2015初三数学下册期中二次函数的图像试题(含答案解析)

一．选择题 （共8小题）

1．已知二次函数y=ax2﹣2x+2（a＞0），那么它的图象一定不经过（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．抛物线y=2x2，y=﹣2x2，y= x2共有的性质是（）

A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．都有 最低点 D．y的值随x的增大而减小

3．抛物线y=2x2+1的顶点坐标是（）

A．（2，1） B．（0，1） C．（1，0） D．（1，2）

4．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）

A．开口向下 B．对称轴是x=﹣1 C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点

5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）

A．函数有最小值 B．对称轴是直线x= C．当x＜ ，y随x的增大而减小 D．当﹣1＜x＜2时，y＞0

6．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y= x2+bx+c的顶点，则方程 x2+bx+c=1的解的个数是（）

A．0或2 B．0或1 C．1或2 D．0，1或2

7．已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（）

A．6 B．5 C．4 D．3

8．抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是（）

A．y轴 B．直线x=﹣1 C．直线x=1 D．直线x=﹣3

二．填空题（共6小题）

9．如果抛物线y= x2+（m﹣1 ）x﹣m+2的对称轴是y轴，那么m的值是　_________　．

10．抛物线y=2x2﹣1在y轴右侧的部分是　_________　（填“上升”或“下降”）．

11．已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（0，5）、B（4，5），那么此抛物线的对称轴是　_________　．

12．二次函数y=x2﹣4x﹣5的图象的对称轴是直线　_________　．

13．如果抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限，那么a的取值范围是　_________　．

14．若抛物线y=2x2﹣mx﹣m的对称轴是直线x=2，则m=　_________　．

三．解答题（共6小题）

15．在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象．

16．如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+ 的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．

（1）写出该函数图象的对称轴；

（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？

17．已知抛物线y=x2﹣x﹣1．

（1）求抛物线y=x2﹣x﹣1的顶点坐标、对称轴；

（2）抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的交点为（m，0），求代数式m2+ 的值．

18．如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣6，与x轴交于点A和B，点A在点B的左边，与y轴的交点为C．

（1）用配方法求该抛物线的顶点坐标；

（2）求sin∠OCB的值；

（3）若点P（m，m）在该抛物线上，求m的值．

19．若二次函数y=a1x2+b1x+c1的图象记为C1，其顶点为A，二次函数y=a2x2+b2x+c2的图象记为C2，其顶点为B，且满 足点A在C2上，点B在C1上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”．

（1）一个二次函数的“伴侣二次函数”有　_________　个；

（2）①求二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点；

②求以上述交点为顶点的二次函数y=x2+3x+2的“伴侣二次函数”．

（3）试探究a1与a2满足的数量关系．

20．已知二次函数y=﹣x2+2x+3图象的对称轴为直线．

（1）请求出该函数图象的对称轴；

（2）在坐标系内作出该函数的图象；

（3）有一条直线过点P（1，5），若该直线与二次函数y=﹣x2+2x+3只有一个交点，请求出 所有满足条件的直线的关系式．

2015初三数学下册期中二次函数的图像试题(含答案解析)参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题）

1．知二次函数y=ax2﹣2x+2（a＞0），那么它的图象一定不经过（）

A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D． 第四象限

考点： 二次函数的性质．

分析： 先根据题意判断出二次函数的对称轴方程，再令x=0求出y的值，进而可得出结论．

解答： 解：∵二次函数y=ax2﹣2x+2（a＞0）的对称轴为直线x=﹣ =﹣ = ＞0，

∴其顶点坐标在第一或四象限，

∵当x=0时，y=2，

∴抛物线一定经过第二象限，

∴此函数的图象一定不经过第三象限．

故选C．

点评： 本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键．

2抛物线y=2x2，y=﹣2x2，y= x2共有的性质是（）

A． 开口向下 B ． 对称轴是y轴 C． 都有最低点 D． y的值随x的增大而减小

考点： 二次函数的性质．

分析： 结合抛物线的解析式和二次函数的性质，逐项判断即可．

解答： 解：

∵y=2x2，y= x2开口向上，

∴A不正确，

∵y=﹣2x2，开口向下，

∴有最高点，

∴C不正确，

∵在对称轴两侧的增减性不同，

∴D不正确，

∵三个抛物线中都不含有一次项，

∴其对称轴为y轴，

∴B正确，

故选B．

点评： 本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、最值、增减性等基础知识是解题的关键．

3．抛物线y=2x2+1的顶点坐标是（）

A． （2，1） B．（0，1） C．（1，0） D． （1，2）

考点： 二次函数的性质．

分析： 根据二次函数的顶点式可求得其顶点坐标．

解答： 解：

∵y=2x2+1=2（x﹣0）2+1，

∴抛物线的顶点坐标为（0，1），

故选B．

点评： 本题主要考 查抛物线的顶点坐标，掌握顶点式方程y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）是解题的关键．

