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黄浦区2015初二年级数学上册期中测试卷(含答案解析)

2016-10-25 收藏

黄浦区2015初二年级数学上册期中测试卷(含答案解析)

一、选择题:(每题2分,共12分)

1.在二次根式 、 、 中,最简二次根式的个数()

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个

2.关于x的一元二次方程(m﹣2)x2+3x+m2﹣4=0有一个根是0,则m的值为()

A. m=2 B. m=﹣2 C. m=﹣2或2 D. m≠0

3.在同一坐标系中,正比例函数y=x与反比例函数 的图象大致是()

A. B. C. D.

4.已知反比例函数y= (k<0)的图象上有两点A(x1,y1)、B(x2,y2),且x1<x2<0,则y1与y2的大小关系是 ()

A. y1<y2 B. y1>y2 C. y1=y2 D. 不能确定

5.下列定理中,有逆定理存在的是()

A. 对顶角相等

B. 垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等

C. 全等三角形的面积相等

D. 凡直角都相等

6.如图,在等腰Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,交AC于点D,DE⊥BC,若BC=10cm,则△DEC的周长为()

A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. 14cm

二、填空题:(每题3分,共36分)

7.化简: =.

8.分母有理化 =.

9.方程x(x﹣5)=6的根是.

10.某种品牌的笔记本电脑原价为5000元,如果连续两次降价的百分率都为10%,那么两次降价后的价格为元.

11.函数 的自变量的取值范围是.

12.如果 ,那么 =.

13.在实数范围内分解因式:2x2﹣x﹣2=.

14.经过A、B两点的圆的圆心的轨迹是.

15.已知直角坐标平面内两点A(4,﹣1)和B(﹣2,7),那么A、B两点间的距离等于.

16.请写出符合以下条件的一个函数的解析式.

①过点(3,1);②当x>0时,y随x的增大而减小.

17.如图,已知OP平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=4,CP∥OA,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.如果点M是OP的中点,则DM的长为.

18.如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是BC边上一点,连接AE,把∠B沿AE折叠,使点B落在点B′处,当△CEB′为直角三角形时,BE的长为.

三、简答题:(每题6分,共36分)

19.化简: .

20.已知:关于x的一元二次方程(m﹣1)x2﹣2mx+m+3=0.当m为何值时,方程有两个实数根?

21.如图,已知点P(x,y)是反比例函数图象上一点,O是坐标原点,PA⊥x轴,S△PAO

=4,且图象经过(1,3m﹣1);求:

(1)反比例函数解析式.

(2)m的值.

22.假定甲乙两人在一次赛跑中,路程S(米)与时间t(秒)的关系式如图所示,那么可以知道:

(1)这是一次米赛跑.

(2)甲乙两人中,先到达终点的是.

(3)乙在这次赛跑中的速度为.

23.已知:如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,CE是中线,F是CE的中点,CD= AB,求证:DF⊥CE.

24.已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,以AC为边作等边△ACD,并作斜边AB的垂直平分线EH,且EB=AB,联结DE交AB于点F,求证:EF=DF.

四、解答题:(每题8分,共16分)

25.如图,直线y= x与双曲线y= (k>0)交于A点,且点A的横坐标为4,双曲线y= (k>0)上有一动点C(m,n),(0<m<4),过点A作x轴垂线,垂足为B,过点C作x轴垂线,垂足为D,连接OC.

(1)求k的值.

(2)设△COD与△AOB的重合部分的面积为S,求S关于m的函数解析式.

(3)连接AC,当第(2)问中S的值为1时,求△OAC的面积.

26.如图,正方形ABCD的边长为4厘米,(对角线BD平分∠ABC)动点P从点A出发沿AB边由A向B以1厘米/秒的速度匀速移动(点P不与点A、B重合),动点Q从点B出发沿折线BC﹣CD以2厘米/秒的速度匀速移动.点P、Q同时出发,当点P停止运动,点Q也随之停止.联结AQ,交BD于点E.设点P运动时间为t秒.

(1)用t表示线段PB的长;

(2)当点Q在线段BC上运动时,t为何值时,∠BEP和∠BEQ相等;

(3)当t为何值时,P、Q之间的距离为2 cm.

黄浦区2015初二年级数学上册期中测试卷(含答案解析)参考答案与试题解析

一、选择题:(每题2分,共12分)

1.在二次根式 、 、 中,最简二次根式的个数()

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个

考点: 最简二次根式.

