昆山市2015初二年级数学上册期中检测试卷(含答案解析)

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．下列美丽的图案中是轴对称图形的个数有（）

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

2．某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）

A． 9cm B． 12cm C． 15cm D． 12cm或15cm

3．下列说法正确的是（）

A． （﹣3）2没有平方根

B． =±4

C． 1的平方根是1

D． 立方根等于本身的数是0、和±1

4．△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC是等边三角形；②属于轴对称图形，且有一个角为60°的三角形是等边三角形；③有三条对称轴的三角形是等边三角形；④有两个角是60°的三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（）

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

5．下面能判断两个三角形全等的条件是（）

A． 两边和它们的夹角对应相等

B． 三个角对应相等

C． 有两边及其中一边所对的角对应相等

D． 两个三角形周长相等

6．下列实数0，3.14， ，π， ，0.121121112…， 中，有理数有（）个．

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

7．在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（）

A． a=15 ，b=8，c=17 B． a=9，b=12，c=15

C． a=7，b=24，c=25 D． a=3，b=5，c=7

8．如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）

A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个

9．如图，将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，C′D交AB于E，若∠BDC′=22.5°则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角（图中虚线也可视为角的边）有（）

A． 7个 B． 6个 C． 5个 D． 4个

10．如图，D是△ABC中BC边上一点，AB=AC=BD，则∠1、∠2的关系是（）

A． ∠2=3∠1﹣180° B． ∠2=60°﹣ C． ∠1=2∠2 D． ∠1=90°﹣∠2

二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）

11．﹣8的立方根是．

12．若直角三角形的两边长为6和8，则第三边长为．

13．如图，在等腰△ABC中，AB=BC，∠A=36°，BD平分∠ABC，问该图中等腰三角形有个．

14．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A2的边长为6cm，正方形B的边长为5cm，正方形C的边长为5cm，则正方形D的面积是cm2．

15．如图，已知等边三角形ABC中，BD=CE，AD与BE交于点P，则∠APE=°．

16．如图，已知∠1=∠2=90°，AD=AE，那么图中有对全等三角形．

17．若直角三角形斜边上的高和中线长分别是5cm，6cm，则这个直角三角形的面积是．

18．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）EF垂直平分AD；（4）AD垂直平分EF．其中正确的为．（填序号）

19．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2+∠3=度．

20．如图，左图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若两直角边AC=6，BC=4，现将四个直角三角形中边长为4的直角边分别向外延长一倍，延长后得到右图所示的“数学风车”，则该“数学风”所围成的总面积是．

三、解答题（共8小题，满分50分）

21．（1）计算： ﹣ +20130；

（2）求x的值：（x+1）2=36．

22．作图题：

（1）近年来，国家实施“村村通”工程和农村医疗卫生改革，我县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村座落在两 相交公路内（如图所示）．医疗站必须满足下列条件：①使其到两公路距离相等，②到张、李两村的距离也相等，请你通过作图确定P点的位置（保留作图痕迹）．

（2）如图，先将△ABC向下平移4个单位得到△A1B1C1，再以直线l为对称轴将△A1B1C1作轴反射得到△A2B2C2，请在所给的方格纸中依次作出△A1B1C1和△A2B2C2．

23．如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．

24．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E为AC上的一动点（不与A重合），在E移动过程中BE和DE是否相等？若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由．

25．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，FE垂直平分AD，交AD于E，交BC的延长线于F，求证：（1）∠DAF=∠ADF；（2）∠B=∠CAF．

26．如图，折叠矩形纸片ABCD，得折痕BD，再折叠AD使点A与点F重合，折痕为DG，若AB=4，BC=3，求AG的长．

27．如图，已知OB、OC为△ABC的角平分线，EF∥BC交AB、AC于E、F，△AEF的周长为15，BC长为7，求△ABC的周长．

28．（1）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC的延长线上且CE=CA，试求∠DAE的度数；

（2）如果把第（1）题中“AB=AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？说明理由；

（3）如果把第（1）题中“∠BAC=90°”的条件改为“∠BAC＞90°”，其余条件不变，那么∠DAE与∠BAC有怎样的大小关系？

昆山市2015初二年级数学上册期中检测试卷(含答案解析)参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．下列美丽的图案中是轴对称图形的个数有（）

