2015初三数学下册期中二次函数综合测试题2(含答案解析)

一．选择题（共8小题）

1． 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（）

A． ③④ B． ②③ C． ①④ D． ①②③

2已知反比例函数y= 的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致为（）

A． B． C． D．

3．若二次函数y=ax2﹣2x+a2﹣4（a为常数）的图象如图，则该图象的对称轴是（）

A． 直线x=﹣1 B． 直线x=1 C． 直线x=﹣ D． 直线x=

4．抛物线y=ax2+bx+c如图，考查下述结论：①b＜0；②a﹣b+c＞0；③b2＞4ac；④2a+b＜0．正确的有（）

A． ①② B． ①②③ C． ②③④ D． ①②③④

5．将抛物线y=x2﹣2平移到抛物线y=x2+2x﹣2的位置，以下描述正确的是（）

A． 向左平移1单位，向上平移1个单位 B． 向右平移1单位，向上平移1个单位

C． 向左平移1单位，向下平移1个单位 D． 向右平移1单位，向下平移1个单位

6．如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4 ）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（）

A． （ ， ） B． （2，2） C． （ ，2） D． （2， ）

7．关于x的二次函数y=x2+（1﹣m）x﹣m，其图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是（）

A． m＜﹣1 B． ﹣1＜m＜0 C． 0＜m＜1 D． m＞1

8．已知二次函数y=ax2﹣1的图象开口向下，则直线y=ax﹣1经过的象限是（）

A． 第一、二、三象限 B． 第一、二、四象限 C． 第一、三、四象限 D． 第二、三、四象限

二．填空题（共6小题）

9．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为　_________　．

10如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx=0的根是　_________　．

11．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为　_________　米．

12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列7个代数式ab，ac，bc，b2﹣4ac，a+b+c，a﹣b+c，2a+b中，其值为正的式子的个数为　_________　个．

13．已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：

x … 0 1 2 3 …

y … 5 2 1 2 …

点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当0＜x1＜1，2＜x2＜3时，y1与y2的大小关系是　_________　．

14．某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w（元）与降价x（元）的函数关系如图．这种工艺品的销售量为　_________　件（用含x的代数式表示）．

三．解答题（共7小题）

15．我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．

（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；

（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？

16．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2米的点A处发出把球看成点，其运行的高度y（米）与运行的水平距离x（米）满足关系式y=a（x﹣6）2+h，已知球网与点O的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米．

（1）当h=2.6时，求y与x的函数关系式．

（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．

（3）若球一定能越过球网，又不出边界．则h的取值范围是多少？

17．如图，二次函数y= x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．

（1）求二次函数的解析式．

（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标．

（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点．连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求△BDE的面积．

（4）抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成△ADP，是否存在S△ADP= S△BCD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．

18．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．

（1）求该抛 物线的解析式及顶点M坐标；

（2）求△BCM面积与△ABC面积的比；

（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

19．如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．

（1）直接写出点E、F的坐标；

（2） 设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且EF=PF，求该抛物线的解析式；

（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．

20．如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象与坐标轴交于点A（﹣1，0）和点C（0，﹣5）．

（1）求该二次函数的解析式和它与x轴的另一个交点B的坐标．

（2）在上面所求二次函数的对称轴上存在一点P（2，﹣2），连接OP，找出x轴上所有点M的坐标，使得△OPM是等腰三角形．

21．如图，一块直角三角形木板ABC，其中∠C=90°，AC=3m，BC=4m，现在要把 它们加工成一个面积最大的矩形，甲、乙两位木工师 傅的加工方法分别如图1、图2所示，请用学过的知识说明哪位师傅的加工方法符合要求．

2015初三数学下册期中二次函数综合测试题2(含答案解析)参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

1．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（）

A． ③④ B． ②③ C． ①④ D． ①②③

考点： 二次函数图象与系数的关系．

专题： 数形结合．

分析： 由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答： 解：①当x=1时，y=a+b+c=0，故①错误；

