广西贵港市2015初二年级数学下册期中试卷(含答案解析)

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个正确的，请将正确答案的字母填入题后的括号内，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分。）

1．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A． x≥ B． x＞ C． x≥ D． x＞

2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A． B． C． D．

3．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）

A． 1，1， B． 2，3，4 C． 4，5，6 D． 6，8，11

4．在下列命题中，正确的是（）

A． 一组对边平行的四边形是平行四边形

B． 有一组邻边相等的平行四边形是菱形

C． 有一个角是直角的四边形是矩形

D． 对角线互相垂直平分的四边形是正方形

5．如图，小亮在操场上玩，一段时间内沿M﹣A﹣B﹣M的路径匀速散步，能近似刻画小亮到出发点M的距离y与时间x之间关系的函数图象是（）

A． B． C． D．

6．一次函数y=﹣2x+5的图象性质错误的是（）

A． y随x的增大而减小 B． 直线经过第一、二、四象限

C． 直线从左到右是下降的 D． 直线与x轴交点坐标是（0，5）

7．下列计算，正确的是（）

A． B． C． D．

8．如果正比例函数y=（k﹣5）x的图象在第二、四象限内，则k的取值范围是（）

A． k＜0 B． k＞0 C． k＞5 D． k＜5

9．如果一组数据3，7，2，a，4，6的平均数是5，则a的值是（）

A． 8 B． 5 C． 4 D． 3

10．如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是（）

A． 5：8 B． 3：4 C． 9：16 D． 1：2

11．如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则BE的长为（）

A． 2cm B． 3cm C． 4cm D． 5cm

12．如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAA1B的两个顶点，以OA1对角线为边作正方形OA1A2B1，再以正方形的对角线OA2作正方形OA1A2B1，…，依此规律，则点A8的坐标是（）

A． （﹣8，0） B． （0，8） C． （0，8） D． （0，16）

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分，请把答案填写在题中的横线上)

13．=．

14．若一组数据8，9，7，8，x，3的平均数是7，则这组数据的众数是．

15．对角线长分别为6cm和8cm的菱形的边长为cm．

16．如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为CD边中点，已知BC=6cm，则OE的长为cm．

17．已知一次函数y=ax+b的图象如图，根据图中信息请写出不等式ax+b≥2的解集为．

18．如图，菱形ABCD周长为16，∠ADC=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．

三、解答题：（本大题共8小题，满分66分，解答题应写出文字说明或演算步骤）

1）计算：﹣×．

（2）已知实数a、b满足ab=1，a+b=2，求代数式a2b+ab2的值．

20．在如图所示的4×3网格中，每个小正方形的边长为1，正方形顶点叫格点，连结两个网格格点的线段叫网格线段．点A固定在格点上．

请你画一个顶点都在格点上，且边长为的菱形ABCD，直接写出你画出的菱形面积为多少？

21．如图，在?ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形．

22．某公司为了了解员工每人所创年利润情况，公司从各部抽取部分员工对每年所创年利润情况进行统计，并绘制如图1，图2统计图．

（1）将图补充完整；

（2）本次共抽取员工人，每人所创年利润的众数是，平均数是；

（3）若每人创造年利润10万元及（含10万元）以上位优秀员工，在公司1200员工中有多少可以评为优秀员工？

23．如图，直线l1、l2相交于点A，l1与x轴的交点坐标为（﹣1，0），l2与y轴的交点坐标为（0，﹣2），结合图象解答下列问题：

（1）求出直线l2表示的一次函数的表达式；

（2）当x为何值时，l1、l2表示的两个一次函数的函数值都大于0．

24．如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OB．

（1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）若AD=4，∠AOD=60°，求AB的长．

25．甲、乙两地距离300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，根据图象，解答下列问题：

（1）线段CD表示轿车在途中停留了h；

（2）求线段DE对应的函数解析式；

（3）求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车．

26．定义：如图（1），若分别以△ABC的三边AC，BC，AB为边向三角形外侧作正方形ACDE，BCFG和ABMN，则称这三个正方形为△ABC的外展三叶正方形，其中任意两个正方形为△ABC的外展双叶正方形．