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

考点： 轴对称图形．

分析： 根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．

解答： 解：第一个图形是轴对称图形，

第二个图形不是轴对称图形，

第三个图形是轴对称图形，

第四个图形是轴对称图形，

综上所述，是轴对称图形的有3个．

故选C．

点评： 本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2．某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）

A． 9cm B． 12cm C． 15cm D． 12cm或15cm

考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．

分析： 题中没有指明哪个是底哪个是腰，则应该分两种情况进行分析，从而得到答案．

解答： 解：（1）当3cm为腰时，因为3+3=6cm，不能构成三角形，故舍去；

（2）当6cm为腰时，符合三角形三边关系，所以其周长=6+6+3=15cm．

故选C．

点评： 本题考查了三角形三边关系与周长的求解．

3．下列说法正确的是（）

A． （﹣3）2没有平方根

B． =±4

C． 1的平方根是1

D． 立方根等于本身的数是0、和±1

考点： 平方根；算术平方根；立方根．

分析： 根据平方根和立方根的定义，结合选项选出正确答案．

解答： 解：A、（﹣3）2=9，9的平方根为±3，原说法错误，故本选项错误；

B、 =4，原式计算错误，故本选项错误；

C、1的平方根是±1，原说法错误，故本选项错误；

D、立方根等于本身的数是0和±1，该说法正确，故本选项正确；

故选D．

点评： 本题考查了平方根和立方根的知识，解答本题的关键是掌握平方根和立方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．

4．△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC是等边三角形；②属于轴对称图形，且有一个角为60°的三角形是等边三角形；③有三条对称轴的三角形是等边三角形；④有两个角是60°的三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（）

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

考点： 等边三角形的判定．

分析： 根据等边三角形的判定、轴对称图形的性质分别对每一项进行判断即可．

解答： 解：①三边相等的三角形是等边三角形，正确；

②属于轴对称图形，且有一个角为60°的三角形是等边三角形，正确；

③有三条对称轴的三角形是等边三角形，正确；

④有两个角是60°的三角形是等边三角形，正确；

则正确的有4个．

故选D．

点评： 此题考查了等边三角形的判定，用到的知识点是等边三角形的判定、轴对称图形，关键是灵活应用判定方法，对每一项做出判断．

5．下面能判断两个三角形全等的条件是（）

A． 两边和它们的夹角对应相等

B． 三个角对应相等

C． 有两边及其中一边所对的角对应相等

D． 两个三角形周长相等

考点： 全等三角形的判定．

分析： 根据三角形全等的判定定理SSS、SAS、ASA、AAS、HL分别进行分析可得答案．

解答： 解：A、根据SAS定理可判定两个三角形全等，故此选项正确 ；

B、不能证明两个三角形全等，故此选项错误；

C、不能证明两个三角形全等，故此选项错误；

D、不能证明两个三角形全等，故此选项错误；

故选：A．

点评： 此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS 、HL．

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

6．下列实数0，3.14， ，π， ，0.121121112…， 中，有理数有（）个．

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

考点： 实数．

分析： 根据实数的分类进行选择即可．

解答： 解：有理数有：0，3.14， ， ，共有4个，

故选D．

点评： 本题主要考查了有理数的定义，其中实数是有理数和无理数统称为实数，分数是有理数．

7．在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（）

A． a=15，b=8，c =17 B． a=9，b=12，c=15

C． a=7，b=24，c=25 D． a=3，b=5，c=7

考点： 勾股数．

分析： 理解勾股数的定义，即在一组（三个数）中，两个数的平方和等于第三个数的平方．

解答： 解：由题意可知，在A组中，152+82=172=289，

在B组中，92+122=152=225，

在C组中，72+242=252=625，

而在D组中，32+52≠72，

故选D．

点评： 理解勾股数的定义，并能够熟练运用．

8．如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）

A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个

考点： 全等三角形的判定．

分析： ∠1=∠2，∠BAC=∠EAD，AC=AD，根据三角形全等的判定方法，可加一角或已知角的另一边．

解答： 解：已知∠1=∠2，AC=AD，由∠1=∠2可知∠BAC=∠EAD，

加①AB=AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；

加③∠C=∠D， 就可以用ASA判定△ABC≌△AED；

加④∠B=∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；

加②BC=ED只是具备SSA，不能判定三角形全等．

其中能使△ABC≌△AED的条件有：①③④

故选：B．

点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．做题时要根据已知条件在图形上的位置，结合判定方法，进行添加．