分析: 判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法,就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足,同时满足的就是最简二次根式,否则就不是.

解答: 解: = ,被开方数含能开得尽方的因数,不是最简二次根式;

= 被开方数含分母,不是最简二次根式;

符合最简二次根式的定义,是最简二次根式.

故选:A.

点评: 本题考查最简二次根式的定义.根据最简二次根式的定义,最简二次根式必须满足两个条件:

(1)被开方数不含分母;

(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式.

2.关于x的一元二次方程(m﹣2)x2+3x+m2﹣4=0有一个根是0,则m的值为()

A. m=2 B. m=﹣2 C. m=﹣2或2 D. m≠0

考点: 一元二次方程的解;一元二次方程的定义.

分析: 根据一元二次方程的解的定义、一元二次方程的定义求解,把x=0代入一元二次方程即可得出m的值.

解答: 解:把x=0代入方程(m﹣2)x2+3x+m2﹣4=0,

得m2﹣4=0,

解得:m=±2,

∵m﹣2≠0,

∴m=﹣2,

故选B.

点评: 本题逆用一元二次方程解的定义易得出m的值,但不能忽视一元二次方程成立的条件m﹣2≠0,因此在解题时要重视解题思路的逆向分析.

3.在同一坐标系中,正比例函数y=x与反比例函数 的图象大致是()

A. B. C. D.

考点: 反比例函数的图象;正比例函数的图象.

分析: 根据正比例函数与反比例函数图象的性质解答即可.

解答: 解:∵正比例函数y=x中,k=1>0,

故其图象过一、三象限,

反比例函数y=﹣ 的图象在二、四象限,

选项C符合;

故选C.

点评: 本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质,关键是由k的取值确定函数所在的象限.

4.已知反比例函数y= (k<0)的图象上有两点A(x1,y1)、B(x2,y2),且x1<x2<0,则y1与y2的大小关系是 ()

A. y1<y2 B. y1>y2 C. y1=y2 D. 不能确定

考点: 反比例函数图象上点的坐标特征.

分析: 由于反比例函数y= (k<0)的k<0,可见函数位于二、四象限,由于x1<x2<0,可见A(x1,y1)、B(x2,y2)位于第二象限,于是根据二次函数的增减性判断出y1与y2的大小.

解答: 解:∵反比例函数y= (k<0)的k<0,可见函数位于二、四象限,

∵x1<x2<0,可见A(x1,y1)、B(x2,y2)位于第二象限,

由于在二四象限内,y随x的增大而增大,

∴y1<y2.

故选A.

点评: 本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征,函数图象上的点的坐标符合函数解析式.同时要熟悉反比例函数的增减性.

5.下列定理中,有逆定理存在的是()

A. 对顶角相等

B. 垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等

C. 全等三角形的面积相等

D. 凡直角都相等

考点: 命题与定理.

分析: 先写出四个命题的逆命题,然后分别根据对顶角的定义、线段垂直平分线的逆定理、全等三角形的判定和直角的定义进行判断.

解答: 解:A、“对顶角相等”的逆命题为“相等的角为对顶角”,此逆命题为假命题,所以A选项错误;

B、“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”的逆命题为“到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上”,此逆命题为真命题,所以B选项正确;

C、“全等三角形面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”,此逆命题为假命题,所以C选项错误;

D、“凡直角都相等”的逆命题为“相等的角都是直角”,此逆命题为假命题,所以D选项错误.

故选B.

点评: 本题考查了命题与定理:判断一件事情的语句,叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,一个命题可以写成“如果…那么…”形式. 2、有些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫做定理.也考查了定理.

6.如图,在等腰Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,交AC于点D,DE⊥BC,若BC=10cm,则△DEC的周长为()

A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. 14cm

考点: 角平分线的性质;等腰直角三角形.

分析: 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=AD,利用“HL”证明Rt△ABD和Rt△EBD全等,根据全等三角形对应边相等可得AB=AE,然后求出△DEC的周长=BC,再根据BC=10cm,即可得出答案.

解答: 解:∵BD是∠ABC的平分线,DE⊥BC,∠A=90°,

∴DE=AD,

在Rt△ABD和Rt△EBD中,

∵ ,

∴Rt△ABD≌Rt△EBD(HL),

∴AB=AE,

∴△DEC的周长=DE+CD+CE

=AD+CD+CE,

=AC+CE,

=AB+CE,

=BE+CE,

=BC,

∵BC=10cm,

∴△DEC的周长是10cm.

