丰台区2015九年级数学下学期期中综合试题(含答案解析)

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．

1． 的倒数是

A． B． C． D．

2．一根头发丝的直径约为0.00 006纳米，用科学记数法表示0.00 006，正确的是

A．6×10-6 B． 6×10-5 C． 6×10-4 D． 0.6×10-4

3．下面的几何体中，主视图 为三角形的是

A B C D

4．函数 中，自变量 的取值范围是

A． B． C． D．

5．妈妈在端午节煮了10个粽子，其中5个火腿馅，3个红枣馅，2个豆沙馅（除馅料 不同外，其它都相同）．煮好后小明随意吃一个，吃到红枣馅粽子的概率是

A． B． C． D．

6． 下面的几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称 图形的是

A B C D

7．如图，A，B是函数 的图象上关于原点对称的任意两点， BC∥x轴， AC∥y轴，如果△ABC的面积记为S，那么

A． B．

C． D．

甲 乙 丙 丁

平均分 80 80 85 85

方 差 59 41 54 42

8．甲、乙、丙、丁四位同学角逐“汉字听写大赛”的决赛资

格，表中统计了他们五次测试成绩的平均分和方差．如果

从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参

加全市“汉字听写大赛”，那么应选

A．甲 B．乙

C．丙 D．丁

9．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点 是栏杆转动的支点，点 是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆 最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中 ⊥ ， ∥ ，∠AEF=143°，AB=AE=1.2米， 那么适合该地下车库的车辆限 高标志牌为

（参考数据：sin 37° ≈ 0.60，cos 37° ≈ 0.80，tan 37° ≈ 0.75）

A B C D

10．如图，点N是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，（不与点A，B重合），AB=4，M是OA的中点，设线段MN的长为 ，△MNO的面积为 ，那么下列图象中，能表示 与 的函数关系的图象大致是

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11．分解因式： ．

12．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DE∥BC交AC于点E，

如果 ，AE=6，那么EC的长为 ．

13．图1中的三翼式旋转门在圆形的空间内旋转，旋转门的三片旋转翼把空间等分成三个部分，图2是旋转门的俯视图，显示了某一时刻旋转翼的位置，根据图2中的数据，可知 的长是_________m．

14．将二次函数 化为 的形式，那么 ．

15．在四边形 中，如果 ， ，请你添加一个条件，使得该四边形是菱形，那么这个条件可以是 .

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l的表达式是y＝ x，点A1坐标为(0，1)，过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，以原点O 为圆心，OB1长为半径画弧交y轴于点A2；再过点A2作y轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交y轴于点A3，…，按此做法进行下去，点B4的坐标为 ， = ．

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

17．计算： ．

18．已知：如图，AB=AE ，∠1=∠2 ，∠B=∠E ．

求证：BC=ED ．

19．解不等式组：

20．已知 ，求代数式 的值．

21．已知关于x的方程 ．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）如果方程的两个实数根都是整数，且有一根大于1，求满足条件的整数 的值．

22．列方程或方程组解应用题：

为响应市政府“绿色出行”的号召，小张上班由自驾车改为骑公共自行车．已知小张家距上班地点10千米．他用骑公共自行车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程少45千米，他从家出发到上班地点，骑公共自行车方式所用的时间是自驾车方式所用的时间的4倍．小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶多少千米?

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

23．如图，在□ABCD中，E为BC边上的一点，将△ABE沿AE翻折得到△AFE，点F恰好落在线段DE上．

（1）求证：∠FAD=∠CDE；

（2）当AB=5，AD=6，且 时，求线段EC的长．

24．某校九年级有200名学生参加《中小学生国家体质健康标准》测试赛活动．为了解本次测试的成绩分布情况，从中抽取了20名学生的成绩进行分组整理．现已完成前15个数据的整理，还有后5个数据尚未累计：

62，83，76，87，70，

学生测试成绩频数分布表 学生测试成绩频数分布直方图

成绩x（分） 频数累计 频数 频率

50≤x＜60 3 0.15

60≤x＜70

70≤x＜80

80≤x＜90

90≤x≤100 5 0.25

合计 20 1.00

（1）请将剩余的5个数据累计在“学生测试成绩频数分布表”中，填上各组的频数与频率，并补全“学生测试成绩频数分布直方图”；

（2）这20个数据的中位数所在组的成绩范围是 ；

（3）请估计这次该校九年级参加测试赛的学生中约有多少学生成绩不低于80分.

25．如图，AB是⊙O的直径，以AB为边作△ABC，使得AC = AB，BC交⊙O于点D，联结OD，过点D作⊙O的切线，交AB延长线于点E，交AC于点F．

（1）求证：OD∥AC；

（2）当AB=10， 时，求BE的长．

26．问题背景：

在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为 ， ， ，求这个三角形的面积．

小军同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需要求出△ ABC的高，借用网格就能计算出它的面积．

图1 图2

（1）请你直接写出△ABC的面积________；

思维拓展：

（2）如果△MNP三边的长分别为 ， ， ，请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为1)画出相应的格点△MNP，并直接写出△MNP的面积．

五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）

27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线 经过

， 两点.