②当x=﹣1时，图象与x轴交点负半轴明显大于﹣1，

∴y=a﹣b+c＜0，

故②正确；

③由抛物线的开口向下知a＜0，

∵对称轴为0＜x=﹣ ＜1，

∴2a+b＜0，

故③正确；

④对称轴为x=﹣ ＞0，a＜0

∴a、b异号，即b＞0，

由图知抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0

∴abc＜0，

故④错误；

∴正确结论的序号为②③．

故选：B．

点评： 二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：

（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；

（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=﹣ 判断符号；

（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；

（4）当x=1时，可以确定y=a+b+c的值；当x=﹣1时，可以确定y=a﹣b+c的值．

2．已知反比例函数y= 的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致为（）

A． B． C． D．

考点： 二次函数的图象；反比例函数的图象．

分析： 本题可先由反比例函数的图象得到字母系数k＜﹣1，再与二次函数的图象的开口方向和对称轴的位置相比较看是否一致，最终得到答案．

解答： 解：∵函数y= 的图象 经过二、四象限，∴k＜0，

由图知当x=﹣1时，y=﹣k＞1，∴k＜﹣1，

∴抛物线y=2kx2﹣4x+k2开口向下，

对称为x=﹣ = ，﹣1＜ ＜0，

∴对称轴在﹣1与0之间，

故选：D．

点评： 此题主要考查了二次函数与反比例函数的图象与系数的综合应用，正确判断抛物线开口方向和对称轴位置是解题关键．属于基础题．

3．若二次函数y=ax2﹣2x+a2﹣4（a为常数）的图象如图，则该图象的对称轴是（）

A． 直线x=﹣1 B． 直线x=1 C． 直线x=﹣ D． 直线x=

考点： 二次函数的性质．

分析： 根据图象可以知道图象经过点（0，0），因而把这个点代入记得到一个关于a的方程，就可以求出a的值，从而根据对称轴方程求得对称轴即可．

解答： 解：把原点（0，0）代入抛物线解析式，得

a2﹣4=0，

解得a=±2，

∵函数开口向上，a＞0，

∴a=2，

∴对称轴为：x=﹣ = = ，

故选D．

点评： 本题考查了二次函数图象上的点的坐标，根据对于函数图象的描述能够理解函数的解析式的特点，是解决本题的关键．

4.抛物线y=ax2+bx+c如图，考查下述结论：①b＜0；②a﹣b+c＞0；③b2＞4ac；④2a+b＜0．正确的有（）

A． ①② B． ①②③ C． ②③④ D． ①②③④

考点： 二次函数图象与系数的关系．

分析： 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答： 解：①图象开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，能得到：a＞0，c＜0，﹣ ＞0，b＜0，正确；