（1）作△ABC的外展双叶正方形ACDE和BCFG，记△ABC，△DCF的面积分别为S1和S2；

①如图（2），当∠ACB=90°时，求证：S1=S2；

②如图（3），当∠ACB≠90°时，S1与S2是否仍然相等，请说明理由．

（2）已知△ABC中，AC=3，BC=4，作∠ACB的度数发生变化时，S的值是否发生变化？若不变，求出S的值；若变化，求出S的最大值．

广西贵港市2015初二年级数学下册期中试卷(含答案解析)参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个正确的，请将正确答案的字母填入题后的括号内，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分。）

1．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A． x≥ B． x＞ C． x≥ D． x＞

考点： 二次根式有意义的条件．

分析： 根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，即可求解．

解答： 解：根据题意得：2x﹣3≥0，解得x≥．

故选：A．

点评： 主要考查了二次根式的意义和性质．

概念：式子（a≥0）叫二次根式．

性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A． B． C． D．

考点： 最简二次根式．

分析： 判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．

解答： 解：A、被开方数含分母，不是最简二次根式，故A选项错误；

B、满足最简二次根式的定义，是最简二次根式，故B选项正确；

C、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故C选项错误；

D、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故D选项错误．

故选：B．

点评： 本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：

（1）被开方数不含分母；

（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

3．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）

A． 1，1， B． 2，3，4 C． 4，5，6 D． 6，8，11

考点： 勾股定理的逆定理．

分析： 利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．

解答： 解：A、∵12+12=（）2，∴三条线段能组成直角三角形，故A选项正确；

B、∵22+32≠42，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；

C、∵42+52≠62，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；

D、∵62+82≠112，∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误；

故选：A．

点评： 此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．

4．在下列命题中，正确的是（）

A． 一组对边平行的四边形是平行四边形

B． 有一组邻边相等的平行四边形是菱形

C． 有一个角是直角的四边形是矩形

D． 对角线互相垂直平分的四边形是正方形

考点： 命题与定理．

分析： 本题可逐个分析各项，利用排除法得出答案．

解答： 解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A选项错误；

B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B选项正确；

C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项错误；

D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故D选项错误．

故选：B．

点评： 主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

5．如图，小亮在操场上玩，一段时间内沿M﹣A﹣B﹣M的路径匀速散步，能近似刻画小亮到出发点M的距离y与时间x之间关系的函数图象是（）

A． B． C． D．

考点： 动点问题的函数图象．

专题： 压轴题；动点型；分段函数．

分析： 考查点的运动变化后根据几何图形的面积确定函数的图象，图象需分段讨论．

解答： 解：分析题意和图象可知：当点M在MA上时，y随x的增大而增大；

当点M在半圆上时，y不变，等于半径；

当点M在MB上时，y随x的增大而减小．

而D选项中：点M在半圆上运动的时间相对于点M在MB上来说比较短，所以C正确，D错误．

故选：C．

点评： 要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义选出正确的图象．

6．一次函数y=﹣2x+5的图象性质错误的是（）

A． y随x的增大而减小 B． 直线经过第一、二、四象限

C． 直线从左到右是下降的 D． 直线与x轴交点坐标是（0，5）

考点： 一次函数的性质．

分析： 由于k=﹣2＜0，则y随x的增大而减小，而b＞0，则直线经过第一、二、四象限，直线从左到右是下降的，可对A、B、C进行判断；根据直线与y轴交点坐标是（0，5）可对D进行判断．

解答： 解：A、因为k=﹣2＜0，则y随x的增大而减小，所以A选项的说法正确；

B、因为k＜0，b＞0，直线经过第一、二、四象限，所以B选项的说法正确；

C、因为y随x的增大而减小，直线从左到右是下降的，所以C选项说法正确；

D、因为x=0，y=5，直线与y轴交点坐标是（0，5），所以D选项的说法错误．

故选D．

点评： 本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．

7．下列计算，正确的是（）

A． B． C． D．

考点： 实数的运算．

分析： A、B、C、根据合并同类二次根式的法则即可判定；

D、利用根式的运算法则计算即可判定．

解答： 解：A、B、D不是同类二次根式，不能合并，故选项错误；

C、=2﹣2=0，故选项正确．

故选C．

点评： 此题主要考查二次根式的运算，应熟练掌握各种运算法则，且准确计算．

8．如果正比例函数y=（k﹣5）x的图象在第二、四象限内，则k的取值范围是（）

A． k＜0 B． k＞0 C． k＞5 D． k＜5

考点： 一次函数图象与系数的关系．

分析： 先根据正比例函数y=（k﹣5）x的图象在第二、四象限内可得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．

