

（1）若AB=4 ，求 的长；（结果保留π）

（2）求证：四边形ABMC是菱形．

考点： 切线的性质；菱形的判定；弧长的计算．

专题： 计算题．

分析： （1）连接OB，由E为OD中点，得到OE等于OA的一半，在直角三角形AOE中，得出∠OAB=30°，进而求出∠AOE与∠AOB的度数，设OA=x，利用勾股定理求出x的值，确定出圆的半径，利用弧长公式即可求出 的长；

（2）由第一问得到∠BAM=∠BMA，利用等角对等边得到AB=MB，利用SAS得到三角形OCM与三角形OBM全等，利用全等三角形对应边相等得到CM=BM，等量代换得到CM=AB，再利用全等三角形对应角相等及等量代换得到一对内错角相等，进而确定出CM与AB平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ABMC为平行四边形，最后由邻边相等的平行四边形为菱形即可得证．

解答： （1）解：∵OA=OB，E为AB的中点，

∴∠AOE=∠BOE，OE⊥AB，

∵OE⊥AB，E为OD中点，

∴OE= OD= OA，

∴在Rt△AOE中，∠OAB=30°，∠AOE=60°，∠AOB=120°，

设OA=x，则OE= x，AE= x，

∵AB=4 ，

∴AB=2AE= x=4 ，

解得：x=4，

则 的长l= = ；

（2）证明：由（1）得∠OAB=∠OBA=30°，∠BOM=∠COM=60°，∠AMB=30°，

∴∠BAM=∠BMA=30°，

∴AB=BM，

∵BM为圆O的切线，

∴OB⊥BM，

在△COM和△BOM中，

，

∴△COM≌△BOM（SAS），

∴CM=BM，∠CMO=∠BMO=30°，

∴CM=AB，∠CMO=∠MAB，

∴CM∥AB，

∴四边形ABMC为菱形．

点评： 此题考查了切线的性质，菱形的判断，全等三角形的判定与性质，以及弧长公式，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．

22．已知四边形ABCD是平行四边形，AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，边CD与⊙O相交于点E，连接AE，BE．

（1）求证：AB=AC；

（2）若过点A作AH⊥BE于H，求证：BH=CE+EH．

考点： 切线的性质；平行四边形的性质．

分析： （1）根据弦切角定理和圆周角定理证明∠ABC=∠ACB，得到答案；

（2）作AF⊥CD于F，证明△AEH≌△AEF，得到EH=EF，根据△ABH≌△ACF，得到答案．

解答： 证明：（1）∵AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，

∴∠ABE=∠DAE，又∠EAC=∠EBC，

∴∠DAC=∠ABC，

∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC；

（2）作AF⊥CD于F，

∵四边形ABCE是圆内接四边形，

∴∠ABC=∠AEF，又∠ABC=∠ACB，

∴∠AEF=∠ACB，又∠AEB=∠ACB，

∴∠AEH=∠AEF，

在△AEH和△AEF中，

，

∴△AEH≌△AEF，

∴EH=EF，

∴CE+EH=CF，

在△ABH和△ACF中，

，

∴△ABH≌△ACF，

∴BH=CF=CE+EH．

点评： 本题考查的是切线的性质和平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，运用性质证明相关的三角形全等是解题的关键，注意圆周角定理和圆内接四边形的性质的运用．

23．在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点且∠BOD=60°，过点D作⊙O的切线CD交AB的延长线于点C，E为 的中点，连接DE，EB．

（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；

（2）已知图中阴影部分面积为6π，求⊙O的半径r．

考点： 切线的性质；平行四边形的判定；扇形面积的计算．

分析： （1）由∠BOD=60°E为 的中点，得到 ，于是得到DE∥BC，根据CD是⊙O的切线，得到OD⊥CD，于是得到BE∥CD，即可证得四边形BCDE是平行四边形；

