2015初三年级数学下册期中综合考试题(含答案解析)

一、选择题（本大题共有８小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1．下列四个实数中，是无理数的为（）

A． B． C． D．

2.下列运算正确的是（）

A． a3+a4=a7 B． 2a3?a4=2a7 C． （2a4）3=8a7 D． a8÷a2=a4

3.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A． B． C． D．

4.下列各式： ，其中分式共有 ( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5.一只因损坏而倾斜的椅子,从背后看到的形状如图,其中两组对边的

平行关系没有发生变化,若 o,则 的大小是

A．75o B．115o C．65o D．105o

6．已知一组数据：－1，x，0，1，－2的平均数是0，那么这组数据的方差是 ( )

A． B．10 C．4 D．2

7．已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为 ( )

A．3 B．－1 C．4 D．4或－1

8． “如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）

A． m＜a＜b＜n B． a＜m＜n＜b C． a＜m＜b＜n D． m＜a＜n＜b

二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．）

9．若二次根式 有意义,则 的取值范围是 ▲ .

10．分解因式: ＝ ▲ .

11．据统计 ,截至2014年底,全国的共产党员人数已超过80 300 000,这个数据用科学计数法可表示为 ▲ .

12．三角形的三边长分别为3、m、5，化简 ___▲____．

13．小勇第一次抛一枚质地均匀的硬币时正面向上,他第二次再抛这枚 硬币时,正面向上的概率是 ▲ .

14．若分式 的值为负数，则x的取值范围是 ▲ .

15．如图 ，有一圆弧形门拱的拱高AB为1m，跨度CD为4m，则这个圆弧形门拱的半径为 ▲ m．

16．如图,在 中, 、 分别是边 、 的中点, o.现 将 沿 折叠,点 落在三角形所在平面内的点为 ,则 的度数为 ▲ °.

17．已知α是锐角且tan α＝ ，则sin α＋cos α＝ ▲ ．

18．已知实数x、y满足 x2＋2x＋y－1＝0，则x＋2y的最大值为 ▲ ．

三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答）

19．（本题满分8分）

（1）计算: ） （2）化简:

20．（本题满分8分）先化简： ，再选取一个合适的a值代入计算．

21．（本题满分8分）已知一元二次方程 ．

（1）若方程有两个实数根，求m的范围；

（2）若方程的两个实数根为 ， ，且 +3 =3，求m的值。

22．（本题满分8分）

班主任张老师为了了解学生课堂发言情况，对前一天本班男、女生的发言次数进行了统计，并绘制成如图1的频数分布折线图．

(1)请根据图1，回答下列问题：

①这个班共有______名学生，发言次数是5次的男生有____人、女生有____人；

②男、女生发言次数的中位数分别是____ 次和______次；

(2)通过张老师的 鼓励，第二天的发言次数比前一天明显增加，全班发言次数变化的人数的扇形统计图如图2.求第二天发言次数增加3次的学生人数和全班增加的发言总次数．

23．（本题满分10分）如图，在菱形ABCD中，AB=2， ,点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.

（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；

（2）填空：①当AM的值为 时，四边形AMDN是矩形；

②当AM的值为 时，四边形AMDN是菱形。

24．（本题满分10分）如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30°角，长为20km；BC段与AB、CD段都垂直，长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）．

25．（本题满分10分）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60° ，AB= ，点D为BA延长线上的一点，且∠D=∠ACB，⊙O为△ABC的外接圆.

（1）求BC的长；（2）求⊙O的半径.

26．（本题满分10分）

猜想与证明：

如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．

拓展与延伸：

（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形 纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为 ．

（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．

27．（本题满分12分）

知识迁移

当 且 时，因为 ≥ ,所以 ≥ ,

从而 ≥ (当 时取等号).

记函数 ,由上述结论可知：当 时,该函数有最小值为 .

