华师大版2015初三年级数学下册期中测试题(含答案解析)

一、选择题（每小题2分，共24分）

1.二次函数 的图象的顶点坐标是（ ）

A.（1，3） B.（ 1，3） C.（1， 3） D.（ 1， 3）

2.把抛物线 向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是（ ）

A. B. C. D.

3.在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为 ,则下列结论正确的是（ ）

A. B. ＜0, ＞0

C. ＜0, ＜0 D. ＞0, ＜0

4. 在二次函数 的图象上，若 随 的增大而增大，则 的取值范围是（ ）

A. 1 B. 1 C. -1 D. -1

5. 已知二次函数 的图象如图所示，给出以下结论：

① ；② ；③ ；④ ；⑤ .其中正确结论的个数是（ ）

A.2 B.3 C.4 D. 5

6.在同一平面直角坐标系中，函数 和函数 （ 是常数，且 ）的图象可能是（ ）

7.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，且关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－m=0没有实数根，有下列结论：①b2－4ac＞0；②abc＜0；③m＞2.其中，正确结论的个数是（ ）

A.0 B.1 C.2 D.3

8.二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则代数式

1－a－b的值为（ ）

A．－3 B．－1 C．2 D．5

9.抛物线y= 的对称轴是（ ）

A.y轴 B.直线x=-1 C.直线x=1 D.直线x=-3

10.把抛物线y= 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）

A. B.

C. D.

11.抛物线 的部分图象如图所示，若 ，则 的取值范围是（ ）

A. B.

C. 或 D. 或

12.二次函数y= （a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1.下列结论中错误的是（ ）

A.abc＜0 B.2a＋b=0 C.b2-4ac＞0 D.a-b＋c＞0

二、填空题（每小题3分，共18分）

13.已知二次函数 的图象顶点在 轴上，则 .

14.二次函数 的最小值是____________.

15.已知二次函数 中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

x ... -1 0 1 2 3 ...

y ... 10 5 2 1 2 ...

则当 时，x的取值范围是_____.

16.抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标是 .

17. 若关于 的方程 有两个实数根 ，则 的最小值为 .

18.在平面直角坐标系 中，直线 为任意常数）与抛物线 交于 两点，且 点在 轴左侧， 点的坐标为（0,－4），连接 , .有以下说法：

① ；②当 时， 的值随 的增大而增大；

③当 － 时， ；④△ 面积的最小值为4 ，其中正确的是 .（写出所有正确说法的序号）

三、解答题（共78分）

19.（8分）已知抛物线的顶点坐标为 ，且经过点 ，求此二次函数的解析式．

20.（8分）已知二次函数 .

（1）求函数图象的顶点坐标及对称轴.

（2）求此抛物线与 轴的交点坐标.

21.（8分）已知抛物线 的部分图象如图所示.

（1）求 的值；

（2）分别求出抛物线的对称轴和 的最大值；

（3）写出当 时， 的取值范围.

22.（8分）已知二次函数 （m是常数）.

(1)求证：不论 为何值，该函数的图象与 轴没有公共点；

(2)把该函数的图象沿 轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与 轴只有一个公共点？

23.（10分）某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，

销售量 （千克）随销售单价 （元/千克）的变化而变化，具体关系式为 ，且物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为 （元），解答下列问题：

（1）求 与 的关系式.

（2）当 取何值时， 的值最大？

（3）如果公司想要在这段时间内获得 元的销售利润，销售单价应定为多少元？

24.（10分）抛物线 交 轴于 ， 两点，交 轴于点 ,已知 抛物线的对称轴为 ， , .

⑴求二次函数 的解析式；

⑵在抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使点 到 ， 两点距离之差最大？若存在，求出 点坐标；若不存在，请说明理由；

⑶平行于 轴的一条直线交抛物线于 两点，若以 为直径的圆恰好与 轴相切，求此圆的半径．

25.（12分）二次函数y＝a(x2－2mx－3m2)（其中a，m是常数且a0，m0的图象与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0，－ 3)，点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD．过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．

(1)用含m的代数式表示a；

(2)求证： 为定值；

(3)设该二次函数图象的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．

26.（14分）某水渠的横截面呈抛物线形， 水面的宽为 （单位：米），现以 所在直线为 轴，以抛物线的对称轴为 轴建立如图所示的平面直角坐标系,设坐标原点为 .已知 米，设抛物线解析式为 .

（1）求 的值；

（2）点 是抛物线上一点，点 关于原点 的对称点为点 ，连接 ，求△ 的面积.

华师大版2015初三年级数学下册期中测试题(含答案解析)参考答案及解析

1.A 解析：因为 的图象的顶点坐标为 ,

所以 的图象的顶点坐标为（1，3）.

2.D 解析：把抛物线 向下平移2个单位，

所得到的抛物线是 ，再向右平移1个单位，

所得到的抛物线是 .