9．如图，将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，C′D交AB于E，若∠BDC′=22.5°则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角（图中虚线也可视为角的边）有（）

A． 7个 B． 6个 C． 5个 D． 4个

考点： 翻折变换（折叠问题）．

分析： 首先求出∠CDC′=45°，然后借助矩形的性质及三角形的内角和定理求出图中所有45°的角，问题即可解决．

解答： 解：由题意得：

△BDC≌△BDC′，

∴∠C′=∠C；∠BDC=∠BDC′=22.5°，

∴∠CDC′=45°；

∵四边形ABCD为矩形，

∴∠ADC=∠A=∠C=90°，

∴∠C′=90°；

∴∠ADE=90°﹣45°=45°，

∴∠C′EB=∠AED=90°﹣45°=45°；

∴∠C′BE=90°﹣45°=45°；

综上所述，图中45°的角共有5个，

故选C．

点评： 该命题主要考查了翻折变换及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的特点、全等三角形的判定及其性质等几何知识，来分析、判断；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．

10．如图，D是△ABC中BC边上一点，AB=AC=BD，则∠1、∠2的关系是（）

A． ∠2=3∠1﹣180° B． ∠2=60°﹣ C． ∠1=2∠2 D． ∠1=90°﹣∠2

考点： 等腰三角形的性质．菁优 网版权所有

分析： 根据等腰三角形的性质和外角定理可得∠B=∠1﹣∠2，然后利用三角形内角和定理即可求出∠1和∠2的关系．

解答： 解：∵AB=AC，

∴ ∠B=∠C，

∵AB=BD，

∴∠BAD=∠1，

∵∠1=∠2+∠C=∠2+∠B，

∴∠B=∠1﹣∠2，

△ABD中，∵∠B+∠1+∠BAD=∠B+2∠1=180°，

∴∠1﹣∠2+2∠1=180°，

3∠1﹣∠2=180°．

故选A．

点评： 此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，此题关键是根据外角性质得∠1=∠2+∠C=∠2+∠B，这是此题的突破点．

二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）

11．﹣8的立方根是　﹣2　．

考点： 立方根．

分析： 利用立方根的定义即可求解．

解答： 解：∵（﹣2）3=﹣8，

∴﹣8的立方根是﹣2．

故答案为：﹣2．

点评： 本题主要考查了平方根和立方根的概念．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数．

12．若直角三角形的两边长为6和8，则第三边长为　10或2 　．

考点： 勾股定理的应用．

专题： 分类讨论．

分析： 分情况考虑：当较大的数8是直角边时，根据勾股定理求得第三边长是10；当较大的数8是斜边时，根据勾股定理求得第三边的长是 =2 ．

解答： 解：①当6和8为直角边时，

第三边长为 =10；

②当8为斜边，6为直角边时，

第三边长为 =2 ．

故答案为：10或2 ．

点评： 一定要注意此题分情况讨论，很容易漏掉一些情况没考虑．

13．如图，在等腰△ABC中，AB=BC，∠A=36°，BD平分∠ABC，问该图中等腰三角形有　3　个．

考点： 等腰三角形的判定；三角形内角和定理；角平分线的性质．

分析： 由AB=AC，可得△ABC是等腰三角形，求得各角的度数，再利用角相等，可确定△BCD与△ABD也是等腰三角形

解答： 解：由图可知，∵AB=BC，∴△ABC为等腰三角形，

∵∠A=36°，BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC=∠A=36°

∴△ABD为等腰三角形，

∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C

∴△BCD均为等腰三角形，

∴题中三角形共有三个．

故填3．

点评： 本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．

14．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A2的边长为6cm，正方形B的边长为5cm，正方形C的边长为5cm，则正方形D的面积是　14　cm2．

考点： 勾股定理．

分析： 根据勾股定理的几何意义可直接解答．

解答： 解：根据正方形的面积公式结合勾股定理，

得正方形A2，B，C，D的面积和等于最大的正方形的面积，

所以正方形D的面积=100﹣36﹣25﹣25=14cm2．

点评：此题注意根据正方形的面积公式以及勾股定理得到图中正方形的面积之间的关系：以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的面积．