解答： 解：∵正比例函数y=（k﹣5）x的图象在第二、四象限内，

∴k﹣5＜0，解得k＜5．

故选D．

点评： 本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知正比例函数y=kx（k≠0）中，当k＜0时，函数的图象在二、四象限是解答此题的关键．

9．如果一组数据3，7，2，a，4，6的平均数是5，则a的值是（）

A． 8 B． 5 C． 4 D． 3

考点： 算术平均数．

分析： 根据算术平均数的计算公式得出（3+7+2+a+4+6）÷6=5，再进行求解即可．

解答： 解：∵数据3，7，2，a，4，6的平均数是5，

∴（3+7+2+a+4+6）÷6=5，

解得：a=8；

故选A．

点评： 此题考查了算术平均数，关键是根据算术平均数的计算公式和已知条件列出方程．

10．如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是（）

A． 5：8 B． 3：4 C． 9：16 D． 1：2

考点： 正方形的性质．

专题： 网格型．

分析： 观察图象利用割补法可得阴影部分的面积是10个小正方形组成的，易得阴影部分面积与正方形ABCD的面积比．或根据相似多边形面积的比等于相似比的平方来计算．

解答： 解：方法1：利用割补法可看出阴影部分的面积是10个小正方形组成的，

所以阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是10：16=5：8；

方法2：=，（）2：42=10：16=5：8．

故选A．

点评： 在有网格的图中，一般是利用割补法把不规则的图形整理成规则的图形，通过数方格的形式可得出阴影部分的面积，从而求出面积比．

11．如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则BE的长为（）

A． 2cm B． 3cm C． 4cm D． 5cm

考点： 翻折变换（折叠问题）；勾股定理．

专题： 几何图形问题．

分析： 利用勾股定理列式求出AB，再根据翻折变换的性质可得AE=AC，然后根据BE=AB﹣AE代入数据计算即可得解．

解答： 解：∵AC=6cm，BC=8cm，

∴由勾股定理得，

AB===10cm，

∵直角边AC沿直线AD折叠落在斜边AB上且与AE重合，

∴AE=AC=6cm，

∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4cm．

故选：C．

点评： 本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，熟记翻折前后的两个图形能够完全重合得到AE=AC是解题的关键．

12．如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAA1B的两个顶点，以OA1对角线为边作正方形OA1A2B1，再以正方形的对角线OA2作正方形OA1A2B1，…，依此规律，则点A8的坐标是（）

A． （﹣8，0） B． （0，8） C． （0，8） D． （0，16）

考点： 规律型：点的坐标．

分析： 根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘以，所以可求出从A到A3的后变化的坐标，再求出A1、A2、A3、A4、A5，得出A8即可．

解答： 解：根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘以，

∵从A到A3经过了3次变化，

∵45°×3=135°，1×（）3=2．

∴点A3所在的正方形的边长为2，点A3位置在第四象限．

∴点A3的坐标是（2，﹣2）；

可得出：A1点坐标为（1，1），

A2点坐标为（0，2），

A3点坐标为（2，﹣2），

A4点坐标为（0，﹣4），A5点坐标为（﹣4，﹣4），

A6（﹣8，0），A7（﹣8，8），A8（0，16），

故选：D．

点评： 本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，此题难度较大．

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分，请把答案填写在题中的横线上)