点拨：抛物线的平移规律是左加右减，上加下减.

3.A 解析：∵ 图中抛物线所表示的函数解析式为 ,

∴ 这条抛物线的顶点坐标为 .

观察函数的图象发现它的顶点在第一象限，

∴ .

4.A 解析：把 配方，得 .

∵ -1 0,∴ 二次函数图象的开口向下.又图象的对称轴是直线 ,

∴ 当 1时， 随 的增大而增大.

5.B 解析 :对于二次函数 ，由图象知：当 时， ，所以①正确;

由图象可以看出抛物线与 轴有两个交点，所以 ，所以②正确；

因为图象开口向下，对称轴是直线 ，

所以 ，所以 ，所以③错误;

当 时， ，所 以④错误;

由图象知 ，所以 ，所以⑤正确，

故正确结论的个数为3.

6.D 解析:选项A中，直线的斜率 ，而抛物线开口朝下，则 ，得 ，前后矛盾，故排除A选项;选项C中，直线的斜率 ，而抛物线开口朝上，则 ，得 ，前后矛盾，故排除C选项;B、D两选项的不同处在于，抛物线顶点的横坐标一正一负.两选项中，直线斜率 ，则抛物线顶点的横坐标 ，故抛物线的顶点应该在 轴左边，故选项D正确.

7.D 解析: ∵ 抛物 线与 轴有两个交点，∴ 方程 有两个不相等的实数根，

∴ ，①正确.∵抛物线的开口向下，∴ .又∵抛物线的对称轴是直线 ， ，∴ .∵ 抛物线与 轴交于正半轴，∴ ，∴ ，②正确.方程 的根是抛物线 与直线 交点的横坐标，当 时，抛物线 与直线 没有交点，此时方程 没有实数根，③正确，∴ 正确的结论有3个.

8.B 解析：把点（1,1）代入 ,得

9.C 解析:由二次函数的表达式可知，抛物线的顶点坐标为(1,-3)，所以抛物线的对称轴是直线x=1.

10.C 解析：抛物线y= 向右平移1个单位长度后，所得函数的表达式为 ，抛物线 向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为 .

11.B 解析：∵ 抛物线的对称轴为 ，而抛物线与 轴的一个交点的横坐标为1，

∴ 抛物线与 轴的另一个交点的横坐标为 ，

根据图象知道若 ，则 ，故选B．

12.D 解析：∵二次函数的图象的开口向下，∴ a0.

∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的正半 轴上，∴ c0.

∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，∴ ，∴ b0，

∴ ，∴选项A正确.

∵ ，∴ ，即 ，∴选项B正确.

∵二次函数的图象与x轴有2个交点，∴方程 有两个不相等的实数根，∴ b2-4ac＞0，∴选项C正确.

∵当 时，y=a-b+c＜0，∴选项D错误.

13.2 解析：根据题意，得 ，将 ， ， 代入，得 ，解得 ．

14.3 解析:当 时， 取得最小值3.

15. 0＜x＜4 解析: 根据二次函数图象的对称性确定出该二次函数图象的对称轴，然后解答即可.

∵ x=1和x=3时的函数值都是2，

∴ 二次函数图象的对称轴为直线x=2.由表可知，当x=0时，y=5，

∴ 当x=4时，y=5.由表格中数据可知，当x=2时，函数有最小值1,

∴ a＞0，∴ 当y＜5时，x的取值范围是0＜x＜4.

16.（1，2） 解析：抛物线 的顶点坐标是 .把抛物线解析式 化为顶点式得 ，所以它的顶点坐标是（1，2）.

17. 解析：由根与系数的关系得到：

，

∴ =

.

∵方程有两个实数根，

∴Δ ，解得 ．

∴ 的最小值为 符合题意．

18. ③④ 解析：本题综合考查了二次函数与方程和方程组的综合应用.

设点A的坐标为（ , ）,点B的坐标为（ ）.

不妨设 ,解方程组 得 ∴ .

此时 , ,∴ .而 =16,∴ ≠ ,

∴ 结论①错误.

当 = 时，求出A(-1,- ),B（6,10）,

此时 ( )(2 )=16.

由① 时， ( )( )=16.

比较两个结果发现 的值相等.∴ 结论②错误.

当 - 时，解方程组 得出A（-2 ，2）,B（ ，-1）,

求出 12, 2, 6,∴ ,即结论③正确.

把方程组 消去y得方程 ,∴ , .

∵ = ?| | OP?| |= ×4×| |

=2 =2 ,

∴ 当 时， 有最小值4 ，即结论④正确.