15．如图，已知等边三角形ABC中，BD=CE，AD与BE交于点P，则∠APE=　60　°．

考点： 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．

分析： 根据等边三角形的性质可得AB=BC，∠ABC= ∠C=60°，然后利用“边角边”证明△ABD和△BCE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CBE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠APE=∠ABC，从而得解．

解答： 解：在等边△ABC中，AB=BC，∠ABC=∠C=60°，

在△ABD和△BCE中，

∵ ，

∴△ABD≌△BCE（SAS），

∴∠BAD=∠CBE，

在△ABP中，∠APE=∠BAD+∠ABP=∠CBE+∠ABP=∠ABC=60°，

即∠APE=60°．

故答案为：60．

点评： 本题考查 了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，证明△ABD和△BCE全等是解本题的难点，也是关键．

16．如图，已知∠1=∠2=90°，AD=AE，那么图中有　3　对全等三角形．

考点： 全等三角形的判定．

专题： 压轴题．

分析： 根据题意，结合图形，可得知△AEB≌△ADC，△BED≌△CDE，△BOD≌△COE．做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找．

解答： 解：①△AEB≌△ADC；

∵AE=AD，∠1=∠2=90°，∠A=∠A，

∴△AEC≌△ADC；

∴AB=AC，

∴BD=CE；

②△BED≌△CDE；

∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，

∵∠ADC=∠AEB，∴∠CDE=∠BED，

∴△BED≌△CDE．

③∵BD=CE，∠DBO=∠ECO，∠BOD=∠COE，

∴△BOD≌△COE．

故答案为3．

点评： 本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目

17．若直角三角形斜边上的高和中线长分别是5cm，6cm，则这个直角三角形的面积是　30cm2　．

考点： 直角三角形斜边上的中线．

专题： 常规题型．

分析： 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边的长，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．

解答： 解：∵直角三角形斜边上的中线长是6cm，

∴斜边长为12cm，

∵直角三角形斜边上的高是5cm，

∴这个直角三角形的面积= ×12×5=30cm2．

故答案为：30cm2．

点评： 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟记性质并求出斜边的长是解题的关键．

18．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）EF垂直平分AD；（4）AD垂直平分EF．其中正确的为　（1）（2）（4）　．（填序号）

考点： 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．

分析： 由在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质，可得DE=DF，即可证得∠DEF=∠DFE；又由等角的余角相等，可得∠ADE=∠ADF，然后由角平分线的性质，证得AE=AF，又由等腰三角形的三线合一的性质，证得AD垂直平分EF．

解答： 解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF，

∴∠DEF=∠DFE；正确；

（2）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠ADE=∠ADF，

∴AE=AF，正确；

（3）∵AE=AF，AD平分∠BAC，

∴AD垂直平分EF．

故（3）错误，（4）正确；

故答案为：（1）（2）（4）．

点评： 此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．

19．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2+∠3=　135　度．

考点： 全等三角形的判 定与性质．

专题： 网格型．

分析： 根据对称性可得∠1+∠3=90°，∠2=45°．

解答： 解：观察图形可知，∠1所在的三角形与角3所在的三角形全等，

∴∠1+∠3=90°，

又∠2=45°，

∴∠1+∠2+∠3=135°．

点评： 主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定．充分利用正方形的特殊性质来找到全等的条件从而判定全等后利用全等三角形的性质解题．

20．如图，左图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若两直角边AC=6，BC=4，现将四个直角三角形中边长为4的直角边分别向外延长一倍，延长后得到右图所示的“数学风车”，则该“数学风”所围成的总面积是　100　．