13．=　4　．

考点： 算术平方根．

分析： 根据二次根式的性质，可得答案．

解答： 解：原式==4，

故答案为：4．

点评： 本题好查了算术平方根，=a （a≥0）是解题关键．

14．若一组数据8，9，7，8，x，3的平均数是7，则这组数据的众数是　7和8　．

考点： 众数；算术平均数．

专题： 计算题．

分析： 根据平均数先求出x，再确定众数．

解答： 解：因为数据的平均数是7，

所以x=42﹣8﹣9﹣7﹣8﹣3=7．

根据众数的定义可知，

众数为7和8．

故答案为：7和8．

点评： 主要考查了众数和平均数的定义．众数是一组数据中出现次数最多的数．要注意本题有两个众数．

15．对角线长分别为6cm和8cm的菱形的边长为　5　cm．

考点： 菱形的性质；勾股定理．

专题： 计算题．

分析： 根据菱形的性质，可得到直角三角形，再利用勾股定理可求出边长．

解答： 解：∵菱形的对角线互相垂直平分

∴两条对角线的一半与菱形的边长构成直角三角形

∴菱形的边长==5cm

故答案为5．

点评： 本题主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，以及勾股定理的内容．

16．如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为CD边中点，已知BC=6cm，则OE的长为　3　cm．

考点： 三角形中位线定理；平行四边形的性质．

分析： 先说明OE是△BCD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解．

解答： 解：∵?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，

∴OB=OD，

∵点E是CD的中点，

∴CE=DE，

∴OE是△BCD的中位线，

∵BC=6cm，

∴OE=BC=×6=3cm．

故答案为：3．

点评： 本题运用了平行四边形的对角线互相平分这一性质和三角形的中位线定理．

17．已知一次函数y=ax+b的图象如图，根据图中信息请写出不等式ax+b≥2的解集为　x≥0　．

考点： 一次函数与一元一次不等式．

专题： 数形结合．

分析： 观察函数图形得到当x≥0时，一次函数y=ax+b的函数值不小于2，即ax+b≥2．

解答： 解：根据题意得当x≥0时，ax+b≥2，

即不等式ax+b≥2的解集为x≥0．

故答案为x≥0．

点评： 本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

18．如图，菱形ABCD周长为16，∠ADC=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是　2　．

考点： 轴对称-最短路线问题；菱形的性质．

分析： 连接BD，根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BAD=∠ADC=60°，然后判断出△ABD是等边三角形，连接DE，根据轴对称确定最短路线问题，DE与AC的交点即为所求的点P，PE+PB的最小值=DE，然后根据等边三角形的性质求出DE即可得解．

解答： 解：如图，连接BD，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠BAD=∠ADC=×120°=60°，

∵AB=AD（菱形的邻边相等），

∴△ABD是等边三角形，

连接DE，∵B、D关于对角线AC对称，

∴DE与AC的交点即为所求的点P，PE+PB的最小值=DE，

∵E是AB的中点，

∴DE⊥AB，

∵菱形ABCD周长为16，

∴AD=16÷4=4，

∴DE=×4=2．

故答案为：2．

点评： 本题考查了轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质与最短路线的确定方法找出点P的位置是解题的关键．

三、解答题：（本大题共8小题，满分66分，解答题应写出文字说明或演算步骤）

1）计算：﹣×．

（2）已知实数a、b满足ab=1，a+b=2，求代数式a2b+ab2的值．

考点： 二次根式的混合运算；因式分解-提公因式法．

专题： 计算题．

分析： （1）先计算二次根式的乘法运算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；

（2）先把原式进行因式分解，然后利用整体代入的方法计算．

解答： 解：（1）原式=2﹣3

=﹣；

（2）原式=ab（a+b），

当ab=1，a+b=2时，原式=1×2=2．

点评： 本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了因式分解．

20．在如图所示的4×3网格中，每个小正方形的边长为1，正方形顶点叫格点，连结两个网格格点的线段叫网格线段．点A固定在格点上．

请你画一个顶点都在格点上，且边长为的菱形ABCD，直接写出你画出的菱形面积为多少？

考点： 勾股定理；菱形的性质．

专题： 作图题．

分析： 利用菱形的性质结合网格得出答案即可．

解答： 解：如图所示（画一个即可）

菱形面积为5或菱形面积为4．

点评： 主要考查了应用设计与作图以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题关键．

21．如图，在?ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形．

考点： 平行四边形的判定与性质．

专题： 证明题．

分析： 根据“?ABCD的对边平行且相等”的性质推知AD=BC且AD∥BC；然后由图形中相关线段间的和差关系求得AF=CE，则四边形AECF的对边AFCE，故四边形AECF是平行四边形．

