高淳区2015初三数学下学期期中测试卷(含答案解析)

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，

恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1．在下列实数中，无理数是（ ▲ ）

A．sin45° B．13 C． ．0.3 D． 3.14

2．计算(2a 2) 3的结果是 （ ▲ ）

A．2a 5 B．2a6 C．8a 5 D．8a 6

3．在某校初三年级古诗词比赛中，初三(1)班42名学生的成绩统计如下：

分数 50 60 70 80 90 100

人数 1 2 8 13 14 4

则该班学生成绩的中位数和众数分别是（ ▲ ）

A．70，80 B．70，90 C．80，90 D．80，100

4．如图，一个由5个大小相同、棱长为1的正方体搭成的几何体，

下列关于这个几何体的说法正确的是（ ▲ ）

A．主视图的面积为5 .B．左视图的面积为3

C．俯视图的面积为5 D．俯视图的面积为3

5．如图，四边形AB CD内接于⊙O，∠A ＝100°，则劣弧⌒BD的度数是（ ▲ ）

A．80° B．100° C．130° D．160°

6．如图，在平面直角坐标系xoy中，函数y＝x的图象为直线l，作点A1(1，0)关于直线

l的对称点A2，将A2向右平移2个单位得到点A3；再作A3关于直线l的对称点A4，将

A4向右平移2个单位得到点A5；…．则按此规律，所作出的点A2015的坐标为（ ▲ ）

A．（1007，1008） B．（1008，1007） C．（1006，1007） D．（1007，1006）

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直

接填写在答题纸相应位置上）

7．－3的倒数是 ▲ ， －3的绝对值是 ▲ ．

8．使式子1＋x＋2 有意义的x的取值范围是 ▲ ．

9．分解因式:4a2－16＝ ▲ ．

10．计算（6－2）×2＝ ▲ ．

11．改写命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形” ：如果 ▲ ，

那么 ▲ ．

12．如图，在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（4，3）、（0，－1），则△ABC外接圆的圆心坐标为 ▲ ．

13．如图，半径为1的⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，则劣弧 ⌒MN的长度为 ▲ ．

14．正比例函数y1＝k1x的图像与反比例函数y2＝k2x的图象相交于点A（－1，2）和点B ．

当y1＜y2时，自变量x的取值范围是 ▲ ．

15．某剧院举办文艺演出．经调研,如果票价定为每张30 元，那么1200 张门票可以全部售出；如果票价每增加1 元，那么售出的门票就减少20 张．要使门票收入达到38500 元,票价应定为多少元？若设票价为x 元，则可列方程为 ▲ ．

16．如图，等边△ABC中，BC＝6，D、E分别在BC、AC上，且

DE∥AC，MN是△BDE的中位线．将线段DE从BD＝2处

开始向AC平移，当点D与点C重合时停止运动，则在运动

过程中线段MN所扫过的区域面积为 ▲ ．

三、解答题 (本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤)

17．（8分）（1）计算 (－2)2＋(3－π)0＋｜1—3｜； （2）解方程组

18．（5分）化简： ．

19．（7分）某校举行全体学生“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个．随机抽取了

部分学生的听写结果，绘制成如下的图表．

根据以上信息完成下列问题：

（1）统计表中的m＝ ▲ ，n＝ ▲ ，并补全条形统计图；

（2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是 ▲ ；

（3）已知该校共有900名学生，如果听写正确的字的个数少于24个定为不合格，

请你估计该校本次听写比赛不合格的学生人数．

20．(7分)一个不透明的袋中，装有编号为①、②、③、④的四个球，他们除了编号外其余

都相同．

（1）从袋中任意摸出一个球，摸到编号为奇数的球的概率为 ▲ ；

（2）从袋中任意摸出两个球，求摸到的球编号都为奇数的概率．

21．（8分）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD、BC于点E、F，AC与EF交于点O，连结AF、CE．

（1）求证：四边形AFCE是菱形；

（2）若AB＝3，AD＝4，求菱形AFCE的边长．

22．（7分）如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测点，B在A的正东方向，AB＝4km．

从A测得灯塔C在北偏东60°的方向，从B测得灯塔C在北偏西27°的方向，求灯

塔C与观测点A的距离（精确到0.1km）．

(参考数据:sin27°≈0.45，cos27°≈0.90，tan27°≈0.50，3≈1.73)