4．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）

A． 开口向下 B．对称轴是x=﹣1 C．顶点坐标是（1，2） D． 与x轴有两个交点

考点： 二次函数的性质．

专题 ： 常规题型．

分析： 根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．

解答： 解：二次函数y=（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．

故选：C．

点评： 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点式为y=a（x﹣ ）2+ ，的顶点坐标是（﹣ ， ），对称轴直线x=﹣b2a，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2+ bx+c（a≠0）的开口向下．

5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）

A． 函数有最小值 B． 对称轴是直线x= C． 当x＜ ，y随x的增大而减小 D． 当﹣1＜x＜2时，y＞0

考点： 二次函数的性质．

专题： 压轴题；数形结合．

分析： 根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；

根据图形直接判断B；

根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；

根据图象，当﹣1＜x＜2时，抛物线落在x轴的下方，则y＜0，从而判断D．

解答： 解：A、由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故A选项不符合题意；

B、由图象可知，对称轴为x= ，正确，故B选项不符合题意；

C、因为a＞0，所以，当x＜ 时，y随x的增大而减小，正确，故C选项不符合题意；

D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故D选项符合题意．

故选：D．

点评： 本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．

6．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y= x2+bx+c的顶点，则方程 x2+bx+c=1的解的个数是（）

A． 0或2 B．0或1 C．1或2 D． 0，1或2

考点： 二次函数的性质．

专题： 数形结合；分类讨论；方程思想．

分析： 分三种情况：点M的纵坐标小于1；点M的纵坐标等于1；点M的纵坐标大于1；进行讨论即可得到方程 x2+bx+c=1的解的个数．

解答： 解：分三种情况：

点M的纵坐标小于1，方程 x2+bx+c=1的解是2个不相等的实数根；

点M的纵坐标等于1，方程 x2+bx+c=1的解是2个相等的实数根；

点M的纵坐标大于1，方程 x2+bx+c=1的解的个数是0．

故方程 x2+bx+c=1的解的个数是0，1或2．

故选：D．

点评： 考查了二次函数的性质，本题涉及分类思想和方程思想的应用．

7．已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（）

A． 6 B．5 C．4 D． 3

考点： 二次函数的性质．

专题： 计算题．

分析： 根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于所给数据都是正数，所以当对称轴在y轴的右侧时，比较点A和点B到对称轴的距离可得到h＜4．

解答： 解：∵抛物线的对称轴为直线x=h，

∴当对称轴在y轴的 右侧时，A（0，2）到对称轴的距离比B（8，3）到对称轴的距离小，

∴x=h＜4．

故选：D．

点评： 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣ ， ），对称轴直线x=﹣ ，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+b x+c （a≠0）的开口向上，x＜﹣ 时，y随x的增大而减小；x＞﹣ 时，y随x的增大而增大；x=﹣ 时，y取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低点．② 当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣ 时，y随x的增大而增大；x＞﹣ 时，y随x的增大而减小；x=﹣ 时，y取得最大值 ，即顶点是抛物线的最高点．

8．抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是（）

A． y轴 B．直线x=﹣1 C．直线x=1 D． 直线x=﹣3

考点： 二次函数的性质．

分析： 根据二次函数的顶点式y=（x﹣h）2+k，对称轴为直线x=h，得出即可．

解答： 解：抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是直线x=1．

故选：C．

点评： 本题考查了二次函数的性质，解答此题时要注意抛物线的对称轴是直线，这是此题易忽略的地方．

二．填空题（共6小题）

9．如果抛物线y= x2+（m﹣1）x﹣m+2的对称轴是y轴，那么m的值是　1　．

考点： 二次函数的性质．

分析： 由对称轴是y轴可知一次项系数为0，可求得m的值．

解答： 解：∵y= x2+（m﹣1）x﹣m+2的对称轴是y轴，

∴m﹣1=0，解得m=1，

故答案为：1．

点评： 本题主要考查抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴为y轴其一次项系数为0是解题的关键．

10．抛物线y=2x2﹣1在y轴右侧的部分是　上升　（填“上升”或“下降”）．

考点： 二次函数的性质．

分析： 根据抛物线解析式可求得其对称轴，结合抛物线的增减性可得到答案．

解答： 解：

∵y=2x2﹣1，

∴其对称轴为y轴，且开口向上，

∴在y轴右侧，y随x增大而增大，

∴其图象在y轴右侧部分是上升，

故答案为：上升．

点评： 本题主要考查二次函数的增减性，掌握开口向上的二次函数在对称轴右侧y随x的增大而增大是解题的关键．

11．已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（0，5）、B（4，5），那么此抛物线的对称轴是　直线x=2　．