故选B.

点评: 本题考查的是角平分线的性质,涉及到等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定与性质,熟记各性质并求出△DEC的周长=BC是解题的关键.

二、填空题:(每题3分,共36分)

7.化简: = 3  .

考点: 二次根式的性质与化简.

分析: 把被开方数化为两数积的形式,再进行化简即可.

解答: 解:原式=

=3 .

故答案为:3 .

点评: 本题考查的是二次根式的性质与化简,熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键.

8.分母有理化 = ﹣ ﹣1 .

考点: 分母有理化.

分析: 先找出分母的有理化因式,再把分子与分母同时乘以有理化因式,即可得出答案.

解答: 解: =﹣ ﹣1;

故答案为:﹣ ﹣1.

点评: 此题考查了分母有理化,找出分母的有理化因式是本题的关键,注意结果的符号.

9.方程x(x﹣5)=6的根是 x1=﹣1,x2=6 .

考点: 解一元二次方程-因式分解法.

专题: 计算题.

分析: 先把方程化为一般式,然后利用因式分解法解方程.

解答: 解:x2﹣5x﹣6=0,

(x+1)(x﹣6)=0,

x+1=0或x﹣6=0,

所以x1=﹣1,x2=6.

故答案为x1=﹣1,x2=6.

点评: 本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).

10.某种品牌的笔记本电脑原价为5000元,如果连续两次降价的百分率都为10%,那么两次降价后的价格为 405O 元.

考点: 一元二次方程的应用.

分析: 先求出第一次降价以后的价格为:原价×(1﹣降价的百分率),再根据现在的价格=第一次降价后的价格×(1﹣降价的百分率)即可得出结果.

解答: 解:第一次降价后价格为5000×(1﹣10%)=4500元,

第二次降价是在第一次降价后完成的,所以应为4500×(1﹣10%)=4050元.

答:两次降价后的价格为405O元.

故答案为:405O.

点评: 本题考查一元二次方程的应用,根据实际问题情景列代数式,难度中等.若设变化前的量为a,平均变化率为x,则经过两次变化后的量为a(1±x)2.

11.函数 的自变量的取值范围是 x≥1且x≠2 .

考点: 函数自变量的取值范围;分式有意义的条件;二次根式有意义的条件.

专题: 计算题;压轴题.

分析: 根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于或等于0,分母不等于0,可以求出x的范围.

解答: 解:根据题意得:x﹣1≥0且x﹣2≠0,

解得:x≥1且x≠2.

故答案为x≥1且x≠2.

点评: 本题考查了函数自变量的取值范围问题,函数自变量的范围一般从三个方面考虑:

(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;

(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;

(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负.

12.如果 ,那么 = 1 .

考点: 函数值.

分析: 把自变量的值代入函数关系式计算即可得解.

解答: 解:f( )= =1.

故答案为:1.

点评: 本题考查了函数值求解,准确计算是解题的关键.

13.在实数范围内分解因式:2x2﹣x﹣2= 2(x﹣ )(x﹣ ) .

考点: 实数范围内分解因式;因式分解-十字相乘法等.

分析: 因为2x2﹣x﹣2=0的两根为x1= ,x2= ,所以2x2﹣x﹣2=2(x﹣ )(x﹣ ).

解答: 解:2x2﹣x﹣2=2(x﹣ )(x﹣ ).

点评: 先求出方程2x2﹣x﹣2=0的两个根,再根据ax2+bx+c=a(x﹣x1)(x﹣x2)即可因式分解.

14.经过A、B两点的圆的圆心的轨迹是 线段AB的垂直平分线 .

考点: 轨迹.

分析: 要求作经过已知点A和点B的圆的圆心,则圆心应满足到点A和点B的距离相等,从而根据线段的垂直平分线性质即可求解.

解答: 解:根据同圆的半径相等,则圆心应满足到点A和点B的距离相等,即经过已知点A和点B的圆的圆心的轨迹是线段AB的垂直平分线.

故答案为:线段AB的垂直平分线.

点评: 此题考查了点的轨迹问题,熟悉线段垂直平分线的性质是解题关键.

15.已知直角坐标平面内两点A(4,﹣1)和B(﹣2,7),那么A、B两点间的距离等于 10 .

考点: 两点间的距离公式.

分析: 根据两点间的距离公式进行计算,即A(x,y)和B(a,b),则AB= .

解答: 解:A、B两点间的距离为: = =10.

故答案是:10.