②由图象知当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，正确；

③图象与x轴有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac正确；

④由图象知 ，即2a+b=0，本项错误．

故选B．

点评： 二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：

（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；

（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x= 判断符号；

（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；

（4）b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：

①2个交点，b2﹣4ac＞0；

②1个交点，b2﹣4ac=0；

③没有交点，b2﹣4ac＜0．

（5）当x=1时，可以确定y=a+b+c的值；当x=﹣1时，可以确定y=a﹣b+c的值．

5．将抛物线y=x2﹣2平移到抛物线y=x2+2x﹣2的位置，以下描述正确的是（）

A． 向左平移1单位，向上平移1个单位 B． 向右平移1单位，向上平移1个单位

C． 向左平移1单位，向下平移1个单位 D． 向右平移1单位 ，向下平移1个单位

考点： 二次函数图象与几何变换．

分析： 先将抛物线y=x2+4x+1化为y=（x+2）2﹣3的形式，再根据函数图象平移的法则进行解答．

解答： 解：∵抛物线y=x2+2x﹣2可化为y=（x+1）2﹣3，

∴把抛物线y=x2﹣2先向左平移1个单位，再向下平移1个单位即可得到抛物线y=（x+1）2﹣3．

故选：C．

点评： 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减．左加右减”的法则是解答此题的关键．

6．如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（）

A． （ ， ） B． （2，2） C． （ ，2） D． （2， ）

考点： 二次函数综合题．

专题： 综合题．

分析： 首先根据点A在抛物线y=ax2上求得抛物线的解析式和线段OB的长，从而求得点 D的坐标，根据点P的纵坐标和点D的纵坐标相等得到点P的坐标即可；

解答： 解：∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，

∴4=a×（﹣2）2，

解得：a=1

∴解析式为y=x2，

∵Rt△OAB的顶点A（﹣2，4），

∴OB=OD=2，

∵Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，

∴CD∥x轴，

∴点D和点P的纵坐标均为2，

∴令y=2，得2=x2，

解得：x=± ，

∵点P在第一象限，

∴点P的坐标为：（ ，2）

故选：C．

点评： 本题考查了二次函数的综合知识，解题过程中首先求得直线的解析式，然后再求得点D的纵坐标，利用点P的纵坐标与点D的纵坐标相等代入函数的解析式求解即可．

7．关于x的二次函数y=x2+（1﹣m）x﹣m，其图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是（）

A． m＜﹣1 B． ﹣1＜m＜0 C． 0＜m＜1 D． m＞1

考点： 二次函数的性质．

分析： 由于二次函数的对称轴在y轴右侧，根据对称轴的公式即可得到关于m的不等式，解不等式即可求解．

解答： 解：∵二次函数y=x2+（1﹣m）x﹣m的对称轴在y轴右侧，

∴x=﹣ ＞0，

∴解得：m＞1．

故选D．

点评： 此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是利用对称轴的公式解决问题．

8．已知二次函数y=ax2﹣1的图象开口向下，则直线y=ax﹣1经过的象限是（）

A． 第一、二、三象限 B． 第一、二、四象限 C． 第一、三、四象限 D． 第二、三、四象限

考点： 一次函数图象与系数的关系；二次函数图象与系数的关系．

分析： 二次函数图象的开口向下时，二次项系数a＜0；一次函数y=kx+b（k≠0）的一次项系数k＜0、b＜0时，函数图象经过第二、三、四象限．

解答： 解：∵二次函数y=ax2的图象开口向下，

∴a＜0；

又∵直线y=ax﹣1与y轴交于负半轴上的﹣1，

∴y=ax﹣1经过的象限是第二、三、四象限．

故选D．

点评： 本题主要考查了二次函数、一次函数图象与系数的关系．二次函数图象的开口方向决定了二次项系数a的符号．

二．填空题（共6小题）

9．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为　8　．

考点： 抛物线与x轴的交点．

分析： 由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣2，0），根据二次函数的对称性，求得B点的坐标，再求出AB的长度．

解答： 解：∵对称轴为直线x=2的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，

∴A、B两点关于直线x=2对称，

∵点A的坐标为（﹣2，0），

∴点B的坐标为（6，0），

AB=6﹣（﹣2）=8．

故答案为：8．

点评： 此题考查了抛物线与x轴的交点．此题难度不大，解题的关键是求出B点的坐标．

10．如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx=0的根是　x1=0，x2=2　．

考点： 抛物线与x轴的交点．

专题： 计算题．

分析： 把A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3求出a，b的值，再代入ax2+bx=0解方程即可．

解答： 解：把A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+ 3

得 ，

解得 ，

代入ax2+bx=0

得，﹣x2+2x=0，

解得x1=0，x2=2．

故答案为：x1=0，x2=2．

点评： 本题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是求出a，b的值．

11．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为　 　米．

考点： 二次函数的应用．

专题： 函数思想．

分析： 根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．

解答： 解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，

抛物线以y轴为对称轴，且经 过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），

通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），

到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，

当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：

当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，

可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：

﹣1=﹣0.5x2+2，

解得：x= ，

所以水面宽度增加到 米，

故答案为： 米．

点评： 此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．

12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列7个代数式ab，ac，bc，b2﹣4ac，a+b+c，a﹣b+c，2a+b中，其值为正的式子的个数为　3　个．

