石景山区2015九年级数学下学期期中测试卷(含答案解析)

第Ⅰ卷（共30分）

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母填在题后括号内．

1． 的相反数是

A． B． C． D．

2．将 用科学记数法表示为

A． B． C． D．

3 ．有四张背面完全相同且不透明的卡片，每张卡片的正面分别写有数字 ， ， ， ，将它们背面朝上，洗均匀后放置在桌面上，若随机抽取一张卡片，则抽到的数字恰好是无理数的概率是

A． B． C． D．1

4．如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，

那么在正方体的表面，与“友”相对的面上的汉字是

A．爱B．国 C．善 D．诚

5．如图， ， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，连接 ，若 ，则 的度数为

A． B． C． D．

6．如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AC= ，点D在AC上，以CD为直径作⊙O与BA相切于点E，则BE的长为

A． B．

C．2 D．3

7．在某校科技节“知识竞赛”中共进行四次比赛，甲、乙两个参赛同学，四次比赛成绩情况下表所示：

次数 第一次 第二次 第三次 第四次

甲 9.7 10 10 8.4

乙 9.2 10 9.7 9.2

设两同学得分的平均数依次为 ， ，得分的方差依次为 ， ，则下列关系中完全正确的是

A． ， B． ，

C． ， D． ，

8．等腰三角形一个角的度数为 ，则顶角的度数为

A． B． C． D． 或

9．如图，等边△ABC及其内切圆与外接圆构成的图形中，若外接圆的半径为3，则阴影部分的面积为

A． B． C． D．

10．在平面直角坐标系中，四边形 是菱形，其中点 的坐标是（0,2），点 的坐标是（ ，2），点 和点 是两个动点，其中 点 从点 出发沿 以每秒1个单位的速度做匀速运动，到点 后停止，同时点 从 点出发沿折线 → 以每秒2个单位 的速度做匀速运动，如果其中一点停止运动，则另一点也停止运动，设 、 两点的运动时间为 ， 的面积是 ，下列图象中能表示 与 的函数关系的图象大致是

A B C D

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11．分解因式： .

12．分式 的值为零的条件是___________.

13.如图，四边形ABCD为矩形，添加一个条件：,

可使它成为正方形.

14．如图所示，已知函数 和 的图象交点为 ，则不等式 的解集为___________.

15．综合实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山 距离为 米的 处，然后沿着射线 退后到点 ，这时恰好在镜子里看到山头 ，利用皮尺测量 米，若小宇的身高是 米，则假山 的高度为________________.

16．在平面直角坐标系 中，我们把横，纵坐标都是整数的点叫做整点，已知在函数 上有一点 （ 均为整数），过点 作 轴于点 ， 轴于点 ，当 时，矩形 内部（不包括边界） 有 个整点，当 时，矩形 内部有 个整点，当 时，矩形 内部有个整点，当 时，矩形 内部的整点最多．

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

17．已知：如图， 是 的平分线， 是 上一点，且 于 ， 于 ， ．求证： ．

18．计算：

19．用配方法解方程：

20．若 ，求代数式 的值．

21．在平面直角坐标系 中， 是坐标原点；一次函数 图象与反比例函数 的图象交于 、 ．

（1）求一次函数与反比例函数的表达式；

（2）求 的面积.

22．列方程或方程组解应用题

小明到学校的小卖部为班级运动会购买奖品，若购买4根荧光笔和8个笔记本需要100元，若购买8根荧光笔和4个笔记本需要80元，请问荧光笔和笔记本的单价各是多少元？

四、解答题（本 题共20分，每小题5分）

23．如图，在 中， ， 分别是边 、 的中点， 、 是边 上的三等分点，连接 、 且延长后交于点 ，连接 、

（1）求证：四边形 是平行四边形

（2）若 ， ， ，求：四边形 的面积

24． 2014年，移动电商发展迅速。以下是某调查机构发布的相关的统计表和统计图的一部分.

