2016-10-08 收藏
向量同数量一样,也可以进行平面向量坐标运算。向量可以参与多种运算过程,包括线性运算(加法、减法和数乘)、数量积、向量积与混合积等。
下面介绍运算性质时,将统一作如下规定:任取平面上两点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)。
加法
向量加法的三角形法则
已知向量AB、BC,再作向量AC,则向量AC叫做AB、BC的和,记作AB+BC,即有:AB+BC=AC。
用坐标表示时,显然有:AB+BC=(x2-x1,y2-y1)+(x3-x2,y3-y2)=(x2-x1+x3-x2,y2-y1+y3-y2)=(x3-x1,y3-y1)=AC。这就是说,两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差
三角形法则:AB+BC=AC,这种计算法则叫做向量加法的三角形法则,简记为:首尾相连、连接首尾、指向终点。
四边形法则:已知两个从同一点A出发的两个向量AC、AB,以AC、AB为邻边作平行四边形ACDB,则以A为起点的对角线AD就是向量AC、AB的和,这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则,简记为:共起点 对角连。
对于零向量和任意向量a,有:0+a=a+0=a。
向量的加法满足所有的加法运算定律,如:交换律、结合律。
(本段文字资料整理自,图片为原始资料)
减法
AB-AC=CB,这种计算法则叫做向量减法的三角形法则,简记为:共起点、指被减。
-(-a)=a;a+(-a)=(-a)+a=0;a-b=a+(-b)。
数乘
实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa。当λ>0时,λa的方向和a的方向相同,当λ<0时,λa的方向和a的方向相反,当λ = 0时,λa=0。
用坐标表示的情况下有:λAB=λ(x2-x1,y2-y1)=(λx2-λx1,λy2-λy1)
设λ、μ是实数,那么满足如下运算性质:
(λμ)a= λ(μa)
(λ + μ)a= λa+ μa
λ(a±b) = λa± λb
(-λ)a=-(λa) = λ(-a)
|λa|=|λ||a|
数量积
已知两个非零向量a、b,那么|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)叫做a与b的数量积或内积,记作a·b。零向量与任意向量的数量积为0。数量积a·b的几何意义是:a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1·x2+y1·y2
数量积具有以下性质:
a·a=|a|2≥0
a·b=b·a
k(a·b)=(ka)b=a(kb)
a·(b+c)=a·b+a·c
a·b=0<=>a⊥b
a=kb<=>a//b
e1·e2=|e1||e2|cosθ
小编为大家提供的高考数学一轮复习平面向量坐标运算就到这里了,愿大家都能努力复习,丰富自己,锻炼自己。
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