门头沟区2015九年级数学下学期期中测试卷(含答案解析)

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．

1．青藏高原是世界上海拔最高的高原，它的面积约为2 500 000平方千米．将2 500 000用科学记数法表示应为

A．25×105 B．2.5×106 C．2.5×107 D．0.25×107

2．如果右图是某几何体的三视图，那么这个几何体是

A．圆柱 B．正方体

C．球 D．圆锥

3．如图，如果数轴上A，B两点表示的数互为相反数，那么点B表示的数为

A．2 B．－2 C．3 D．－3

4．在下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是

A B C D

5．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，D是⊙O上一点，

如果∠ADC=26o，那么∠AOB的度数为

A．13o B．26o

C．52o D．78o

6．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个多边形是

A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形

7．在下列运算中，正确的是

A．a2?a3=a5 B．(a2)3=a5 C．a6÷a2=a3 D．a5+a5=2a10

8．甲、乙两人进行射击比赛，他们5次射击的成绩（单位：环）如下图所示：

设甲、乙两人射击成绩的平均数依次为

、 ，射击成绩的方差依次为 、

， 那么下列判断中正确的是

A． ， B． ，

C． ， D． ，

9．一辆自行车在公路上行驶，中途发生了故障，停下修理一段时间后继续前进．已知行驶路程S（千米）与所用时间t（时）的函数关系的图象

如图所示，那么自行车发生故障后继续前进的速度为

A．20千米/时 B． 千米/时

C．10千米/时 D． 千米/时

10．在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度

的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M，N，

直线m运动的时间为t（秒）．设△OMN的面积为S，那么能反

映S与t之间函数关系的大致图象是

A B C D

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11．在函数 中，自变量x的取值范围是 ．

12．在半径为1的圆中，120°的圆心角所对的弧长是 ．

13．分解因式：ax2－9a= ．

14．某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量

一幢建筑物AB的高度．如图，他们先在点C处测得建筑物AB

的顶点A的仰角为30°，然后向建筑物AB前进10m到达

点D处，又测得点 A的仰角为60°，那么建筑物AB的高度是 m．

15．为了倡导绿色出行，某市为市民提供了自行车租赁服务，其收费标准如下：

地区类别 首小时内 首小时外 备注

A类 1.5元/15分钟 2.75元/15分钟 不足15分钟时

按15分钟收费

B类X K B 1.C O M 1.0元/15分钟 1.25元/15分钟

C类 免费 0.75元/15分钟

如果小明某次租赁自行车3小时，缴费14元，请判断小明该次租赁自行车所在地区的类别是 类（填“A、B、C”中的一个）．

16．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC如图放置，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时

反射角等于入射角，当点P第2次碰到矩形

的边时，点P的坐标为 ；当点P第

6次碰到矩形的边时，点P的坐标为 ；

当点P第2015次碰到矩形的边时，点P的坐标为____________.

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

17．已知：如图，C为BE上一点，点A、D分别在BE两侧，

AB∥ED，AB=CE，BC=ED．

求证：AC=CD．

18．计算： ．

19．已知 ，求 的值．

20．已知关于x的方程 （m≠0）

（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；

（2）如果方程的两个实数根都是整数，求整数m的值．

21．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数 （x＞0）的图象与一次函数y=kx－k的图象交点为A（m，2）．

（1）求一次函数的表达式；

（2）设一次函数y=kx－k的图象与y轴交于点B，如果P是x轴

上一点，且满足△PAB的面积是4，请直接写出P的坐标．

22．列方程或方程组解应用题：

2014年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米.

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

23．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，F为AC的中点，连接DF并延长至E，使得EF=DF，连接AE和EC．

（1）求证：四边形ADCE为平行四边形；

（2）如果DF= ，∠FCD=30°，∠AED=45°，

求DC的长．

24．以下是根据某电脑专卖店销售的相关数据绘制的统计图的一部分．

图1 图2

请根据图1、图2解答下列问题：

（1）来自该店财务部的数据报告表明，1～4月的电脑销售总额一共是290万元，请将图1中的统计图补充完整；

（2）该店1月份平板电脑的销售额约为 万元（结果精确到0.1）；

（3）小明观察图2后认为，4月份平板电脑的销售额比3月份减少了，你同意他的看法吗？请说明理由．

25．如图，⊙O为△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，AE为⊙O的切线，过点B作

BD⊥AE于D．

（1）求证：∠DBA=∠ABC；

（2）如果BD=1，tan∠BAD= ，求⊙O的半径．

26．阅读下面的材料：

小明遇到一个问题：如图1，在□ABCD中，点E是边BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G. 如果 ，求 的值．