（2）连接OE，由（1）知， ，得到∠BOE=120°，根据扇形的面积公式列方程即可得到结论．

解答： 解：（1）∵∠BOD=60°，

∴∠AOD=120°，

∴ = ，

∵E为 的中点，

∴ ，

∴DE∥AB，OD⊥BE，

即DE∥BC，

∵CD是⊙O的切线，

∴OD⊥CD，

∴BE∥CD，

∴四边形BCDE是平行四边形；

（2）连接OE，由（1）知， ，

∴∠BOE=120°，

∵阴影部分面积为6π，

∴ =6π，

∴r=6．

点评： 本题考查了切线的性质，平行四边形的判定，扇形的面积公式，垂径定理，证明 是解题的关键．

24．点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．

（1）求证：直线PB与⊙O相切；

（2）PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．

考点： 切线的判定．

专题： 几何综合题．

分析： （1）连接OC，作OD⊥PB于D点．证明OD=OC即可．根据角的平分线性质易证；

（2）设PO交⊙O于F，连接CF．根据勾股定理得PO=5，则PE=8．证明△PCF∽△PEC，得CF：CE=PC：PE=1：2．根据勾股定理求解CE．

解答： （1）证明：连接OC，作OD⊥PB于D点．

∵⊙O与PA相切于点C，

∴OC⊥PA．

∵点O在∠APB的平分线上，OC⊥PA，OD⊥PB，

∴OD=OC．

∴直线PB与⊙O相切；

（2）解：设PO交⊙O于F，连接CF．

∵OC=3，PC=4，∴PO=5，PE=8．

∵⊙O与PA相切于点C，

∴∠PCF=∠E．

又∵∠CPF=∠EPC，

∴△PCF∽△PEC，

∴CF：CE=PC：PE=4：8=1：2．

∵EF是直径，

∴∠ECF=90°．

设CF=x，则EC=2x．

则x2+（2x）2=62，

解得x= ．

则EC=2x= ．

点评： 此题考查了切线的判定、相似三角形的性质．注意：当不知道直线与圆是否有公共点而要证明直线是圆的切线时，可通过证明圆心到直线的距离等于圆的半径，来解决问题．

25．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．

（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AC=3，∠B=30°．

①求⊙O的半径；

②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）

考点： 切线的判定；扇形面积的计算．

分析： （1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；

（2）①根据含有30°角的直角三角形的性质得出OB=2OD=2r，AB=2AC=3r，从而求得半径r的值；②根据S阴影=S△BOD﹣S扇形DOE求得即可．

解答： 解：（1）直线BC与⊙O相切；

连结OD，∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D，

∴∠CAD=∠OAD，

∴∠CAD=∠ODA，

∴OD∥AC，

∴∠ODB=∠C=90°，

即OD⊥BC．

又∵直线BC过半径OD的外端，

∴直线BC与⊙O相切．

（2）设OA=OD=r，在Rt△BDO中，∠B=30°，

∴OB=2r，

在Rt△ACB中，∠B=30°，

∴AB=2AC=6，

∴3r=6，解得r=2．

（3）在Rt△ACB中，∠B=30°，

∴∠BOD=60°．

∴ ．

∴所求图形面积为 ．

点评： 本题考查了切线的判定，含有30°角的直角三角形的性质，扇形的面积等知识点的应用，主要考查学生的推理能力．

26．已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．

（1）如图①所示，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是（至少说出两种）：　∠BAE=90°　或者　∠EAC=∠ABC　．

（2）如图②所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．

考点： 切线的判定．

分析： （1）求出∠BAE=90°，再根据切线的判定定理推出即可；

（2）作直径AM，连接CM，根据圆周角定理求出∠M=∠B，∠ACM=90°，求出∠MAC+∠CAE=90°，再根据切线的判定推出即可．

解答： 解：（1）①∠BAE=90°，②∠EAC=∠ABC，

理由是：①∵∠BAE=90°，

∴AE⊥AB，

∵AB是直径，

∴EF是⊙O的切线；

②∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ABC+∠BAC=90°，

∵∠EAC=∠ABC，

∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=∠BAC+∠ABC=90°，

即AE⊥AB，

∵AB是直径，

∴EF是⊙O的切线；

（2）EF是⊙O的切线．

证明：作直径AM，连接CM，

则∠ACM=90°，∠M=∠B，

∴∠M+∠CAM=∠B+∠CAM=90°，

∵∠CAE=∠B，

∴∠CAM+∠CAE=90°，

∴AE⊥AM，

∵AM为直径，

∴EF是⊙O的切线．

点评： 本题考查了圆周角定理，切线的判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：经过半径的外端，并且垂直于半径的直线是圆的切线．

27．等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．

（1）求证：直线EF是⊙O的切线；

（2）求cos∠E的值．

考点： 切线的判定；勾股定理．

分析： （1）求证直线EF是⊙O的切线，只要连接OD证明OD⊥EF即可；

（2）根据∠E=∠CBG，可以把求cos∠E的值得问题转化为求cos∠CBG，进而转化为求Rt△BCG中，两边的比的问题．

解答： （1）证明：如图，

方法1：连接OD、CD．

∵BC是直径，

∴CD⊥AB．

∵AC=BC．

∴D是AB的中点．

∵O为CB的中点，

∴OD∥AC．

∵DF⊥AC，

∴OD⊥EF．

∴EF是O的切线．

方法2：∵AC=BC，

∴∠A=∠ABC，

∵OB=OD，

∴∠DBO=∠BDO，

∵∠A+∠ADF=90°

∴∠EDB+∠BDO=∠A+∠ADF=90°．

即∠EDO=90°，

∴OD⊥ED

∴EF是O的切线．

（2）解：连BG．

∵BC是直径，

∴∠BDC=90°．

∴CD= =8．

∵AB?CD=2S△ABC=AC?BG，

∴BG= = ．

∴CG= = ．

∵BG⊥AC，DF⊥AC，

∴BG∥EF．

∴∠E=∠CBG，

∴cos∠E=cos∠CBG= = ．

点评： 本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．

28．⊙O是△ABC的外接圆，P是⊙O外的一点，AM是⊙O的直径，∠PAC=∠ABC

（1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）连接PB与AC交于点D，与⊙O交于点E，F为BD上的一点，若M为 的中点，且∠DCF=∠P，求证： = = ．