点评: 此题考查了坐标平面内两点间的距离公式,能够熟练运用公式进行计算.

16.请写出符合以下条件的一个函数的解析式 y=﹣x+4(答案不唯一) .

①过点(3,1);②当x>0时,y随x的增大而减小.

考点: 一次函数的性质.

专题: 开放型.

分析: 根据“y随x的增大而减小”所写函数的k值小于0,所以只要再满足点(3,1)即可.

解答: 解:根据题意,所写函数k<0,

例如:y=﹣x+4,

此时当x=3时,y=﹣1+4=3,

经过点(3,1).

所以函数解析式为y=﹣x+4(答案不唯一).

点评: 本题主要考查一次函数的性质,是开放性题目,答案不唯一,只要满足条件即可.

17.如图,已知OP平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=4,CP∥OA,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.如果点M是OP的中点,则DM的长为 2  .

考点: 角平分线的性质;直角三角形斜边上的中线.

分析: 根据角平分线性质得出PD=PE,根据平行线性质和角平分线定义、三角形外角性质求出∠PCE=60°,角直角三角形求出PE,得出PD长,求出OP,即可求出答案.

解答: 解:∵OP平分∠AOB,∠AOB=60°,

∴∠AOP=∠BOP=30°,

∵PD⊥OA,PE⊥OB,

∴PD=PE,

∵CP∥OA,∠AOP=∠BOP=30°,

∴∠CPO=∠AOP=30°,

∴∠PCE=30°+30°=60°,

在Rt△PCE中,PE=CP×sin60°=4× =2 ,

即PD=2 ,

∵在Rt△AOP中,∠ODP=90°,∠DOP=30°,PD=2 ,

∴OP=2PD=4 ,

∵M为OP中点,

∴DM= OP=2 ,

故答案为:2 .

点评: 本题考查了角平分线性质,平行线的性质,三角形外角性质,直角三角形斜边上中线性质,含30度角的直角三角形性质,解直角三角形的应用,题目比较典型,综合性比较强.

18.如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是BC边上一点,连接AE,把∠B沿AE折叠,使点B落在点B′处,当△CEB′为直角三角形时,BE的长为 3或6 .

考点: 翻折变换(折叠问题).

分析: 当△CEB′为直角三角形时,有两种情况:

①当点B′落在矩形内部时,如答图1所示.

连结AC,先利用勾股定理计算出AC=10,根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°,而当△CEB′为直角三角形时,只能得到∠EB′C=90°,所以点A、B′、C共线,即∠B沿AE折叠,使点B落在对角线AC上的点B′处,则EB=EB′,AB=AB′=6,可计算出CB′=4,设BE=x,则EB′=x,CE=8﹣x,然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x.

②当点B′落在AD边上时,如答图2所示.此时四边形ABEB′为正方形.

解答: 解:当△CEB′为直角三角形时,有两种情况:

①当点B′落在矩形内部时,如答图1所示.

连结AC,

在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,

∴AC= =10,

∵∠B沿AE折叠,使点B落在点B′处,

∴∠AB′E=∠B=90°,

当△CEB′为直角三角形时,只能得到∠EB′C=90°,

∴点A、B′、C共线,即∠B沿AE折叠,使点B落在对角线AC上的点B′处,如图,

∴EB=EB′,AB=AB′=6,

∴CB′=10﹣6=4,

设BE=x,则EB′=x,CE=8﹣x,

在Rt△CEB′中,

∵EB′2+CB′2=CE2,

∴x2+42=(8﹣x)2,

解得x=3,

∴BE=3;

②当点B′落在AD边上时,如答图2所示.

此时ABEB′为正方形,

∴BE=AB=6.

综上所述,BE的长为3或6.

故答案为:3或6.

点评: 本题考查了折叠问题:折叠前后两图形全等,即对应线段相等;对应角相等.也考查了矩形的性质以及勾股定理.注意本题有两种情况,需要分类讨论,避免漏解.

三、简答题:(每题6分,共36分)

19.化简: .

考点: 二次根式的加减法.

分析: 先把各根式化为最简二次根式,再合并同类项即可.

解答: 解:原式= ?2 +8a? ﹣a2?

=a +2a ﹣a

=2a .

点评: 本题考查的是二次根式的加减法,熟知二次根式相加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式进行合并,合并方法为系数相加减,根式不变是解答此题的关键.

20.已知:关于x的一元二次方程(m﹣1)x2﹣2mx+m+3=0.当m为何值时,方程有两个实数根?