实际应用

已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费 用,共 元；二是燃油费,每千米为 元；三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为 .设该汽车一次运输的路程为 千米,求当 为多少时,该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？

28．（本题满分12分）

在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．

（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；

（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．

2015初三年级数学下册期中综合考试题(含答案解析)参考答案及评分标准

一、选择题（每小题3分，共24分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案 B B C B D D C A

二、填空题（每小题3分，共30分）

9． ≥－1 10． 11． 12．2m-10 13．

14．-1＜x＜ 15． 16．80 17． 18．

三、解答题

19．(1)解： …………………4分

(2)解：原式 ……………………………………………………2分

………………………………………………………………………4分

20．解： …………………… ……………………………………5分

代人除-1、-2、0、1、2以外的数计算…………………8分

21．（1）m≤1; …………………4分

(2)m= …………………4分

23（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴ND∥AM

∴

又∵点E是AD中点，∴DE=AE

∴

∴四边形AMDN是平行四边形

（2）①1；②2

24.解：过B点作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G．

在Rt△ABE中，BE=AB?sin30°=20× =10km，………………………………2分

在Rt△BCF中，BF=BC÷cos30°=10÷ = km，………4分

CF=BF?sin30°= × = km，………………………………6分

DF=CD﹣CF=（30﹣ ）km，……………………………7分

在Rt△DFG中，FG=DF?sin30°=（30﹣ ）× =（15﹣ ）km，……8分

∴EG=BE+BF+FG=（25+5 ）km．

故两高速公路间的距离为（25+5 ）km．……………10分

25

26.解答： 猜想：DM=ME

证明：如图1，延长EM交AD于点H，

∵四边形ABCD和CEFG是矩形，

∴AD∥EF，

∴∠EFM=∠HAM，

又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，

在△FME和△AMH中，

∴△FME≌△AMH（ASA）

∴HM=EM，

在RT△HDE中，HM=EM，

∴DM=HM=ME，

∴DM=ME．

（1）如图1，延长EM交AD于点H，

∵四边形ABCD和CEFG是矩形，

∴AD∥EF，

∴∠E FM=∠HAM，

又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，

在△FME和△AMH中，

∴△FME≌△AMH（ASA）

∴HM=EM，

在RT△HDE中，HM=EM，

∴DM=HM=ME，

∴DM=ME，

故答案为：DM=ME．

（2）如图2，连接AE，

∵四边形ABCD和ECGF是正方形，

∴∠FCE=45°，∠FCA=45°，

∴AE和EC在同一条直线上，

在RT△ADF中，AM=MF，

∴DM=AM=MF，

在RT△AEF中，AM=MF，

∴AM=MF=ME，

∴DM=ME．

27. 解：直接应用

1, 2 ……………………………………………………………………………(每空1分) 2分

变形应用

解：∵ ………………………………………3分

∴ 有最小值为 , ……………………………………………………………4分

当 ,即 时取得该最小值…………………………………………………6分

实际应用

解：设该汽车平均每千米的运输成本为 元,则 ………… 9分

, …………………………………10分

∴当 (千米)时, 该汽车平均每千米的运输成本 最低………11分

最低成本为 元. ………………………………………12分

28．解：（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x2﹣1，直线解析式为y=x+1．

联立两个解析式，得：x2﹣1=x+1，

解得：x=﹣1或x=2，

当x=﹣1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，

∴A（﹣1，0），B（2，3）．…………………………4分

（2）设P（x，x2﹣1）．

如答图2所示，过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1）．

∴PF=yF﹣yP=（x+1）﹣（x2﹣1）=﹣x2+x+2．

S△ABP=S△PFA+S△PFB=PF（xF﹣xA）+PF（xB﹣xF）=PF（xB﹣xA）=PF

∴S△ABP=（﹣x2+x+2）=﹣（x﹣）2+

当x=时，yP=x2﹣1=﹣．

∴△ABP面积最大值为 ，此时点P坐标为（，﹣）．………8分

（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，

则E（﹣，0），F（0，1），OE=，OF=1．

在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF= = ．

令y=x2+（k﹣1）x﹣k=0，即（x+k）（x﹣1）=0，解得：x=﹣k或x=1．

∴C（﹣k，0），OC=k．

假设存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，如答图3所示，

则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时∠OQC=90°．

设点N为OC中点，连接NQ，则NQ⊥EF，NQ=CN=ON=．

∴EN=OE﹣ON=﹣．

∵∠NEQ=∠FEO，∠EQN=∠EOF=90°，

∴△EQN∽△EOF，

∴ ，即： ，

解得：k=± ，

∵k＞0，

∴k= ．

∴存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，此时k= ．………………………12分