23．（7分）从南京到某市可乘坐普通列车，行驶路程是520千米；也可乘坐高铁，行驶路

程是400千米．已知高铁的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，且从南京到该市

乘坐高铁比乘坐普通列车要少用3小时．求高铁行驶的平均速度．

24．(8分）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O 的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P．点C在OP上，且BC＝PC．

（1）求证：直线BC是⊙O的切线；

（2）若OA＝3，AB＝2，求BP的长．

25．（8分）已知二次函数y＝x2－ax－2a2（a为常数，且a≠0）．

（1）证明该二次函数的图像与x轴的正半轴、负半轴各有一个交点；

（2）若该二次函数的图像与y轴的交点坐标为（0，－2），试求该函数图像的顶点

坐标．

26．（10分）如图①，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BA＝BC．动点E、F同时从

点B出发，点E沿折线 BA–AD–DC运动到点C时停止运动，点F沿BC运动到点

C时停止运动，它们运动时的速度都是1 cm/s．设E出发t s时，△EBF的面积为y cm2．已

知y与t的函数图象如图②所示，其中曲线OM为抛物线的一部分，MN、NP为线段．

请根据图中的信息，解答下列问题：

（1）AD＝ ▲ cm，BC＝ ▲ cm；

（2）求a的值，并用文字说明点N所表示的实际意义；

（3）直接写出当自变量t为何值时，函数y的值等于5．

27．（13分）如图1，对于平面上小于等于 的 ，我们给出如下定义：若点P在

的内部或边上，作 于点E， 于点 ，则将 称为点

P与 的“点角距”，记作d(∠MON，P)．如图2，在平面直角坐标系xoy中，

x、y正半轴所组成的角为∠xOy．

（1）已知点A（5，0）、点B（3，2），则d(∠xOy，A) ＝ ▲ ，d(∠xOy，B) ＝ ▲ ．

（2）若点P为∠xOy内部或边上的动点，且满足d(∠xOy，P)＝5，画出点P运动所

形成的图形．

（3）如图3与图4，在平面直角坐标系xoy中，射线OT的函数关系式为y＝43x（x≥0）．

①在图3中，点C的坐标为（4，1），试求d(∠xOT，C)的值；

②在图4中，抛物线y＝－12x 2＋2x＋52 经过A（5，0）与点D(3，4)两点，点Q是A，D两点之间的抛物线上的动点（点Q可与A，D两点重合），求当d(∠xOT，Q)取最大值时点Q 的坐标．