解答： 证明：在□ABCD中，AD=BC且AD∥BC

∵BE=FD，∴AF=CE

∴四边形AECF是平行四边形

点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．

22．某公司为了了解员工每人所创年利润情况，公司从各部抽取部分员工对每年所创年利润情况进行统计，并绘制如图1，图2统计图．

（1）将图补充完整；

（2）本次共抽取员工　50　人，每人所创年利润的众数是　8万元　，平均数是　8.12万元　；

（3）若每人创造年利润10万元及（含10万元）以上位优秀员工，在公司1200员工中有多少可以评为优秀员工？

考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．

分析： （1）求出3万元的员工的百分比，5万元的员工人数及8万元的员工人数，再据数据制图．

（2）利用3万元的员工除以它的百分比就是抽取员工总数，利用定义求出众数及平均数．

（3）优秀员工=公司员工×10万元及（含10万元）以上优秀员工的百分比．

解答： 解：（1）3万元的员工的百分比为：1﹣36%﹣20%﹣12%﹣24%=8%，

抽取员工总数为：4÷8%=50（人）

5万元的员工人数为：50×24%=12（人）

8万元的员工人数为：50×36%=18（人）

（2）抽取员工总数为：4÷8%=50（人）

每人所创年利润的众数是 8万元，

平均数是：（3×4+5×12+8×18+10×10+15×6）=8.12万元

故答案为：50，8万元，8.12万元．

（3）1200×=384（人）

答：在公司1200员工中有384人可以评为优秀员工．

点评： 此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及加权平均数的计算公式，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

