[教材简析]

面积的变化是结合比例单元教学内容安排的一次实践与综合应用，主要目的是让学生经历猜测验证运用的过程，自主发现平面图形按比例放大后面积的变化规律，进一步体会比例的应用价值，提高学生学习数学的兴趣。

教材分两部分安排，第一部分是探究平面图形按比例放大后面积的变化规律。先量出长方形长和宽的长度，计算前后对应边的比；接着估计、猜测面积的变化的规律,用计算、观察、画图等方法进行验证；最后，继续研究正方形、三角形和圆分别按比例放大后面积的变化规律，得出一般的规律：把平面图形按n：1的比放大后，放大后的面积与放大前面积的比是n2：1。第二部分是引导学生应用发现的规律解决实际问题。要求学生从图中选择一幢建筑或一处设施，测量并计算它的实际占地面积，使学生进一步体验解决问题的乐趣，提高解决问题的策略水平。

[教学目标]

1、在具体的情境中经历猜测－验证的过程，自主发现平面图形按比例放大后面积的变化规律，进一步体会比例的应用价值，提高学习数学的兴趣。

2、应用发现的规律解决实际问题过程中，进一步体验解决问题的乐趣，提高解决问题的策略水平。

3、在观察、比较、思考和交流等活动中，培养分析、抽象、概括的能力，进一步体会不同领域数学内容的内在联系，体会比例尺的应用价值，发展对数学的积极情感。

[教学重点]发现、得出按比例放大的情况下图形面积的一般规律：把平面图形按n：1的比放大后，放大后的面积与放大前面积的比是n2：1。

[教学难点]运用发现的规律解决实际问题。

[教学过程]

一、回忆旧知，导入新课

谈话：同学们，前面我们已经学习了比和比例，并能按指定的比将一个简单的平面图形放大或缩小。那谁能说一说，你对图形放大的理解。

学生回答：放大前后的图形，大小变了，形状不变。图形的每条边是按一定的比变化的。

提问：把某一图形按n﹕1的比放大后，每条边的长都是原来的多少倍？

揭示课题：把一个平面图形按一定的比放大后，形状不变，大小变了，大小变化有没有规律呢？这节课我们一起来研究把一个平面图形按一定的比放大后面积的变化规律。(板书：面积的变化)

【设计意图：有人说过：影响学习的唯一最重要的因素，就是学习者已经知道了什么，要探明这一点，并应据此进行教学。此处设计的目的是唤醒学生的已有知识基础，进行思维起步，由长方形的长与宽放大n倍，引发学生思考：放大后与放大前面积有什么关系呢？并在此基础上让学生依据已掌握的知识，去探究新知识，揭示新旧知识的共同本质，使旧知顺利迁移到新知学习中来。】

二、提供题材，探究规律

1．出示：下图的大长方形是小长方形按比例放大得到的。(图见课本第52页)

2．引导分步操作。

(1)量一量：长方形的长和宽。

(2)写一写：对应边长的比。

大长方形与小长方形长的比是（ ）:（ ）,宽的比是（ ）：（ ）。

(3)猜一猜：它们的面积比是几比几呢?

学生可能出现各种不同的答案。

(4)验一验：究竟是多少呢?你是用什么方法验证的?

学生可能出现的方法:

①估一估：凭直觉。

②算一算：分别算出大小长方形的面积再比较。

③画一画：直接在大长方形中画出来。

(5)说一说：大长方形与小长方形的面积比是9：1，也就是大长方形的面积是小长方形面积的9倍。

(6)教师小结：刚才我们通过估一估、算一算、画一画等方法，发现大长方形与小长方形面积的比是9：1。老师想问：放大前后长方形面积的变化与长、宽的变化之间是否存在着某种关系?会是什么样的关系?

3. 猜测验证

(1)如果大长方形是小长方形按2：1的比放大后得到的图形，它们对应边长的比是多少?面积比是多少?如果是4:1、5:1、6:1呢？

先独立思考，再说一说你是怎样想的。

(2)如果把一个长方形按n：l的比放大后，放大后的长方形与小长方形对应边长的比与面积的比有什么样的关系呢?