他的做法是：过点E作EH∥AB交BG于点H，那么可以得到△BAF∽△HEF．

请回答：

（1）AB和EH之间的数量关系是 ，CG和EH之间的数量关系是 ，

的值为 ．

（2）参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图2，在四边形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F．如果 ， ，求 的值．

图1 图2

五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）

27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线 经过点A（4，0）和B（0，2）．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）在（1）的条件下，如果该抛物线的顶点为C，

点B关于抛物线对称轴对称的点为D，求直线

CD的表达式；

（3）在（2）的条件下，记该抛物线在点A，B之

间的部分（含点A，B）为图象G，如果图象

G向上平移m（m＞0）个单位后与直线CD只有一个公共点，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围．

28．如图1，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D是△ABC内部一点，∠ADC=135°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE．

（1）① 依题意补全图形；

② 请判断∠ADC和∠CDE之间的数量关系，并直接写出答案．

（2）在（1）的条件下，连接BE，过点C作CM⊥DE，请判断线段CM，AE 和BE之间的数量关系，并说明理由．

（3）如图2，在正方形ABCD中，AB= ，如果PD=1，∠BPD=90°，请直接写出 点A到BP的距离．

图1 图2

29．我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线．

如下图，抛物线F2都是抛物线F1的过顶抛物线，设F1的顶点为A，F2的对称轴分别

交F1、 F2于点D、B，点C是点A关于直线BD的对称点．

图1 图2

（1）如图1，如果抛物线y=x 2的过顶抛物线为y=ax2+bx，C（2，0），那么

① a= ，b= ．

② 如果顺次连接A、B、C、D四点，那么四边形ABCD为（ ）

A 平行四边形 B 矩形 C 菱形 D 正方形

（2）如图2，抛物线y=ax2+c的过顶抛物线为F2，B（2，c－1）．

求四边形ABCD的面积．

（3）如果抛物线 的过顶抛物线是F2，四边形ABCD的面积为 ，

请直接写出点B的坐标．

门头沟区2015九年级数学下学期期中测试卷(含答案解析)参考答案及解析

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案 B A D C C D A B D C

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

题号 11 12 13 14 15 16

答案 x≥1

a(x+3) (x-3)

B (7，4) (0，3) (1，4)

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

17．（本小题满分5分）

证明：∵ AB∥ED，

∴ ∠B=∠E．………………………1分

在△ABC和 △CED中，

∴ △ABC≌△CED．………………………………………………………4分

∴ AC=CD．…………………………………………………………………5分

18．（本小题满分5分）

解：原式= ………………………………………………………4分

=4.………………………………………………………………………5分

19．（本小题满分5分）

解：原式 … ………………………………………1分

…………………………………………………………2分

… …………………………………………………………………3分

当 时，原式 ………………………………5分

20．（本小题满分5分）

（1）证明：∵ m≠0，

∴ 是关于x的一元二次方程．

∵ ，……………………………………………1分

=9＞0.

∴ 方程总有两个不相等的实数根．………………………………2分

（2）解：由求根公式，得

．

∴ ， .……………………………………………………4分

∵ 方程的两个实数根都是整数，且m是整数，

∴ 或 ．………………………………………………………5分

21．（本小题满分5分）

解（1）∵ 点A（m，2）在函数 （x＞0）的图象上，

∴ 2m=4.

解得m=2 ……………………………1分

∴ 点A的坐标为（2，2）. .…………2分

∵ 点A（2，2）在一次函数y=kx－k的图象上，

∴ 2k－k=2.

解得k=2.

∴ 一次函数的解析式为y=2x－2.………………………………………3分

（2）点P的坐标为（3，0）或（－1，0）. ………………………………5分

22．（本小题满分5分）

解：设生产运营用水x亿立方米，则居民家庭用水 亿立方米．……1分

依题意，得 ．…………………………………………2分

解得 ………………………………………………………………3分

∴ ．……………………………………………4分

答：生产运营用水 亿立方米，居民家庭用水 亿立方米． ………………5分

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

23．（本小题满分5分）

（1）证明：∵ F为AC的 中点，

∴ AF=FC. ……………………………………………………………1分

又∵ EF=DF，

∴ 四边形ADCE为平行四边形. ……………………………………2分

（2）解：如图，过点F作FG⊥DC与G.

∵ 四边形ADCE为平行四边形，

∴ AE∥CD.