考点： 二次函数的性质．

分析： 根据点A、B的纵坐标相等判断出A、B关于对称轴对称，然后列式计算即可得解．

解答： 解：∵点A（0，5）、B（4，5）的纵坐标都是5相同，

∴抛物线的对称轴为直线x= =2．

故答案为：直线x=2．

点评： 本题考查了二次函数的性质，观察出A、B是对称点是解题的关键．

12．二次函数y=x2﹣4x﹣5 的图象的对称轴是直线　x=2　．

考点： 二次函数的性质．

分析： 根据二次函数的对称轴公式列式计算即可得解．

解答： 解：对称轴为直线x=﹣ =﹣ =2，

即直线x=2．

故答案为：x=2．

点评： 本题考查了二次函数的性 质，主要利用了对称轴公式，需熟记．

13．如果抛物线y=（a+3）x2﹣5不 经过第一象限，那么a的取值范围是　a＜﹣3　．

考点： 二次函数的性质．

分析： 根据抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限可以确定不等式的开口方向，从而确定a的取值范围．

解答： 解：∵抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限，

∴a+3＜0，

解得：a＜﹣3，

故答案为：a＜﹣3．

点评： 考查了二次函数的性质，根据抛物线的开口方向，与y轴的交点，对称轴判断抛物线经过的象限．

14． 若抛物线y=2x2﹣mx﹣m的对称轴是直线x=2，则m=　8　．

考点： 二次函数的性质．

分析： 根据二次函数的对称轴公式列方程求解即可．

解答： 解：由题意得，﹣ =2，

解得m=8．

故答案为：8．

点评： 本题考查了二次函数的性质，熟记对称轴的求法是解题的关键．

三．解答题（共6小题）

15．在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象．

考点： 二次函数的图象．

分析： 首先利用描点法作出y=2x2的图象，然后向上移动1个单位得到y=2x2+1的图象即可；

解答： 解：列表得：

﹣2 ﹣1 0 1 2

y=2x2 8 2 0 2 8

y=2x2+1 9 3 1 3 9

点评： 本题考查了二次函数的图象，解题的关键是正确的列表、描点．

16．如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+ 的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．

（1）写出该函数图象的对称轴；

（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？

考点： 二次函数的性质；坐标与图形变化-旋转．

分析： （1）由于抛物线过点O（0，0），A（2，0），根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1；

（2）作A′B⊥x轴与B，先根据旋转的性质得OA′=OA=2，∠A′OA=60°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得OB= OA′=1，A′B= OB= ，则A′点的坐标为（1， ），根据抛物线的顶点式可判断点A′为抛物线y=﹣ （x﹣1）2+ 的顶点．

解答： 解：（1）∵二次函数y=a（x﹣h）2+ 的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．

解得：h=1，a=﹣ ，

∴抛物线的对称轴为直线x=1；

（2）点A′是该函数图象的顶点．理由如下：

如图，作A′B⊥x轴于点B，

∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，

∴OA′=OA=2，∠A′OA=60°，

在Rt△A′OB中，∠OA′B=30°，

∴OB= OA′=1，

∴A′B= OB= ，

∴A′点的坐标为（1， ），

∴点A′为抛物线y=﹣ （x﹣1）2+ 的顶点．

点评： 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣ ， ），对称轴直线x=﹣ ，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣ 时，y随x的增大而减小；x＞﹣ 时，y随x的增大而增大；x=﹣ 时，y取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣ 时，y随x的增大而增大；x＞﹣ 时，y随x的增大而减小；x=﹣ 时，y取得最大值 ，即顶点是抛物线的最高点．也考查了旋转的性质．

17．已知抛物线y=x2﹣x﹣1．

（1）求抛物线y=x2﹣x﹣1的顶点坐标、对称轴；

（2）抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的交点为（m，0），求代数式m2+ 的值．

考点： 二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．

分析： （1）根据配方法，可得顶点式解析式，根据顶点式解析式，可得答案；

（2）根据函数值为0，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得m的值，根据m的值，可得代数式的值．

解答： 解：A、y=x2﹣x﹣1=x2﹣x+ ﹣1﹣ =（x﹣ ）2﹣ ，

顶点坐标是（ ，﹣ ），对称轴是x= ；

（2）当y=0时x2﹣x﹣1=0，

解得x= ，x= ，

当m= 时，m2+ =（ ）2+

= = =3，

当m= 时，m2+ =（ ）2

=

= =3，

m2+ =3．

点评： 本题考查了二次函数的性质，配方法的顶点式解析式，函数值为0时得一元二次方程，注意把符合条件的分别代入求值．

18．如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣6，与x轴交于点A和B，点A在点B的左边，与y轴的交点为C．