考点: 根的判别式;一元二次方程的定义.

分析: (m﹣1)x2﹣2mx+m+3=0,方程有两个实数根,从而得出△≥0,即可解出m的范围.

解答: 解:∵方程有两个实数根,∴△≥0;

(﹣2m)2﹣4(m﹣1)(m+3)≥0;

∴ ;

又∵方程是一元二次方程,∴m﹣1≠0;

解得m≠1;

∴当 且m≠1时方程有两个实数根.

点评: 本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义,总结:一元二次方程根的情况与判别式△的关系:

(1)△>0?方程有两个不相等的实数根;

(2)△=0?方程有两个相等的实数根;

(3)△<0?方程没有实数根.

21.如图,已知点P(x,y)是反比例函数图象上一点,O是坐标原点,PA⊥x轴,S△PAO

=4,且图象经过(1,3m﹣1);求:

(1)反比例函数解析式.

(2)m的值.

考点: 待定系数法求反比例函数解析式;反比例函数系数k的几何意义.

分析: (1)此题可从反比例函数系数k的几何意义入手,△PAO的面积为点P向两条坐标轴作垂线,与坐标轴围成的矩形面积的一半即S= |k|,再结合反比例函数所在的象限确定出k的值,则反比例函数的解析式即可求出;

(2)将(1,3m﹣1)代入解析式即可得出m的值.

解答: 解:(1)设反比例函数解析式为 ,

∵过点P(x,y),

∴ xy=4,

∴xy=8,

∴k=xy=8,

∴反比例函数解析式是: ;

(2)∵图象经过(1,3m﹣1),

∴1×(3m﹣1)=8,

∴m=3.

点评: 本题主要考查了反比例函数 中k的几何意义,即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线,所得三角形面积为 |k|,是经常考查的一个知识点;这里体现了数形结合的思想,做此类题一定要正确理解k的几何意义.

22.假定甲乙两人在一次赛跑中,路程S(米)与时间t(秒)的关系式如图所示,那么可以知道:

(1)这是一次 100 米赛跑.

(2)甲乙两人中,先到达终点的是 甲 .

(3)乙在这次赛跑中的速度为 8米/秒 .

考点: 函数的图象.

分析: (1)根据函数图象的纵坐标,可得答案;

(2)根据函数图象的横坐标,可得答案;

(3)根据乙的路程除以乙的时间,可得答案.

解答: 解:(1)由纵坐标看出,这是一次 100米赛跑;

(2)由横坐标看出,先到达终点的是甲;

(3)由纵坐标看出,乙行驶的路程是100米,由横坐标看出乙用了12.5秒,

乙在这次赛跑中的速度为100÷12.5=8米/秒,

故答案为:100,甲,8米/秒.

点评: 本题考查了函数图象,观察函数图象的纵坐标得出路程,横坐标得出时间是解题关键.

23.已知:如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,CE是中线,F是CE的中点,CD= AB,求证:DF⊥CE.

考点: 直角三角形斜边上的中线;等腰三角形的判定与性质.

专题: 证明题.

分析: 连接DE,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE= AB,再求出DE=CD,然后根据等腰三角形三线合一的性质证明即可.

解答: 证明:连接DE,

∵AD是BC边上的高,在Rt△ADB中,CE是中线,

∴DE= AB,

∵CD= AB,

∴DC=DE,

∵F是CE中点,

∴DF⊥CE.

点评: 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,等腰三角形三线合一的性质,熟记性质并作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键.

24.已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,以AC为边作等边△ACD,并作斜边AB的垂直平分线EH,且EB=AB,联结DE交AB于点F,求证:EF=DF.

考点: 全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质;含30度角的直角三角形.

专题: 证明题.

分析: 根据直角三角形性质和线段垂直平分线求出BC= AB,BH= AB,推出BC=BH,推出Rt△ACB≌Rt△EHB,根据全等得出EH=AC,求出EH=AD,∠CAD=60°,∠BAD=90°,根据AAS推出△EHF≌△DAF,根据全等三角形的性质得出即可.

解答: 证明:∵在Rt△ABC中,∠BAC=30°,

∴BC= AB,

∵EH垂直平分AB,

∴BH= AB,

∴BC=BH,

在Rt△ACB和Rt△EHB中,

∴Rt△ACB≌Rt△EHB(HL),

∴EH=AC,

∵等边△ACD中,AC=AD,

∴EH=AD,∠CAD=60°,∠BAD=60°+30°=90°,

在△EHF和△DAF中,

∴△EHF≌△DAF (AAS)

∴EF=DF.