学生讨论，后归纳交流。

(3)师生总结：把一个长方形按n：l的比放大后，放大后的长方形与放大前长方形对应边长的比是n：1，面积的比是n2：1。

【设计意图：皮亚杰认为：一切真知都应由学生自己获得，或由他重新发明，至少由他重新建构，而不是草率地传递给他。此处教学设计的目的是引导学生通过测量、猜测、验证和数学交流等数学活动，探索发现长方形的长和宽按一定的比放大或缩小，引起面积的变化规律。首先从教材直观的 3：1放大去思考面积关系问题，进而让学生思考：如果按2：1放大，放大后的长方形面积与原来长方形面积有什么关系？再思考：按照4：1、5：1、6：1放大，面积又有什么关系？培养学生思维的严谨性。】

三、小组合作，再次探究

1．推想。

我们发现把一个长方形按n：l的比放大，得到的长方形与小长方形的面积比是n2：1。那么，这种关系在其它图形的面积变化中是否同样存在呢?让我们继续来研究。

2．验证。

(1)出示正方形、三角形、圆形以及它们放大后的图形(课本第52页中的3组图)。

（2）测量：小组分工测量正方形的边长、三角形的底和高、圆的半径，

（3）计算：计算出相应的比填写在课本第53页的表格里

(4)交流发现。

预设：正方形的边长放大n倍，面积放大n2倍；三角形的底和高放大n倍，面积放大n2倍；圆的半径放大n倍，面积放大n2倍。

3．归纳。

师：你能把我们发现的这些规律综合起来说一说吗?

生：把一个平面图形按n：1的比放大，得到的大图形与小图形的面积比是长度比的平方，即n2：1，也就是大图形的面积是小图形面积的n2倍。

板书：面积比=长度比2

4．迁移、类推。

师：同学们，想一想：如果把一个平面图形按指定的某个比缩小，缩小前后图形面积的变化规律又是什么?

（可以让学生任选52页的一组图形逆向研究，互相交流)

教师小结：把一个平面图形按1：n的比缩小后，每条边的长都是原来的 ，与缩小前图形面积的比1：n2

【设计意图：《数学课程标准》明确指出教师要向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。这一环节的教学设计，是让学生通过研究其它图形（如：正方形、三角形、圆形等）来进一步验证面积的这种变化规律，在学生充分研究的基础上得出一般规律；安排的迁移、类推环节，让学生逆向研究，对图形按比例缩小面积的变化规律水到渠成。这一环节的设计同时给学生营造一个积极思考、踊跃交流的宽松氛围，充分放手让学生自主学习、探究学习、合作学习，让学生成为自主探究的主人。】

四、解决问题，内化规律

过度：同学们，大家通过探索和研究，发现了把一个平面图形按比例放大后面积的变化规律。这个规律在我们生活中有什么用呢?我们如何利用发现的规律解决生活中的实际问题呢?

师：打开课本第53页，认真观察东港小学的校园平面图。

师：东港小学校园平面图是按什么比例尺画出来的?1：1000表示什么意思?(图上距离

lcm，实际距离1000cm)，实际建筑物的边长与图上图形的边长有什么关系?(实际建筑物的边长与图上图形边长的比是1000：1)

师：同学们说得很好!比例尺是长度比，不是面积比。那么，东港小学校园平面图，图上面积与实际面积的比应该是多少?（1:1000000）

师：同学们分析得很正确。应用面积变化的规律，我们知道：把一个平面图形按1000：1的比放大后，放大后与放大前图形的面积比是10002：1。也就是说，比例尺是1：1000。那么，图上面积与实际面积的比就是1：1000000。

师：现在我想知道东港小学教学楼的实际占地面积是多少，你们能告诉我吗?

学生动手进行操作与计算，独立尝试解决教学楼的实际面积这个问题。

预设一：51.5＝7.5（平方厘米），7.510002＝7500000（平方厘米），

7500000平方厘米＝750平方米。

预设二：51000＝5000（厘米），5000厘米＝50米；1.51000＝1500（厘米），

1500厘米＝15米；5015＝750（米）。

教师小结：同学们，解决今天的实际问题，我们发现了两种方法：(1)先测量出某建筑或设施的相关图上距离，如长方形的长和宽，再计算出图上面积，最后运用面积变化规律算出该建筑或设施的实际占地面积。(2)先测量出某建筑或设施的相关图上距离，再根据相关图上距离求出相应的实际距离，最后求出实际面积。

【设计意图：这个环节是让学生交流如何利用发现的规律解决实际问题，逐步内化规律，形成运用规律的技能。在解决实际问题的过程中，先通过解读比例尺的含义，形成运用规律的技能，沟通不同解题思路的内在联系；然后通过小组多样化的计算，让学生进一步熟悉规律，同时，注意培养学生对相关材料进行观察、分析、比较、抽象和概括的能力，提高解决问题的策略水平。】

五、回顾反思，实践运用

1．师生总结：通过本课的活动，你有哪些收获?活动中你的表现如何?

2．小组合作测量学校升旗广场的长和宽，各自选用合适的比例尺画出平面图，并用两种方法计算所画平面图的面积。