3.9角的平分线

教学目标

1.掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用.

2.理解原命题和逆命题的概念和关系，会找一个简单命题的逆命题.

3.渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。

教学重点和难点

角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点.

性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点.

教学过程设计

一、角平分钱的性质定理与判定定理的探求与证明

1，复习引入课题.

(1)提问关于直角三角形全等的判定定理.

(2)让学生用量角器画出图3-86中的∠AOB的角

平分线OC.

2.画图探索角平分线的性质并证明之.

(1)在图3-86中，让学生在角平分线OC上任取一

点P，并分别作出表示P点到∠AOB两边的距离的线段

PD，PE.

(2)这两个距离的大小之间有什么关系?为什么?学生度量后得出猜想，并用直角三角形全等的知识进行证明，得出定理.

(3)引导学生叙述角平分线的性质定理(定理1)，分析定理的条件、结论，并根据相应图形写出表达式.

3.逆向思维探求角平分线的判定定理.

(1)让学生将定理1的条件、结论进行交换，并思考所得命题是否成立?如何证明?请一位同学叙述证明过程，得出定理2——角平分线的判定定理.

(2)教师随后强调定理1与定理2的区别：已知角平分线用性质为定理1，由所给条件判定出角平分线是定理2.

(3)教师指出：直接使用两个定理不用再证全等，可简化解题过程.

4.理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合.

(1)角平分线上任意一点(运动显示)到角的两边的距离都相等(渗透集合的纯粹性).

(2)在角的内部，到角的两边距离相等的点(运动显示)都在这个角的平分线上(而不在其它位置，渗透集合的完备性).

由此得出结论：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.

二、应用举例、变式练习

练习1填空：如图3-86(1)∵OC平分∠AOB，点P在射线OC上，PD⊥OA于D

PE⊥OB于E.∴---------(角平分线的性质定理).

(2)∵PD⊥OA，PE⊥OB，----------∴ OP平分∠AOB(-------------)

例1已知：如图3-87(a)， ABC的角平分线BD和CE交于F.

(l)求证：F到AB，BC和 AC边的距离相等;

(2)求证：AF平分∠BAC;

(3)求证：三角形中三条内角的平分线交于一点，而且这点到三角形三边的距离相等;

(4)怎样找△ABC内到三边距离相等的点?

(5)若将“两内角平分线BD，CE交于F”改为“△ABC的两个外角平分线BD，CE交于F，如图3-87(b)，那么(1)～(3)题的结论是否会改变?怎样找△ABC外到三边所在直线距离相等的点?共有多少个?

说明：