点评: 本题考查了线段垂直平分线性质,等边三角形的性质,含30度角的直角三角形的性质,全等三角形的性质和判定的应用,能综合运用性质进行推理是解此题的关键,难度适中.

四、解答题:(每题8分,共16分)

25.如图,直线y= x与双曲线y= (k>0)交于A点,且点A的横坐标为4,双曲线y= (k>0)上有一动点C(m,n),(0<m<4),过点A作x轴垂线,垂足为B,过点C作x轴垂线,垂足为D,连接OC.

(1)求k的值.

(2)设△COD与△AOB的重合部分的面积为S,求S关于m的函数解析式.

(3)连接AC,当第(2)问中S的值为1时,求△OAC的面积.

考点: 反比例函数与一次函数的交点问题.

分析: (1)由题意列出关于k的方程,求出k的值,即可解决问题.

(2)借助函数解析式,运用字母m表示DE、OD的长度,即可解决问题.

(3)首先求出m的值,求出△COD,△AOB的面积;求出梯形ABDC的面积,即可解决问题.

解答: 解:(1)设A点的坐标为(4,λ);

由题意得: ,解得:k=8,

即k的值=8.

(2)如图,设E点的坐标为E(m,n).

则n= m,即DE= m;而OD=m,

∴S= OD?DE= m× m= ,

即S关于m的函数解析式是S= .

(3)当S=1时, =1,解得m=2或﹣2(舍去),

∵点C在函数y= 的图象上,

∴CD= =4;由(1)知:

OB=4,AB=2;BD=4﹣2=2;

∴ =6,

=4;

∴S△AOC=S梯形ABDC+S△COD﹣S△AOB

=6+4﹣4=6.

点评: 该题主要考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题;解题的关键是数形结合,灵活运用方程、函数等知识来分析、判断、求解或证明.

26.如图,正方形ABCD的边长为4厘米,(对角线BD平分∠ABC)动点P从点A出发沿AB边由A向B以1厘米/秒的速度匀速移动(点P不与点A、B重合),动点Q从点B出发沿折线BC﹣CD以2厘米/秒的速度匀速移动.点P、Q同时出发,当点P停止运动,点Q也随之停止.联结AQ,交BD于点E.设点P运动时间为t秒.

(1)用t表示线段PB的长;

(2)当点Q在线段BC上运动时,t为何值时,∠BEP和∠BEQ相等;

(3)当t为何值时,P、Q之间的距离为2 cm.

考点: 四边形综合题.

分析: (1)由正方形的性质和已知条件即可得出结果;

(2)由正方形的性质得出∠PBE=∠QBE,由AAS证明△BEP≌△BEQ,得出对应边相等BP=BQ,得出方程,解方程即可;

(3)分两种情况讨论:①当0<t≤2时;②当2<t<4时;由勾股定理得出方程,解方程即可.

解答: 解:(1)PB=AB﹣AP,

∵AB=4,AP=1×t=t,

∴PB=4﹣t;

(2)t= 时,∠BEP和∠BEQ相等;理由如下:

∵四边形ABCD正方形,

∴对角线BD平分∠ABC,

∴∠PBE=∠QBE,

当∠BEP=∠BEQ时,

在△BEP与△BEQ中, ,

∴△BEP≌△BEQ(AAS),

∴BP=BQ,

即:4﹣t=2t,

解得:t= ;

(3)分两种情况讨论:

①当0<t≤2时;(即当P点在AB上,Q点在BC上运动时),

连接PQ,如图1所示:

根据勾股定理得: ,

即(4﹣t)2+(2t)2=(2 )2,

解得:t=2或t=﹣ (负值舍去);

②当2<t<4时,(即当P点在AB上,Q点在CD上运动时),

作PM⊥CD于M,

如图2所示:

则PM=BC=4,CM=BP=4﹣t,

∴MQ=2t﹣4﹣(4﹣t)=3t﹣8,

根据勾股定理得:MQ2+PM2=PQ2,

即 ,

解得t= 或t=2(舍去);

综上述:当t=2或 时;PQ之间的距离为2 cm.

点评: 本题是四边形综合题目,考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解方程等知识;本题难度较大,综合性强,特别是(3)中,需要进行分类讨论,根据勾股定理得出方程,解方程才能得出结果.

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