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22、73也可以看做是乘方运算的结果，这时它们表示数，分别读作“2的2次幂”、“7的3次幂”，其中2与7叫做底数(base),2与3叫做指数(exponent)。

这种求n个相同因数a的积运算叫做乘方(power)，乘方的结果叫做幂(power)，a叫做底数(base number)，n叫指数(exponent)。任何数的0次方都是1，例：3º=1(注：0º无意义)

同底数幂法则

同底数幂相乘除，原来的底数作底数，指数的和或差作指数。

推导：

设a^m*a^n中，m=2，n=4，那么

a^2*a^4

=(a*a)*(a*a*a*a)

=a*a*a*a*a*a

=a^6

=a^(2+4)

所以代入：a^m*a^n=a^(m+n)

用字母表示为：

a^m·a^n=a^(m+n) 或 a^m÷a^n=a^(m-n) (m、n均为自然数)

1)15^2×15^3; 2)3^2×3^4×3^8; 3)5×5^2×5^3×5^4×…×5^90

1)15^2×15^3=15^(2+3)=15^5

2)3^2×3^4×3^8=3^(2+4+8)=3^14

3)5×5^2×5^3×5^4×…×5^90=5^(1+2+3+…+90)=5^4095[1]

正整数指数幂法则

a^k=a*a*....*a(k个a)，其中k∈N*(即k为正整数)

指数为0幂法则

a^0=1 ，其中a≠0 ，k∈N*

推导：

a^0

=a^(1-1)

=(a^1)/(a^1)

=a/a

=1

负整数指数幂法则

a^(-k)=1/(a^k) ，其中a≠0,k∈N*

推导：

a^(-k)

=a^(0-k)

=(a^0)/(a^k)

=1/(a^k)[2]

正分数指数幂法则

a^(m/n)=

，其中n≠0 ， m/n>0，m,n∈N*(即m,n为正整数)

负分数指数幂法则

a^[-(m/n)]=

，其中，a^m≠0(

≠0，a≠0)，m/n>0，n≠0，m,n∈N*

推导：

a^[-(m/n)]

=a^(0-m/n)

=(a^0)/[a^(m/n)]

=1/[a^(m/n)]

=1/

=

分数指数幂时，当n=2k,k∈N*， 且a^m<0时，则该数在实数范围内无意义

特别地，0的非正数指数幂没有意义

平方差

两数和乘两数差等于它们的平方差。

用字母表示为：

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

推导：

(a+b)(a-b)

=(a+b)a-(a+b)b

=(a^2+ab)-(b^2+ab)

=a^2-b^2[3]

幂的乘方法则

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

用字母表示为：

(a^m)^n=a^(m×n)

幂的乘方

特别指出：a^m^n=a^(m^n)

积的乘方

积的乘方，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。

用字母表示为：

(a×b)^n=a^n×b^n

这个积的乘方法则也适用于三个以上乘数积的乘方。如：

(a×b×c)^n=a^n×b^n×c^n

同指数幂乘法

同指数幂相乘，指数不变，底数相乘。

用字母表示为：

(a^n)*(b^n)=(ab)^n

完全平方

两数和(或差)的平方，等于它们的平方的和加上(或者减去)它们的积的2倍。

用字母表示为：

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2或(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

我们一般把前者叫作完全平方公式，把后者叫作完全平方差公式。

立方和

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

立方差

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)[4]

多项式平方

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac

二项式

艾萨克·牛顿发现了二项式。二项式是乘方里的复杂运算。右图为二项式计算法则。一般来说，二项式也可以这样表示：

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

…… …… ……

这就是著名的杨辉三角。

速算

有些较特殊的数的平方，掌握规律后，可以使计算速度加快，现介绍如下。

由n个1组成的数的平方

我们观察下面的例子。

1^2=1

11^2=121

111^2=12321

1111^2=1234321

11111^2=123454321

111111^2=12345654321

……

由以上例子可以看出这样一个规律;求由n个1组成的数的平方，先由1写到n，再由n写到1，即：

11…1(n个1)^2=1234…(n-1)n(n-1)…4321

注意：其中n只占一个数位，满10应向前进位，当然，这样的速算不宜位数过多。

由n个3组成的数的平方

我们仍观察具体实例：

3^2=9

33^2=1089

333^2=110889

3333^2=11108889

33333^2=1111088889

由此可知：

33…3(n个3)^2 = 11…11【(n-1)个1】0 88…88【(n-1)个8】9

个位是5的数的平方

把a看作10的个数，这样个位数字是5的数的平方可以写成;(10a+5)^2的形式。根据完全平方式推导;

(10a+5)^2=(10a)^2+2×10a×5+5^2

=100a^2+100a+25

=100a×(a+1)+25

=a×(a+1)×100+25

由此可知：个位数字是5的数的平方，等于去掉个位数字后，所得的数与比这个数大1的数相乘的积，后面再写上25。

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