考点： 切线的判定；相似三角形的判定与性质．

分析： （1）连接CM，根据圆周角定理得出∠PAC=∠ABC，∠M=∠ABC，得出∠PAC=∠M，由∠M+∠MAC=90°，得出∠PAC+∠MAC=90°，即：∠MAP=90°，就可证得结论；

（2）连接AE，根据垂径定理得出AM⊥BC，进而得出AP∥BC，得出△ADP∽△CDB，根据相似三角形的性质得出 = ，然后证得△ADE∽△CDF，得出 = ，从而证得 = = ．

解答： 证明：（1）连接CM，

∵∠PAC=∠ABC，∠M=∠ABC，

∴∠PAC=∠M，

∵AM是直径，

∴∠M+∠MAC=90°，

∴∠PAC+∠MAC=90°，

即：∠MAP=90°，

∴MA⊥AP，

∴MA⊥AP，

∴PA是⊙O的切线；

（2）连接AE，

∵M为 中点，AM为⊙O的直径，

∴AM⊥BC，

∵AM⊥AP，

∴AP∥BC，

∴△ADP∽△CDB，

∴ = ，

∵AP∥BC，

∴∠P=∠CBD，

∵∠CBD=∠CAE，

∴∠P=∠DCF，

∴∠DCF=∠CAE，

∵∠ADE=∠CDF，

∴△ADE∽△CDF，

∴ = ，

∴ = = ．

点评： 本题考查了圆周角定理的应用，切线的判定，垂径定理的应用，三角形相似的判定和性质，解答时正确添加辅助线是关键．

29．△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．

（1）试说明DF是⊙O的切线；

（2）若AC=3AE，求tanC．

考点： 切线的判定．

分析： （1）连接OD，根据等边对等角得出∠B=∠ODB，∠B=∠C，得出∠ODB=∠C，证得OD∥AC，证得OD⊥DF，从而证得DF是⊙O的切线；

（2）连接BE，AB是直径，∠AEB=90°，根据勾股定理得出BE=2 AE，CE=4AE，然后在RT△BEC中，即可求得tanC的值．

解答： （1）证明：连接OD，

∵OB=OD，

∴∠B=∠ODB，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，

∴DF是⊙O的切线；

（2）解：连接BE，

∵AB是直径，

∴∠AEB=90°，

∵AB=AC，AC=3AE，

∴AB=3AE，CE=4AE，

∴BE= =2 AE，

在RT△BEC中，tanC= = = ．

点评： 本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理的应用以及直角三角函数等，是一道综合题，难度中等．

30．在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连接DE．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）连接AE，若∠C=45°，求sin∠CAE的值．

考点： 切线的判定；勾股定理；解直角三角形．

分析： （1）连接DO，DB，由圆周角定理就可以得出∠ADB=90°，可以得出∠CDB=90°，根据E为BC的中点可以得出DE=BE，就有∠EDB=∠EBD，OD=OB可以得出∠ODB=∠OBD，由的等式的性质就可以得出∠ODE=90°就可以得出结论．

（2）作EF⊥CD于F，设EF=x，由∠C=45°，得出△CEF、△ABC都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得BE=CE= x，AB=BC=2 x，AE= x，进而就可求得sin∠CAE的值．

解答： 解：（1）连接OD，BD，

∴OD=OB

∴∠ODB=∠OBD．

∵AB是直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠CDB=90°．

∵E为BC的中点，

∴DE=BE，

∴∠EDB=∠EBD，

∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD，

即∠EDO=∠EBO．

∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，

∴AB⊥BC，

∴∠EBO=90°，

∴∠ODE=90°，

∴DE是⊙O的切线；

（2）作EF⊥CD于F，设EF=x

∵∠C=45°，

∴△CEF、△ABC都是等腰直角三角形，

∴CF=EF=x，

∴BE=CE= x，

∴AB=BC=2 x，

在RT△ABE中，AE= = x，

∴sin∠CAE= = ．

点评： 本题考查了圆周角定理的运用，直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，切线的判定定理的运用，勾股定理的运用，解答时正确添加辅助线是关键．