考点： 二次函数图象与系数的关系．

分析： 由抛物线开口向上，得到a＞0，再由对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，可得出b＜0，又抛物线与y轴交于正半轴，得到c大于0，可得出ab＜0，ac＞0，由抛物线与x轴有2个交点，得到根的判别式b2﹣4ac＞0，当x=1时，y=a+b+c＜0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，由﹣ =1得b+2a=0．

解答： 解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，

∵﹣ ＞0，∴b＜0，

∵抛物线与y轴交于正半轴，

∴c＞0，

∴ab＜0，ac＞0，bc＜0

∵抛物线与x轴有2个交点，

∴b2﹣4ac＞0

∵x=1时的函数值小于0，

∴y=a+b+c＜0

又∵x=﹣1时的函数值大于0

∴y=a﹣b+c＞0

∵对称轴为直线x=1，

∴﹣ =1，即2a+b=0，

所以一共有3个式子的值为正．

故答案为：3．

点评： 此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛物线与x轴的交点个数，决定了b2﹣4ac的符号，此外还要注意x=1，﹣1对应函数值的正负来判断其式子的正确与否．

13．已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：

x … 0 1 2 3 …

y … 5 2 1 2 …

点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当0＜x1＜1，2＜x2＜3时，y1与y2的大小关系是　y1＞y2　．

考点： 二次函数图象上点的坐标特征．

专题： 计算题；压轴题．

分析： 由二次函数图象的对称性知，图表可以体现出二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和开口方向，然后由二次函数的单调性填空．

解答： 解：根据图表知，

当x=1和x=3时，所对应的y值都是2，∴抛物线的对称轴是直线x=2，

又∵当x＞2时，y随x的增大而增大；当x＜2时，y随x的增大而减小，

∴该二次函数的图象的开口方向是向上；

∵0＜x1＜1，2＜x2＜3，

0＜x1＜1关于对称轴的对称点在3和4之间，

当x＞2时，y随x的增大而增大，

∴y1＞y2，

故答案是：y1＞y2

点评： 本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，解二元一次方程组，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点的理解和掌握，能根据二次函数的对称性判断两点的纵坐标的大小是解此题的关键．

14．某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w（元）与降价x（元）的函数关系如图．这种工艺品的销售量为　（60+x）　件（用含x的代数式表示）．

考点： 二次函数的应用．

分析： 由函数的图象可知点（30，2700）和点（60，0）满足解析式w=mx2+n，设销售量为a，代入函数的解析式，即可得到a和x的关系．

解答： 解：由函数的图象可知点（30，2700）和点（60，0）满足解析式w=mx2+n，

∴ ，

解得： ，

∴w=﹣x2+3600，

设销售量为a，则a（60﹣x）=w，

即a（60﹣x）=﹣x2+3600，

解得：a=（60+x ），

故答案为：（60+x）．

点评： 本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题，用的知识点为：因式分解，题目设计比较新颖，同时也考查了学生的逆向思维思考问题．

三．解答题（共7小题）

15．我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．

（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；

（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？

考点： 二次函数的应用．

专题： 销售问题．

分析： （1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台，即可列出函数关系式；

根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售即可求出x的取值．

（2）用x表示y，然后再用x来表示出w，根据函数关系式，即可求出最大w；

解答： 解：（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台，

则月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式：y=200+50× ，化简得：y=﹣5x+2200；

供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台，

则 ，

解得：300≤x≤350．

∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣5x+2200（300≤x≤350）；

（2）W=（x﹣200）（﹣5x+2200），

整理得：W=﹣5（x﹣320）2+72000．

∵x=320在300≤x≤350内，

∴ 当x=320时，最大值为72000，

即售价定为320元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大，最大利润是72000元．

点评： 本题主要考查对于一次函数的应用和掌握，而且还应用到将函数变形求函数极值的知识．

16．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2米的点A处发出把球看成点，其运行的高度y（米）与运行的水平距离x（米）满足关系式y=a（x﹣6）2+h，已知球网与点O的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米．