考点： 勾股定理的证明．

分析： 先根据勾股定理得到AB的长，根据正方形的面积公式和三角形的面积公式可得中间小正方形的面积，再根据等高的三角形面积比等于底边的比，列式计算即可求解．

解答： 解：在直角三角形ACB中，

AB= =2 ，

中间小正方形的面积：

2 ×2 ﹣6×4÷2×4

=52﹣48

=4，

4+6×4÷2×4×2

=4+96

=100．

故答案为：100．

点评： 本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．

三、解答题（共8小题，满分50分）

21．（1）计算： ﹣ +20130；

（2）求x的值：（x+1）2=36．

考点： 实数的运算；平方根；零指数幂．

专题： 计算题．

分析： （1）原式利用立方根，绝对值，以及零指数幂法则计算即可得到结果；

（2）方程利用平方根的定义开方即可求出解．

解答： 解：（1）原式=﹣3+1﹣ +1=﹣1﹣ ；

（2）开方得：x+1=±6，

解得：x=5或﹣7．

点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

22．作图题：

（1）近年来，国家实施“村村通”工程和农村医疗卫生改革，我县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村座落在两相交公路内（如图所示）．医疗站必须满足下列条件：①使其到两公路距离相等，②到张、 李两村的距离也相等，请你通过作图确定P点的位置（保留作图痕迹）．

（2）如图，先将△ABC向下平移4个单位得到△A1B1C1，再以直线l为对称轴将△A1B1C1作轴反射得到△A2B2C2，请在所给的方格纸中依次作出△A1B1C1和△A2B2C2．

考点： 作图—应用与设计作图；作图-轴对称变换．

分析： （1）作出两条公路夹角的平分线和张、李两村之间线段的垂直平分线，交点即是所求．

（2）将A、B、C按平移条件找出它的对应点A1、B1、C1顺次连接A1B1、B1C1、C1A1，即得到平移后的图形；无论是何种变换都需先找出各关键点的对应点，然后顺次连接即可．利用轴对称性质，作出A1、B1、C1与y轴的对称点A2、B2、C2，顺次连接A2B2、B2C2、C2A2，即得到关于y轴对称的△A1B1C1．

解答： 解：（1）如图所示：

，

点P即为所求；

（2）如图所示：

．

点评： 此题主要考查了作图与应用设计，以及轴对称的变换，关键是作各个关键点的对应点，要注意轴对称图形的画法，按照一定顺序连接相关点．

23．如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．

考点： 全等三角形的判定与性质．

专题： 证明题．

分析： 可通过证△ABF≌△DCE，来得出∠A=∠D的结论．

解答： 证明：∵BE=FC，

∴BE+EF=CF+EF，

即BF=CE；

又∵AB=DC，∠B=∠C，

∴△ABF≌△DCE；（SAS）

∴∠A=∠D．

点评： 此题考查简单的角相等，可以通过全等三角形来证明，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

24．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E为AC上的一动点（不与A重合），在E移动过程中BE和DE是否相等？若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由．

考点： 全等三角形的判定与性质．

专题： 动点型．

分析： 要证BE=DE，先证△ADC≌△ABC，再证△ADE≌△ABE即可．

解答： 解：相等．

证明如下：

在△ABC和△ADC中，

AB=AD，AC=AC（公共边）BC=DC，

∴△ABC≌△ADC（SSS），

∴∠DAE=∠BAE，

在△ADE和△ABE中，

AB=AD，∠DAE=∠BAE，AE=AE，

∴△ADE≌△ABE（SAS），

∴BE=DE．

点评： 本题重点考查了三角形全等的判定定理，利用全等得出结论证明三角形全等是常用的方法．

25．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，FE垂直平分AD，交AD于E，交BC的延长线于F，求证：（1）∠DAF=∠ADF；（2）∠B=∠CAF．

考点： 线段垂直平分线的性质．

专题： 证明题．

分析： （1）根据线段垂直平分线性质得出AF=DF即可；

（2）根据三角形外角性质和图形得出∠DAF=∠CAF+∠CAD，∠ADF=∠B+∠BAD，即可得出答案．

解答： 证明：（1）∵EF是线段AD的垂直平分线，

∴AF=DF，

∴∠DAF=∠ADF；

（2）∵AD为∠BAC的平分线，

∴∠BAD=∠CAD，

∵∠DAF=∠CAF+∠CAD，∠ADF=∠B+∠BAD，

∵∠DAF=∠ADF，

∴∠B=∠CAF．

点评： 本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质的应用，主要考查学生的推理能力．

26．如图，折叠矩形纸片ABCD，得折痕BD，再折叠AD使点A与点F重合，折痕为DG，若AB=4，BC=3，求AG的长．

考点： 翻折变换（折叠问题）．

分析： 首先根据勾股定理求出BD的长度；由题意得△DAG≌△DFG，故DF=DA，进而求出BF的长度；根据勾股定理列出关于AG的方程，即可解决问题．

解答： 解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC=3；∠A=90°；

由勾股定理得：

；

由题意得：△DAG≌△DFG，

∴∠DFG=∠A=90°，DF=AD=3，GF=AG（设为x），

∴BF=5﹣3=2，BG=4﹣x．

由勾股定理得：

（4﹣x）2=x2+22，

解得：x= ，

即AG的长为 ．

点评： 该命题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的特点，找出图中隐含的等量关系；灵活运用勾股定理等几何知识来解决问题．