23．如图，直线l1、l2相交于点A，l1与x轴的交点坐标为（﹣1，0），l2与y轴的交点坐标为（0，﹣2），结合图象解答下列问题：

（1）求出直线l2表示的一次函数的表达式；

（2）当x为何值时，l1、l2表示的两个一次函数的函数值都大于0．

考点： 两条直线相交或平行问题；一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式．

专题： 计算题；待定系数法．

分析： （1）因为直线l2过点A（2，3），且与y轴的交点坐标为（0，﹣2），所以可用待定系数法求得函数的表达式．

（2）要求l1、l2表示的两个一次函数的函数值都大于0时x的取值范围，需求出两函数与x轴的交点，再结合图象，仔细观察，写出答案．

解答： 解：（1）设直线l2表示的一次函数表达式为y=kx+b．

∵x=0时，y=﹣2；x=2时，y=3．

∴（2分）

∴（3分）

∴直线l2表示的一次函数表达式是y=x﹣分）

（2）从图象可以知道，当x＞﹣1时，直线l1表示的一次函数的函数值大于分）

当x﹣2=0，得x=．

∴当x＞时，直线l2表示的一次函数的函数值大于分）

∴当x＞时，l1、l2表示的两个一次函数的函数值都大于分）

点评： 此类题目主要考查从平面直角坐标系中读图获取有效信息的能力，解题时需熟练运用待定系数法．

24．如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OB．

（1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）若AD=4，∠AOD=60°，求AB的长．

考点： 矩形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．

分析： （1）由?ABCD得到OA=OC，OB=OD，由OA=OB，得到；OA=OB=OC=OD，对角线平分且相等的四边形是矩形，即可推出结论；

（2）根据矩形的性质借用勾股定理即可求得AB的长度．

解答： （1）证明：在□ABCD中，

OA=OC=AC，OB=OD=BD，

又∵OA=OB，

∴AC=BD，

∴平行四边形ABCD是矩形．

（2）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=90°，OA=OD．

又∵∠AOD=60°，

∴△AOD是等边三角形，

∴OD=AD=4，

∴BD=2OD=8，

在Rt△ABD中，AB=．

点评： 本题考查了矩形的判定方法以及勾股定理的综合运用，熟练记住定义是解题的关键．

25．甲、乙两地距离300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，根据图象，解答下列问题：

（1）线段CD表示轿车在途中停留了　0.5　h；

（2）求线段DE对应的函数解析式；

（3）求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车．

考点： 一次函数的应用．

分析： （1）利用图象得出CD这段时间为2.5﹣2=0.5，得出答案即可；

（2）利用D点坐标为：（2.5，80），E点坐标为：（4.5，300），求出函数解析式即可；

（3）利用OA的解析式得出，当60x=110x﹣195时，即可求出轿车追上货车的时间．

解答： 解：（1）利用图象可得：线段CD表示轿车在途中停留了：2.5﹣2=0.5小时；

（2）根据D点坐标为：（2.5，80），E点坐标为：（4.5，300），

代入y=kx+b，得：

，

解得：，

故线段DE对应的函数解析式为：y=110x﹣195（2.5≤x≤4.5）；

（3）∵A点坐标为：（5，300），

代入解析式y=ax得，

300=5a，

解得：a=60，

故y=60x，当60x=110x﹣195，

解得：x=3.9，故3.9﹣1=2.9（小时），

答：轿车从甲地出发后经过2.9小时追上货车．

点评： 此题主要考查了一次函数的应用和待定系数法求一次函数解析式，根据已知得出函数解析式利用图象分析得出是解题关键．

26．定义：如图（1），若分别以△ABC的三边AC，BC，AB为边向三角形外侧作正方形ACDE，BCFG和ABMN，则称这三个正方形为△ABC的外展三叶正方形，其中任意两个正方形为△ABC的外展双叶正方形．

（1）作△ABC的外展双叶正方形ACDE和BCFG，记△ABC，△DCF的面积分别为S1和S2；

①如图（2），当∠ACB=90°时，求证：S1=S2；

②如图（3），当∠ACB≠90°时，S1与S2是否仍然相等，请说明理由．

（2）已知△ABC中，AC=3，BC=4，作∠ACB的度数发生变化时，S的值是否发生变化？若不变，求出S的值；若变化，求出S的最大值．

考点： 四边形综合题．

分析： （1）①由正方形的性质可以得出AC=DC，BC=FC，∠ACB=∠DCF=90°，即可得出△ABC≌△DFC而得出结论；

②如图3，过点A作AP⊥BC于点P，过点D作DQ⊥FC交FC的延长线于点Q，通过证明△APC≌△DQC就有DQ=AP而得出结论；

（2）根据（1）可以得出S=3S△ABC，要使S最大，就要使S△ABC最大，当∠ACB=90°时S△ABC最大，即可求出结论．

解答： （1）①证明：∵正方形ACDE和正方形BCFG，

∴AC=DC，BC=FC，∠ACD=∠BCF=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠DCF=90°，

∴∠ACB=∠DCF=90°．

在△ABC和△DFC中，

，

∴△ABC≌△DFC（SAS）．

∴S△ABC=S△DFC，

∴S1=S2．

②解：S1=S2．

理由如下：

如图3，过点A作AP⊥BC于点P，过点D作DQ⊥FC交FC的延长线于点Q．

∴∠APC=∠DQC=90°．

∵四边形ACDE，四边形BCFG均为正方形，

∴AC=CD，BC=CF，

∵∠ACP+∠ACQ=90°，∠DCQ+∠ACQ=90°．

∴∠ACP=∠DCQ．

在△APC和△DQC中，

，

∴△APC≌△DQC（AAS），

∴AP=DQ．

∴BC×AP=DQ×FC，

∴BC×AP=DQ×FC

∵S1=BC×AP，S2=FC×DQ，

∴S1=S2；

（2）解：S的值是否发生变化；S的最大值为18；理由如下：

由（1）得，S是△ABC面积的三倍，

要使S最大，只需△ABC的面积最大，

∴当△ABC是直角三角形，即∠ACB=90°时，S有最大值．

此时，S=3S△ABC=3××3×4=18．

点评： 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、直角三角形的性质、三角形的面积公式；本题难度较大，综合性强，证明三角形全等是解决问题的关键．