（1）当h=2.6时，求y与x的函数关系式．

（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．

（3）若球一定能越过球网，又不出边界 ．则h的取值范围是多少？

考点： 二次函数的应用．

专题： 代数综合题；待定系数法．

分析： （1）利用h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，将点（0，2）代入解析式求出即可；

（2）利用当x=9时，y=﹣ （x﹣6）2+2.6=2.45，当y=0时， （x﹣6）2+2.6=0，分别得出即可；

（3）根据当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），以及当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2）时分别得出h的取值范围，即可得出答案．

解答： 解：（1）∵h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，

∴抛物线y=a（x﹣6）2+h过点（0，2），

∴2=a（0﹣6）2+2.6，

解得：a= ，

故y与x的关系式为：y=﹣ （x﹣6）2+2.6，

（2）当x=9时，y= （x﹣6）2+2.6=2.45＞2.43，

所以球能过球网；

当y=0时， （x﹣6）2+2.6=0，

解得：x1=6+ ＞18，x2=6﹣ （舍去）

故会出界；

（3）当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：

，

解得 ，

此时二次函数解析式为：y= （x﹣6）2+ ，

此时球若不出边界h≥ ，

当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解析式得： ，

解得 ，

此时球要过网h≥ ，

故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是：h≥ ．

点评： 此题主要考查了二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，再根据题意确定范围．

17．如图，二次函数y= x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．

（1）求二次函数的解析式．

（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标．

（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点．连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求△BDE的面积．

（4）抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成△ADP，是否存在S△ADP= S△BCD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．

考点： 二次函数综合题．

专题： 几何综合题；压轴题．

分析： （1）利用待定系数法求出b，c即可求出二次函数解析式，

（2）把二次函数 式转化可直接求出顶点坐标 ，由A对称关系可求出点D的坐标．

（3）由待定系数法可求出BC所在的直线解析式，与抛物线组成方程求出点E的坐标，利用△BDE的面积=△CDB的面积+△CDE的面积求出△BDE的面积．

（4）设点P到x轴的距离为h，由S△ADP= S△BCD求出h的值，根据h的正，负值求出点P的横坐标即可求出点P的坐标．

解答： 解：（1）∵二次函数y= x2+bx+c的图象过A（2，0），B（8，6）

∴ ，解得

∴二次函数解析式为：y= x2﹣4x+6，

（2）由y= x2﹣4x+6，得y= （x﹣4）2﹣2，

∴函数图象的顶点坐标为（4，﹣2），

∵点A，D是y= x2+bx+c与x轴的两个交点，

又∵点A（2，0），对称轴为x=4，

∴点D的坐标为（6，0）．

（3）∵二次函数的对称轴交x轴于C点．

∴C点的坐标为（4，0）

∵B（8，6），

设BC所在的直线解析式为y=kx+b，

∴ 解得

∴BC所在的直线解析式为y= x﹣6，

∵E点是y= x﹣6与y= x2﹣4x+6的交点，

∴ x﹣6= x2﹣4x+6

解得x1=3，x2=8（舍去），

当x=3时，y=﹣ ，

∴E（3，﹣ ），

∴△BDE的面积=△CDB的面积+△CDE的面积= ×2×6+ ×2× =7.5 ．

（4）存在，

设点P到x轴的距离为h，

∵S△BCD= ×2×6=6，S△ADP= ×4×h=2h

∵S△ADP= S△BCD

∴2h=6× ，解得h= ，

当P在x轴上方时，

= x2﹣4x+6，解得x1=4+ ，x2=4﹣ ，

当当P在x轴下方时，

﹣ = x2﹣4x+6，解得x1=3，x2=5，

∴P1（4+ ， ），P2（4﹣ ， ），P3（3，﹣ ），P4（5 ，﹣ ）．

点评： 本题主要考查了二次函数的综合题，解题的关键是利用待定系数的方法求出函数解析式以及三角形面积的转化．

18．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．

（1）求该抛物线的解析式及顶点M坐标；

（2）求△BCM面积与△ABC面积的比；

（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题；平行四边形的性质．

专题： 综合题．

分析： （1）有抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，则可设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3）．由与y轴交于点C（0，﹣3），则代入易得解析式，顶点易知．