27．如图，已知OB、OC为△ABC的角平分线，EF∥BC交AB、AC于E、F，△AEF的周长为15，BC长为7，求△ABC的周长．

考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．

分析： 根据角平分线的定义可得∠ABO=∠CBO，根据两直线平行，内错角相等可得∠CBO=∠EBO，从而得到∠ABO=∠EOB，根据等角对等边可得BE=OE，同理可证CF=OF，然后求出△AEF的周长=AB+AC，最后根据三角形的周长的定义解答．

解答： 解：∵OB平分∠ABC，

∴∠ABO=∠CBO，

∵EF∥BC，

∴∠CBO=∠EBO，

∴∠ABO=∠EOB，

∴BE=OE，

同理可得，CF=OF，

∵△AEF的周长为15，

∴AE+OE+OF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC=15，

∵BC=7，

∴△ABC的周长=15+7=22．

点评： 本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并求出△AEF的周长=AB+AC是解题的关键，也是本题的难点．

28．（1）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC的延长线上且CE=CA，试求∠DAE的度数；

（2）如果把第（1）题中“AB=AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？说明理由；

（3）如果把第（1）题中“∠BAC=90°”的条件改为“∠BAC＞90°”，其余条件不变，那么∠DAE与∠BAC有怎样的大小关系？

考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理．

分析： （1）要求∠DAE，必先求∠BAD和∠CAE，由∠BAC=90°，AB=AC，可求∠B=∠ACB=45°，又因为BD=BA，可求∠BAD=∠BDA=67.5°，再由CE=CA，可求∠CAE=∠E=22.5°，所以∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=112.5°﹣67.5°=45度；

（2）先设∠CAE=x，由已知CA=CE可求∠ACB=∠CAE+∠E=2x，∠B=90°﹣2x，又因为BD=BA，所以∠BAD=∠BDA=x+45°，再根据三角形的内角和是180°，可求∠BAE=90°+x，即∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=（90°+x）﹣（x+45°）=45度；

（3）可设∠CAE=x，∠BAD=y，则∠B=180°﹣2y，∠E=∠CAE=x，所以∠BAE=180°﹣∠B﹣∠E=2y﹣x，∠BAC=∠BAE﹣∠CAE=2y﹣x﹣x=2y﹣2x，即∠DAE= ∠BAC．

解答： 解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠B=∠ACB=45°，

∵BD=BA，

∴∠BAD=∠BDA= （180°﹣∠B）=67.5°，

∵CE=CA，

∴∠CAE=∠E= ∠ACB=22.5°，

在△ABE中，∠BAE=180°﹣∠B﹣∠E=112.5°，

∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=112.5°﹣67.5°=45度；

（2）不改变．

设∠CAE=x ，

∵CA=CE，

∴∠E=∠CAE=x，

∴∠ACB=∠CAE+∠E=2x，

在△ABC中，∠BAC=90°，

∴∠B=90°﹣∠ACB=90°﹣2x，

∵BD=BA，

∴∠BAD=∠BDA= （180°﹣∠B）=x+45°，

在△ABE中，∠BAE=180°﹣∠B﹣∠E，

=180°﹣（90°﹣2x）﹣x=90°+x，

∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD，

=（90°+x）﹣（x+45°）=45°；

（3）∠DAE= ∠BAC．

理由：设∠CAE=x，∠BAD=y，

则∠B=180°﹣2y，∠E=∠CAE=x，

∴∠BAE=180°﹣∠B﹣∠E=2y﹣x，

∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=2y﹣x﹣y=y﹣x，

∠BAC=∠BAE﹣∠CAE=2y﹣x﹣x=2y﹣2x，

∴∠DAE= ∠BAC．

点评： 本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质；求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．本题由易到难，由特例到一般，是一道提高学生能力的训练题．