19.分析:因为抛物线的顶点坐标为 ，所以设此二次函数的解析式为 ，把点（2，3）代入解析式即可解答．

解：已知抛物线的顶点坐标为 ，

所以设此二次函数的解析式为 ，

把点（2，3）代入解析式，得 ，即 ，

所以此函数的解析式为 ．

20.分析：（1）首先把已知函数解析式配方，然后利用抛物线的顶点坐标、对称轴的公式即可求解；（2）根据抛物线与 轴交点坐标的特点和函数解析式即可求解．

解：（1）∵ ，

∴ 顶点坐标为（1，8），对称轴为直线 . （2）令 ，则 ，解得 ， ．

∴ 抛物线与 轴的交点坐标为（ ），（ ）．

21.解：（1）由图象知此二次函数过点（1，0），（0，3），

将点的坐标代入函数解析式，得

解得 （2）由（1）得函数解析式为 ，

即为 ，

所以抛物线的对称轴为 的最大值为4.

（3）当 时，由 ，解得 ，

即函数图象与 轴的交点坐标为（ ），（1，0）.

所以当 时， 的取值范围为 ．

22.（1）证法一：因为（–2m）2–4（m2+3）= –12＜0，

所以方程x2–2mx+m2+3=0没有实数根，

所以不论 为何值，函数 的图象与x轴没有公共点.

证法二：因为 ，所以该函数的图象开口向上.

又因为 ，

所以该函数的图象在 轴的上方.

所以不论 为何值，该函数的图象与 轴没有公共点.

（2）解： ，

把函数 的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数 的图象，它的顶点坐标是（m，0），

因此，这个函数的图象与 轴只有一个公共点.

所以把函数 的图象沿 轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与 轴只有一个公共点．

23.分析：（1）因为 ，

故 与 的关系式为 ．

（2）用配方法化简函数式，从而可得 的值最大时所对应的

（3）令 ，求出 的值即可．

解：（1） ，

∴ 与 的关系式为 ．

（2） ，

∴ 当 时， 的值最大．

（3）当 时，可得方程 .

解这个方程，得 .

根据题意， 不合题意，应舍去.

∴ 当销售单价为75元时，可获得销售利润2 250元．

24.解：（1）将 代入 ，得 ．

将 ， 代入 ，得 ．

∵ 是对称轴，∴ ．

由此可得 ， ．∴二次函数的解析式是 ．

（2） 与对称轴的交点 即为到 两点距离之差最大的点．

∵ 点的坐标为 ， 点的坐标为 ，

∴ 直线 的解析式是 .又对称轴为 ，∴ 点 的坐标为 ．

（3）设 、 ，所求圆的半径为 ，则 .

∵ 对称轴为 ，∴ ．∴ ．

将 代入解析式 ，得 ，

整理得 ．

由于 ，当 时， ，解得 ， （舍去）；当 时， ，解得 ， （舍去）．

∴ 圆的半径是 或

25.（1）解：将C（0，－3）代入二次函数y=a（x2－2mx－3m2），

则－3=a（0－0－3m2），

解得 a= .

（2）证明：

过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N．

由a（x2－2mx－3m2）=0，

解得 x1=－m，x2=3m，

∴ A（－m，0），B（3m，0）．

∵ CD∥AB，

∴ 点D的坐标为（2m，－3）．

∵ AB平分∠DAE，

∴∠DAM=∠EAN.

∵ ∠DMA=∠ENA=90°，

∴ △ADM∽△AEN．

∴ .

设点E的坐标为 ，

∴ = ，

∴ x=4m，∴ E（4m，5）.

∵ AM=AO+OM=m+2m=3m，AN=AO+ON=m+4m=5m，

∴ ，即为定值．

（3）解：如图所示，

记二次函数图象的顶点为点F，则点F的坐标为（m，－4），

过点F作FH⊥x轴 于点H．

连接FC并延长，与x轴负半轴交于一点，此点即为所求的点G．

∵ tan∠CGO= ，tan∠FGH= ，∴ = ，

∴ OG=3m．

此时，GF= = =4 ，

AD= = =3 ，∴ = ．

由（2）得 = ，∴ AD︰GF︰AE=3︰4︰5，

∴ 以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G 的横坐标为 3m．

26.分析：（1）求出点A或点B的坐标，将其代入 ， 即可求出a的值；

（2）把点 代入（1）中所求的抛物线的解析式中，求出点C的坐标，再根据点C和点D关于原点O对称，求出点D的坐标，然后利用 求△BCD的面积.

解：（1）∵ ,由抛物线的对称性可知 ,

∴ （4,0）.∴ 0＝16a-4.

∴ a .

（2）如图所示，过点C作 于点E，过点D作 于点F.

∵ a= ,∴ -4.当 -1时，m= × -4=- ,∴ C（-1,- ）.

∵ 点C关于原点O的对称点为点D，∴ D（1, ）.∴ .

∴ ×4× + ×4× =15.

∴ △BCD的面积为15平方米.

点拨：在直角坐标系中求图形的面积，常利用“割补法”将其转化为有一边在坐标轴上的图形面积的和或差求解.