高淳区2015初三数学下学期期中测试卷(含答案解析)参考答案及评分标准

一、选择题（每小题2分，共12分，将正确答案的题号填在下面的表格中）

题号 1 2 3 4 5 6

答案 A D C B D B

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

7．—13，3 8．x≥－2 9．4（a＋2）（a－2） 10．23－2

11．四边形的对角线互相平分，这个四边形是平行四边形 12．（2，1） 13．25π

14．－1＜x＜0或x＞1 15．x［1200－20(x－30)］＝38500 16．23

三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（8分）

（1） 解：原式＝4＋1＋3－1 ……………………3分

＝4＋3 ……………………4分

（2） 解：①×2＋②，得5x＝5，x＝1，……………………2分

将x＝1代入①，得y＝－1． ……………………3分

原方程组的解为 ……………………4分

18．（5分）解：原式＝ ……………………3分

＝ ……………………4分

＝ ……………………5分

19．（7分）解：

（1）m＝30，n＝20；……………………2分

（2）90°； ……………………5分

（3）估计这所学校本次听写比赛不合格的

学生人数为： 900×（10%+15%+25%）……6分

＝450人．……………………7分

20．(7分) （1）12；……………………2分

（2）从袋中任意摸出两个球，有①②、①③、①④、②③、②④，③④共6种可能，

……………………5分

且都是等可能的，其中，都为奇数只有①③一种可能，所以摸到的球的编号都为

奇数的概率为16． ……………………7分

21．（8分）（1）

证明∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠EAO＝∠FCO．……………………1分

∵EF是AC的垂直平分线，

∴AO＝CO，∠EOA＝∠FOC＝90°，…………2分

∴△AEO≌△CFO，

∴AE＝CF． …………3分

∴四边形AFCE是平行四边形．…………4分

又∵AC⊥EF，

∴四边形AFCE是菱形． …………5分

（2）设AF＝CF＝x，则BF＝4—x，…………6分

在直角△ABF中，AF2＝AB2＋BF2，即x2＝32＋(4—x) 2，…………7分

解得 x＝258．所以菱形AFCE的边长为258．…………8分

22．（7分）解：过点C作CD⊥AB，

则∠BCD＝27°，∠ACD＝60°， …………1分

在Rt△BDC中，由tan ∠BCD＝ ，

∴BD＝CD tan27°＝0．5CD； …………3分

在Rt△ADC中，由tan ∠ACD＝

∴AD＝CD tan60°＝3CD； …………4分

∵AD＋BD＝3CD＋0.5CD＝4，

∴CD＝4 3+0.5 ． …………5分

在Rt△ADC中，∵∠ACD＝60°，∴∠CAD＝30°，

∴AC＝2CD＝8 3+0.5≈3.6．

∴灯塔C与观测点A的距离为3.6 km．…………7分

23．（7分）解：设普通列车的平均速度为x千米/时，

则高铁的平均速度是2.5x千米/时． …………1分

依题意，得 …………4分

解得：x＝120．

经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意．…………5分

所以2.5x＝300． …………6分

答：高铁行驶的平均速度是300千米/时． …………7分

24．(8分）

（1）证明：连结OB．

∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA．

又∵BC＝PC，∴∠P＝∠CBP． …………1分

∵OP⊥AD，∴∠A＋∠P＝90°，

∴∠OBA＋∠CBP＝90°，…………2分

∴∠OBC＝180°－（∠OBA＋∠CBP）＝90°．…………3分

∵点B在⊙O上，

∴直线BC是⊙O的切线． …………4分

（2）连结DB．

∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，

∴Rt△ABD∽Rt△AOP．…………6分

∴ABAO＝ADAP，即 23＝6AP ，AP＝9，…………7分

∴BP ＝AP—BA＝9—2＝7． …………8分

25．（8分）解：（1）

法一：y＝x2－ax－2a2 ＝（x＋a）（x－2a），

令y＝0，则x1＝－a，x2＝2a， …………2分

∵a≠0，x1、x2的值必为一正一负， …………3分

∴该二次函数的图像与x轴的正半轴、负半轴各有一个交点； …………4分

法二：由y＝0得：x2－ax－2a2 ＝0（*），

∵△＝(－a)2－4×1×（－2a2）＝9a2，a≠0，

∴△＞0，∴（*）有二个不相等的值数根.设二实数根为x1，x2，…………2分

∵x1x2＝－2a2＜0，∴（*）有2个异号的实数根

∴该二次函数的图像与x轴的正半轴、负半轴各有一个交点；…………4分

（2）由题意，得－2a2＝－2 ，所以a＝1或－1． …………5分

当a＝1时，y＝x2－x－2＝（x－12）2－94，顶点坐标为（12，－94） …………6分

当a＝－1时，y＝x2＋x－2＝（x＋12）2－94，顶点坐标为（－12，－94）…………7分

该函数图像的顶点坐标为（12，－94）或（－12，－94）．…………8分

26．（10分）解：(1)AD＝2cm，BC＝5cm； …………2分

（2）过A作AH⊥BC，H为垂足，由已知BH＝3，BA＝BC＝5，∴AH＝4

∴当点E、F分别运动到A、C时△EBF的面积为：12×BC×AH＝12×5×4＝10，

即a的值为10， …………4分

点N所表示的实际意义：当点E运动7s时到达点D，此时点F沿BC已运动到点C

并停止运动，这时△EBF的面积为10 cm2； …………6分

(3) 522 或9. …………10分

27．（13分）解：（1）5；5 …………2分

（2）线段y＝5－x(0≤x≤5) …………5分

（3）①如图3，作CE⊥OT于点E，CF⊥x轴于点F，

延长FC交OT于点H，则CF ＝1．由直线OT对应的

函数关系式为y＝43x，所以点H的坐标为H(4，163)，

求得CH＝133，OH＝203，…………6分

∵△HEC∽△HFO，∴ECFO＝HCHO ，

即 EC4＝133203 ， EC＝135，…………7分

∴d(∠xOT，C) ＝135+1＝185． …………8分

②如图4，作QG⊥OT于点G，QH⊥x轴于点H,交 OT于点K.

设点Q的坐标为 ，其中3≤m≤5，则 ．

可求得：K点坐标为（m, 43m）,QK

∴HK＝43m, OK＝53m．

∵Rt△QGK∽Rt△OHK，∴ ．

∴ …………10分

∴d(∠xOT，Q)＝

∴ 当 （在3≤m≤5范围内）时，d(∠AOB,Q)取得最大值 ． ………12分

此时，点Q的坐标为 ． ………………13分