（1）求抛物线及直线AB的解析式；

（2）点C在抛物线上，且点C的横坐标为3．将抛物线在

点A，C之间的部分（包含点A，C）记为图象G，如

果图象G沿y轴向上平移 （ ）个单位后与直线

AB只有一个公共点，求 的取值范围．

28． 已知△ABC是锐角三角形，BA=BC，点E为AC边的中点，点D为AB边上一点，且∠ABC=∠AED=α．

（1）如图1，当α=40°时，∠ADE= °；

（2） 如图2，取BC边的中点F，联结FD，将∠AED绕点E顺时针旋转适当的角度β(βα)，得到∠MEN，EM与BA的延长线交于点M， EN与FD的延长线交于点N．

①依题意补全图形；

②猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论．

图1 图2

29．对某一个函数给出如下定义：如果存在实数 ，对于任意的函数值 ，都满足 ，那么称这个函数是有上界函数，在所有满足条件的 中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是2．

（1）分别判断函数 （ ）和 （ ）

是不是有上界函数？如果是有上界函数，求其上确界；

（2）如果函数 （ ）的上确界是 ，

且这个函数的最小值不超过 ，求 的取值范围；

（3）如果函数 （ ）是以3为上确界的

有上界函数，求实数 的值.

丰台区2015九年级数学下学期期中综合试题(含答案解析)参考答案及解析：

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案 A B B C C D A D A D

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

题号 11 12 13 14 15 16

答案

10

3 AB=CD或

或A C平分∠BAD等．

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

17．解：原式 = …4分

= ....5分

18．证明：∵∠1=∠2，

∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD．

即∠BAC=∠E AD．……1分

∵AB=AE ，∠B=∠E ，……2分

∴ △ABC≌△AED．……4分

∴BC=ED ．……5分

19．解：

由①得： …1分

由②得： ……3分

….4分

∴ …….5分

20. 解：

原式= …1分

= ……2分

= ……3分

∵ ，∴ .……4分

∴原式= . …….5分

21．（1）证明： ，……1分

= = .

方程总有两个实根． ……2分

（2）解： . ……3分

解得 ……4分

∵方程的两个实数根都是整数，且有一根大于1，

∴

∴ …….5分

22. 解：设小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶x千米，根据题意列方程得：…1分

………3分

解得： ………4分

经检验 是原方程的解且符合实际意义.

答：小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶15千米. ………5分

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

23.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B =∠ADC. …….1分

∵将△BAE沿AE翻折得到△FAE，点F恰好落在线段DE上，

∴△ABE≌△AFE．∴∠B=∠AFE. …….2分

∴∠AFE=∠ADC．∵∠FAD=∠AFE-∠1，∠CDE =∠ADC -∠1，

∴∠FAD=∠CDE．…….3分

（2）过点D作DG⊥BE的延长线于点G．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，CD =AB=5.

∴∠2=∠B，∠3=∠EAD．

由（1）可知，△ABE≌△AFE，∴∠B=∠AFE， ∠3=∠4．∴∠4=∠EAD．∴ED=AD=6.

在Rt△CDG中，∴tan∠2= tan∠ABC = ．∴DG=2CG．…….4分

∵ ，∴ . ∴CG= ， DG=2 ．

在Rt△EDG中， ∵ ，∴EG=4．∴EC= ．…….5分

24．（1）如下表和图：…3分

成绩x（分） 频数累计 频数 频率

50≤x＜60

3 0.15

60≤x＜70

2 0.10

70≤x＜80

4 0.2 0

80≤x＜90 正一 6 0.30

90≤x≤100 正 5 0.25

合计 20 1.00

（2）80≤x＜90；…4分（3）200×（0.30+0.25）=110．…5分

25．（1）证明：联结 ．

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，AD⊥BC.

∵AC = AB，∴ ．…….1分

∵ ，∴ ．

∴ ，∴OD∥AC．…….2分

（2）∵AC = AB =10，∴ ．∴ ．

在Rt△ABD中，∠ADB=90°， ，

∴BD=2 ．∴CD = BD=2 ．….3分

∵EF为⊙O的切线，∴OD⊥EF，由∵OD∥AC，∴∠DFC=90°. …….4分

在Rt△CDF中， ，∴CF=2．∴AF=8．

∵OD∥AC，∴ ∽ ．∴ ．∴ ．

∵ ,∴ ．…….5分

26. 解：（1）△ABC的面积是4.5；…….2分

（2）如右图: …….4分

△MNP的面积是7. …….5分

五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）

27 . 解：（1）∵抛物线 过 ， 两点．

∴ ．…….1分

解得， ．

∴抛物线的表达式是 ．…….2分

设直线AB的表达式是 ，

∴ ，解得， ．…….3分

∴直线AB的表达式是 ．…….4分

（2）∵点C在抛物线上，且点C的横坐标为3．

∴C（3，-5）．…….5分

点C平移后的对应点为点

代入直线表达式 ，解得 ．…….6分

结合图象可知，符合题意的t的取值范围是 ． …….7分

28. 解：（1） ；…….1分

（2）①见右图；…….2分

② ．…….3分

证明：∵ ， ．

∴ ．

∵ ，

∴ ，即 ．

∴ . …….4分

∵ 是 中点，∴ ．

∴ ．

∴点 在以 为直径的圆上．∴ ．. …….5分

而 ．

∵点 是 中点，∴ ．∴ ．

∴ .

∴ ．…….6分

∵ ∠AED绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN，

∴ ∠AED=∠MEN ，

∴∠AED- ∠AEN=∠MEN-∠AEN ，即 ∠MEA=∠NED．

∴ ΔEAM≌ΔEPN ．

∴ EM=EN．…….7分

29. 解：（1） （ ）不是有上界函数；…….1分

（ ）是有上界函数，上确界是1. …….2分

（2）∵在y=-x+2中，y随x的增大而减小，∴上确界为 ，即 . 3分

又 ，所以 ，解得 . …….4分

∵函数的最小值是 ，∴ ，得 ，解得 .

综上所述： .…….5分

（3）函数的对称轴为 .…….6分

①当 时，函数的上确界是 .

∴ ，解得 ，符合题意. …….7分

②当 时，函数的上确界是 .

∴ ，解得 ，不符合题意.

综上所述： .…….8分