（2）求△BCM面积与△ABC面积的比，由两三角形不为同高或同底，所以考虑求解求出两三角形面积再作比即可．因为S△BCM=S梯形OCMD+S△BMD﹣ S△BOC，S△ABC= ?AB?OC，则结论易得．

（3）由四边形为平行四边形，则对边PQ、AC平行且相等，过Q点作x轴的垂线易得Q到x轴的距离=OC=3，又（1）得抛物线解析式，代入即得Q点横坐标，则Q点可求．

解答： 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），

∵抛物线过点（0，3），

∴﹣3=a（0+1）（0﹣3），

∴a=1，

∴抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3，

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴M（1，﹣4）．

（2）如图1，连接BC、BM、CM，作MD⊥x轴于D，

∵S△BCM=S梯形OCMD+S△BMD﹣S△BOC

= ?（3+4）?1+ ?2﹣4﹣ ?3?3

= + ﹣ =3

S△ABC= ?AB?OC= ?4?3=6，

∴S△BCM：S△ABC=3：6=1：2．

（3）存在，理由如下：

①如图2，当Q在x轴下方时，作QE⊥x轴于E，

∵四边形ACQP为平行四边形，

∴PQ平行且相等AC，

∴△PEQ≌△AOC，

∴EQ=OC=3，

∴﹣3=x2﹣2x﹣3，

解得 x=2或x=0（与C点重合，舍去），

∴Q（2，﹣3）．

②如图3，当Q在x轴上方时，作QF⊥x轴于F，

∵四边形ACPQ为平行四边形，

∴QP平行且相等AC，

∴△PFQ≌△AOC，

∴FQ=OC=3，

∴3=x2﹣2x﹣3，

解得 x=1+ 或x=1﹣ ，

∴Q（1+ ，3）或（1﹣ ，3）．

综上所述，Q点为（2，﹣3）或（1+ ，3）或（1﹣ ，3）

点评： 本题考查了二次函数图象与性质、平行四边形及坐标系中求不规则图形面积等基础考点，难度适中，适合学生练习．

19．如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．

（1）直接写出 点E、F的坐标；

（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且EF=PF，求该抛物线的解析式；

（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题．

分析： （1）E为AB中点，则横坐标、纵坐标分别为3，1，故坐标为（3，1）；由A落在F处，则BF=AB=3，所以横坐标、纵坐标分别为1，2，故坐标为（1，2）．

（2）因为FP=EF且图中并无已知位置，所以画圆是找全所有情况的最好办法，发现y轴上存在两点P，使得FP=EF，进一步根据三角形性质可得到坐标，但要考虑题目中对P点的要求对最后结果进行取舍．求抛物线解析式通常采用的方法为待定系数法，注意题中已知F为顶点，故利用顶点式设抛物线解析式求解过程会简单很多．

（3）四边形周长最小我们基本没有接触过，但是周长中其中EF固定，那么周长最小就转化为三段折现最短，恰起止两点已经固定，这是我们在学对称轴时常见的画图找最短路径题目，即利用两次对称点性质将问题转化为两个点间路径最短的问题 ，则N、M两点易找到，进而最短周长易求．

解答： 解：

（1）E（3，1），F（1，2）．

（2）

如图1，以点C为圆心，BF为半径画弧交y轴于P，P'，连接EF，FP，FP'．

∵CF⊥PP'，CP=CP'