∴ ∠FDG=∠AED=45°，

在Rt△FDG中，∠FGD=90°，

∠FDG=45°，DF= ，

∵ cos∠FDG= ，

∴ DG=GF= = =2. ………………………3分

在Rt△FCG中，∠FGC=90°，∠FCG=30°，GF=2，

∵ tan∠FCG= ，

∴ …………………………………4分

∴ DC=DG+GC= ………………………………………………5分

24．（本小题满分5分）

解：（1）补全条形统计图；…………………………………………………………2分

（2）约为19.6万元．…………………………………………………………3分

（3）不同意，理由如下：

3月份平板电脑的销售额是 60×18%=10.8（万元），

4月份平板电脑的销售额是 65×17%=11.05（万元）．

而 10.8＜11.05，

因此4月份平板电脑的销售额比3月份的销售额增多了．……………5分

25．（本小题满分5分）

（1）证明：连接OA .（如图）

∵ AE为⊙O的切线，BD⊥AE，

∴ ∠DAO=∠EDB=90°.

∴ DB∥AO.

∴ ∠DBA=∠BAO. …………1分

又 ∵OA=OB，

∴ ∠ABC=∠BAO.

∴ ∠DBA=∠ABC. ………………………………………………2分

（2）在Rt△ADB中，∠ADB=90°，

∵ BD=1，tan∠BAD= ，

∴ AD=2，……………………………………………………………………3分

由勾股定理得AB= .

∴ cos∠DBA=

又∵ BC为⊙O的直径，

∴ ∠BAC=90°.

又∵∠DBA=∠ABC.

∴ cos∠ABC = cos∠DBA=

∴ …………………………………………4分

∴ ⊙O的半径为 …………………………………………………………5分

26．（本小题满分5分）

解：（1）AB=3EH，CG=2EH， .………………………………………………3分

（2）如图，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H.

∴ EH∥AB∥CD．

∵ EH∥CD，

∴ ，

∴ CD= EH．

又∵ ，∴ AB=2CD= EH．

∵ EH∥AB，∴ △ABF∽△EHF．

∴ ．……………………………………5分

五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）

27．（本小题满分7分）

解：（1）∵ 抛物线 经过点A（4，0）和B（0，2）．

∴ ………………………………………………1分

解得

∴ 此抛物线的表达式为 ．………………………2分

（2）∵ ，

∴ C（1， ）．…………………………………………………………3分

∵ 该抛物线的对称轴为直线x=1，B（0，2），

∴ D（2，2）．……………………………………………………………4分

设直线CD的表达式为y=kx+b．

由题意得

解得

∴ 直线CD的表达式为 ．………………………………5分

（3）0.5＜m≤1.5．……………………………………………………………7分

28．（本小题满分7分）

解：（1）① 依题意补全图形（如图）；…………………………………………1分

② ∠ADC+∠CDE=180°．……………………………………………2分

（2）线段CM，AE和BE之间的数量关系是AE=BE+2CM，理由如下：

∵ 线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，

∴ CD=CE，∠DCE=90°．

∴ ∠CDE=∠CED=45°．

又 ∵ ∠ADC=135°，

∴ ∠ADC+∠CDE =180°，

∴ A、D、E三点在同一条直线上.

∴ AE=AD+DE. …………………………………………………………3分

又∵ ∠ACB=90°，

∴ ∠ACB－∠DCB=∠DCE－∠DCB，

即 ∠ACD=∠BCE．

又∵ AC=BC，CD=CE，

∴ △ACD≌△BCE．

∴ AD=BE．………………………………………………………………4分

∵ CD=CE，∠DCE=90°，CM⊥DE．

∴ DE=2CM．…………………………………………………………5分

∴ AE=BE+2CM．……………………………………………………6分

（3）点A到BP的距离为 ．…………………………………………7分

29．（本小题满分8分）

解：（1）① a=1，b=2．…………………………………………………………2分

② D．……………………………………………………………………3分

（2）∵ B（2，c－1），

∴ AC=2×2=4．………………………………………………………4分

∵ 当x=0，y= c，

∴ A（0，c）．

∵ F1：y=ax2+c，B（2，c－1）．

∴ 设F2：y=a(x－2)2+c－1．

∵ 点A（0，c）在F2上，

∴ 4a+c－1=c，

∴ ．

∴ BD=(4a+c)－(c－1)=2．……………………………………………5分

∴ S四边形ABCD=4．……………………………………………………6分

（3）（ ，1），（ ，1）．………………………………………8分

说明：

若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。