2014年“移动电商行业用户规模” 2014年“移动电商行业用户规模”统计图

增长率统计图

请根据以上信息解答下列问题：

（1）2014年10月“移动电商行业用户规模”

是_____亿台；（结果精确到0.1亿台）

并补全条形统计图；

（2）2014年9-12这三个月“移动电商行业用户规模”

比上个月增长的平均数为_______亿台，若按此平

均数增长，请你估计2015年1月“移动电商行业

用户规模”为______亿台．（结果精确到0.1亿台）

（3）2014年某电商在双11共售出手机12000台，

则C品牌手机售出的台数是_______.

25．如图，点 在⊙ 上， 于点 ， ， ， 为 延长线上一点，且 ， .

（1）求证： 是⊙O的切线；

（2）若点 是弧 的中点，且 交 于点 ，求 的长．

26．阅读下面材料：

小玲遇到这样一个问题：如图1，在等腰三角形 中， ， ， ， 于点 ，求 的长．

小玲发现：分别以 ， 为对称轴，分别作出△ ，△ 的轴对称图形，点 的对称点分别为 ， ，延长 ， 交于点 ，得到正方形 ，根据勾股定理和正方形的性质就能求出 的长．（如图2）

请回答： 的长为， 的长为；

参考小玲思考问题的方法，解决问题：

如图3，在平面直角坐标系 中，点 ， ，点 是△ 的外角的角平分线 和 的交点，求点 的坐标．

五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）

27．已知关于 的方程 ．

（1）求证：无论 取任何实数时，方程恒有实数根；

（2）若关于 的二次函数 的图象经过坐标原点，得到抛物线 ．将抛物线 向下平移后经过点 进而得到新的抛物线 ,直线 经过点 和点 ，求直线 和抛物线 的解析式；

（3）在直线 下方的抛物线 上有一点 ，求点 到直线 的距离的最大值．

28．如图1，点 为正方形 的中心．

（1）将线段 绕点 逆时针方向旋转 ，点 的对应点为点 ，连结 ， ， ，请依题意补全图1；

（2）根据图1中补全的图形，猜想并证明 与 的关系；

（3）如图2，点 是 中点，△ 是等腰直角三角形， 是 的中点， ， ， ，△ 绕 点逆时针方向旋转 角度，请直接写出旋转过程中 的最大值．

29．对于平面直角坐标系 中的点 ，定义一种变换：作点 关于 轴对称的点 ，再将 向左平移 个单位得到点 ， 叫做对点 的 阶“ ”变换．

（1）求 的 阶“ ”变换后 的坐标；

（2）若直线 与 轴， 轴分别交于 两点，点 的 阶“ ”变换后得到点 ，求过 三点的抛物线 的解析式；

（3）在（2）的条件下，抛物线 的对称轴与 轴交于 ，若在抛物线 对称轴上存在一点 ，使得以 为顶点的三角 形是等腰三角形，求点 的坐标．

石景山区2015九年级数学下学期期中测试卷(含答案解析)参考答案及解析：

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案 A B B C B C A D B D

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11． ； 12． ；13． 等(答案不唯一)14．

15．17米；1 6．135；25．

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

17．证明：∵ 是 的平分线， 是 上一点，

且 于 ， 于 ，

∴ , .…………………2分

在△ 和△ 中，

△ ≌△ .……………………4分

.………… …………5分

18．解：原式= ………………………………4分

=7………………………………5分

19．解：移项得： ………………………………1分

……………………2分

……………………………3分

……………………………4分

………………5分

20．解：原式= ………………………………2分

．………………………………3分

∵ ，

∴ ．………………………………4分

………………………………5分

21．解：（1）∵ 、 在反比例函数 图象 上

∴ ………………………………………………1分

∵ ∴

∴ ， 、

∴所求反比例函数解析式为： …… ………………2分

将 、 代入