∴F在PP'的垂直平分线上，

∴FP=FP'．

在△FCP和△EBF中，

，

∴△FCP≌△EBF，

∴FP=EF，CP=BF，

∴FP=FP'=EF，CP=CP'=BF=2，

∴P（0，4），P'（0，0）（此点不在y的正半轴上，舍去），

∵F（1，2）为抛物线顶点，

∴设抛物线解析式y=a（x﹣1）2+ 2，

∴代入P（0，4），解得a=2，y=2（x﹣1）2+2=2x2﹣4x+4．

（3）

如图2，作E点关于x轴的对称的E'，做F点关于y轴的对称的F'，连接E'F'交x轴，y轴分别为M，N，连接EF，EM，FM．

∵NF=NF'，EM=E'M，

∴C四边形NMEF=FM+NM+ME+FE=NF'+NM+ME'+EF=E'F'+EF，

根据两点间线段最短得，此时C四边形NMEF最小．

∵E（3，1），F（1，2），

∴E'（3，﹣1），F（﹣1，2），

∴BF'=4，BE'=3，

∴根据勾股定理，E'F'=5，

∵EF= ，

∴当C四边形NMEF最小时，C四边形NMEF=E'F'+EF=5+ ．

点评： 本题考查了三角形性质，待定系数求抛物线解析式及路径最短等基础知识，数据不复杂，难度也适中，是一道非常值得学生巩固练习的题目．

20．如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象与坐标轴交于点A（﹣1，0）和点C（0，﹣5）．

（1）求该二次函数的解析式和它与x轴的另一个交点B的坐标．

（2）在上面所求二次函数的对称轴上存在一点P（2，﹣2），连接OP，找出x轴上所有点M的坐标，使得△OPM是等腰三角形．

考点： 二次函数综合题；解一元二次方程-因式分解法；待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的判定．

专题： 代数几何综合题．

分析： （1）把A（﹣1，0）和点C（0，﹣5）代入y=ax2﹣4x+c，得到一个二元一次方程组，求出方程组的解，即可得到该二次函数的解析式，当y=0时，x2﹣4x﹣5=0，求出方程的解即可得出它与x轴的另一个交点B的坐标；

（2）根据等腰三角形的判定分OP=PM，OP=OM，PM=OM三种情况即可求出x轴上所有点M的坐标．

解答： 解：（1）根据题意，

得 ，

解得 ，

∴二次函数的表达式为y=x2﹣4x﹣5，

当y=0时，x2﹣4 x﹣5=0，

解得：x1=5，x2=﹣1，

∵点A的坐标是（﹣1，0），

∴B（5，0），

答：该二次函数的解析式是y=x2﹣4x﹣5，和它与x轴的另一个交点B的坐标是（5，0）．

（2）令y=0，得二次函数y=x2﹣4x﹣5的图象与x轴

的另一个交点坐标B（5，0），

由于P（2，﹣2），符合条件的坐标有共有4个，

分别是M1（4，0）M2（2，0）M3（﹣2 ，0）M4（2 ，0），

答：x轴上所有点M的坐标是（4，0）、（2，0）、（﹣2 ，0）、（2 ，0），使得△OPM是等腰三角形．

点评： 本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，解二元一次方程组，解一元二次方程，等腰三角形的判定等知识点的理解和掌握，

21．如图，一块直角三角形木板ABC，其中∠C=90°，AC=3m，BC=4m，现在要把它们加工 成一个面积最大的矩形，甲、乙两位木工师傅的加工方法分别如图1、图2所示，请用学过的知识说明哪位师傅的加工方 法符合要求．

考点： 相似三角形的应用； 二次函数的最值．

分析： 根据相似三角形求矩形的长与宽的函数关系式，然后表示出有关面积的函数关系式并求出其最大值，找到最大的方案即可．

解答： 解：如图1，设DE=x ，EF=y，矩形的面积记为S，

由题意，DE∥CB，

∴

即：

解得y=3﹣ x其中0＜x＜4

∴S=xy=x（3﹣ x）=﹣ x2+3x=﹣ （x﹣2）2+3

∴有最大面积是3．

（2）如图，作CE⊥AB于点E，交NM与点D

∵∠C=90°，AC=3m ，BC=4m，

∴AB=5 CE=2.4

设MQ=x MN=y，则DE=x，CD=2.4﹣x

∵MN∥AB

∴

即：

整理得：y=﹣ x+5

∴S=xy=x（﹣ x+5）=﹣ （x﹣ ）2+3

故两个师傅均符合要求．

点评： 此题考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例；解此题的关键是将实际问题转化为数学问题进行解答．