（1）用配方法求该抛物线的顶点坐标；

（2）求sin∠OCB的值；

（3）若点P（m，m）在该抛物线上， 求m的值．

考点： 二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；勾股定理．

分析： （1）根据配方法，可得顶点式解析式，根据顶点式解析式，可得抛物线的顶点；

（2）根据函数值为0，可得B点坐标，根据自变量为0，可得C点坐标，根据勾股定理，可得BC的长，根据正弦的意义，可得答案；

（3）根据图象上的点的坐标满足函数解析式，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案．

解答： 解：（1）∵ ，

∴抛物线的顶点坐 标为（ ， ）；

（2）令 x2﹣x﹣6=0，解得x1=﹣2，x2=3，

∴点B的坐标为（3，0），又点C的坐标为（0，﹣6），

∴ ，

∴ ；

（3）∵ 点P（m，m）在这个二次函数的图象上，

∴m2﹣m﹣6=m，

即m2﹣2m﹣6=0，

解得 ， ．

点评： 本题考查了二次函数的性质，配方法可把一般式转化成顶点式，图象上点的坐标满足函数解析式．

19．若二次函数y=a1x2+b1x+c1的图象记为C1，其顶点为A，二次函数y=a2x2+b2x+c2的图象记为C2，其顶点为B，且满足点A在C2上，点B在C1上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”．

（1）一个二次函数的“伴侣二次函数”有　无数　个；

（2）①求二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点；

②求以上述交点为顶点的二次函数y=x2+3x+2的“伴侣二次函数”．

（3）试探究a1与a2满足的数量关系．

考点： 二次函数的性质．

专题： 新定义．

分析： （1）根据伴侣二次函数的定义，可得答案；

（2）①根据函数值为0，可得函数与x轴的交点的横坐标就是，可得答案；②根据伴侣二次函数的定义，顶点坐标，可得伴侣二次函数；

（3）根据伴侣二次函数的顶点在对方的图象上，二元一次方程组，根据解方程组，可得答案．

解答： 解：（1）无数；

（2）①令y=0，即x2+3x+2=0．

解得：x1=﹣1，x2=﹣2．

∴二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（﹣1，0）． （3分）

②∵y=x2+3x+2=（x+ ）2﹣ ∴顶点坐标为（﹣ ，﹣ ）．

设以（﹣2，0）为顶点且经过（﹣ ，﹣ ）的抛物线的函数关系式为

y=a（x+2）2，

将x=﹣ ，y=﹣ 代入y=a（x+2）2得 a=﹣1．

∴二次函数y=x2+3x+2的一个“伴侣二次函数”为

y=﹣（x+2）2=﹣x2﹣4x﹣4，

同理可求以（﹣1，0）为顶点且经过（﹣ ，﹣ ）的抛物线的函数关系式．

即二次函数y=x2+3x+2的另一个“伴侣二次函数”为

y=﹣（x+1）2=﹣x2﹣2x﹣1；

（3）设y=a1（x+m）2+n，其顶点为（﹣m，n）；

y=a2（x+h）2+k，其顶点为（﹣h，k）．

根据“伴侣二次函数”定义可得

∴a1（﹣h+m）2=﹣a2（﹣m+h）2．

当﹣h≠m时，a1=﹣a2

当﹣h=m时，a1、a2为任意不为零的实数．

点评： 本题考查了二次函数的性质，伴侣二次函数的顶点在对方的图象上是解题关键．

20．已知二次函数y=﹣x2+2x+3图象的对称轴为直线．

（1）请求出该函数图象的对称轴；

（2）在坐标系内作出该函数的图象；

（3）有一条直线过点P（1，5），若该直线与二次函数y=﹣x2+2x +3只有一个交点，请求出所有满足条件的直线的关系式．

考点： 二次函数的性质；二次函 数的图象．

分析： （1）根据对称轴的公式，可得答案；

（2）根据画函数图象的方法，可得抛物线的图象；

（3）根据直线与抛物线相切，可得交点是一个，可得答案．

解答： 解：（1） ；

（2）图象

（3）因为抛物线的对称轴是x=1，点p（1，5）

当过点p且与y轴平行的直线满足与抛物线只有一个交点

所以直线x=1为所求直线

当过点p的直线不与y轴平行时，设直线的解析式为y=kx+b，

令﹣x2+2x+3=kx+ b

整理得﹣x2+（2﹣k）x+3﹣b=0由题意得△=（2﹣k）2+4（3﹣b）=0

即：k2﹣4k+16﹣4b=0

又因为y=kx+b，过点p（1，5）

所以5=k+b

所以k2﹣4=0

解得k=±2，

当k=2时，b=3；

当k=﹣2时，b=7

所以解析式为y1=2x+3，y2=﹣2x+7，

所以满足条件的直线有三条：直线x=1；y1=2x+3，y2=﹣2x+7．

点评： 本题考查了二次函数的性质，a＜0时，图象开口向下，对称轴是x=﹣ ．