∴所求直线解析式为： …………………………3分

（2）设 与 轴交点为

令 ，∴

∴

………………………………………………5分

22．解：设荧光笔和笔记本的单价分别是 元, 元…………………………1分

根据题意，得 ………………………………………3分

解得： ………………………………………………………4分

答：荧光笔和笔记本的单价分别是5元,10元…………………………5分

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

23．（1）

证明：∵E、F是AC 边上的三等分点

∴CF=EF=AE

∵N是BC中点

∴FN是△CEB的中位线

∴FN//BE 即DF//BE

同理可证：ED//BF

∴四边形BFDE是平行四边形………………………2分

（2）过点B作BH⊥AC于点H

∵∠A=45°，AB=

∴BH=AH=3……………………………………………. 3分

∵∠C=30°

∴CH=

∴ ……………………………4分

∵E、F是AC边上的三等分点

∴

∴ ………………………5分

24．解：（1）8.0 ；图略…………………2分

（2）0.9；10.5 …………………2分

（3）1440………………… 1分

25．（1）证明：连结

∵ 于点

∴ 是⊙ 的直径…………………………………1分

∵ ，∴

在 中， ，∴

由勾股定理

在 中，由勾股定理逆定理：

∴ °即

∴ 是⊙ 的切线…………………………………2分

（2）解：∵点 是弧 的中点

∴ …………………………………3分

∵ 是⊙ 的直径

∴

∴ °

∴

∴

即

∴ ………………

∵

∴ 可得

∴ …………………………………5分

26．解： 的长为 ， 的长为 ；…………………2分

如 图，过点 分别作 轴于点 ， 轴于点 ，

于点 …………………3分

∵ 和 是△ 的外角的角平分线

∴ ，

∴

∴四边形 是正方形， ， …………4分

∴

∵ ，

∴

∴

∴ ,∴ ∴ ……………………5分

五、解答题（本题满分7分）

27．解：（1）当 时，

当 时，

∵ ，∴

综上所述：无论 取任何实数时，方程恒有实数根；………………………3分

（2）∵二次函数 的图象经过坐标原点

∴

∴ ………………………4分

抛物线 的解析式为：

抛物线 的解析式为：

设直线 所在函数解析式为：

将 和点 代入

∴直线 所在函数解析式为 ： ………5分

（3）据题意：过点 作 轴交 于 ，

可证 ,则

设 ， ，

∴

………………………6分

∵

∴当 时，

∵ 随 增大而增大，

∴ 为所求.………………………7分

六、解答题（本题满分7分）

28．解：

（1）正确画出图形；………………1分

（2）延长 交 于点 ，交 于点 …2分

∵ 为正方形 的中心，

∴ ，∠ ＝90……3分

∵ 绕点 逆时针旋转90角得到

∴

∴∠ ＝∠ ＝90

∴∠ ＝∠ ……4分

在△ 和△ 中，

， ，∠ ＝∠ ，

∴△ ≌△

∴ .……5分

∴∠ ＝∠

∵∠ +∠

∴∠ +∠ =90

∴ ⊥ ……6分

（3） 的最大值为 ……8分

七、解答题（本题满分8分）

29．解：（1）由 阶“ ”变换 定义：

将 于 轴对称的点为： …………………………………………1分

再将 向左平移 个单位得 的坐标

……………………………………………………………………2分

（2）直线： ，令 ∴

令 ∴

……………………………………………………………………3分

由 阶“ ”变换定义： ………………………………………4分

设：过 三点的抛物线 的解析式

将 代入：

∴抛物线 的解析式为：

……………………………………………………………………5分

（3） ，

（I）若 顶角顶点， 为腰，

∵

∴

， ……………………………6分

（II）若 为顶角顶点， 为腰，

∴

……………………………………… ……………7分

（III）若 为底，

过点 作 轴交抛物线对称轴于

设 ， ， ，

在 中，由勾股定理

解得： ∴

综上所述：点 的坐标是： ， ， ， ……8分