2016-07-01
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1、勾股定理
勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
即直角三角形两直角的平方和等于斜边的平方.
因此,在运用勾股定理计算三角形的边长时,要注意如下三点:
(1)注意勾股定理的使用条件:只对直角三角形适用,而不适用于锐角三角形和钝角三角形;
(2)注意分清斜边和直角边,避免盲目代入公式致错;
(3)注意勾股定理公式的变形:在直角三角形中,已知任意两边,可求第三边长.即c2=a2+b2,a2=c2-b2,b2=c2-a2.
2.学会用拼图法验证勾股定理
拼图法验证勾股定理的基本思想是:借助于图形的面积来验证,依据是对图形经过割补、拼接后面积不变的原理.
如,利用四个如图1所示的直角三角形三角形,拼出如图2所示的三个图形.
请读者证明.
如上图示,在图(1)中,利用图1边长为a,b,c的四个直角三角形拼成的一个以c为边长的正方形,则图2(1)中的小正方形的边长为(b-a),面积为(b-a)2,四个直角三角形的面积为4×ab=2ab.
由图(1)可知,大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的的面积,即c2=(b-a)2+2ab,则a2+b2=c2问题得证.
请同学们自己证明图(2)、(3).
3.在数轴上表示无理数
将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段长问题.第一步:利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段(斜边)长的平方,注意一般其中一条线段的长是整数;第二步:以数轴原点为直角三角形斜边的顶点,构造直角三角形;第三步:以数轴原点圆心,以斜边长为半径画弧,即可在数轴上找到表示该无理数的点.
二、典例精析
例1如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm,那么这个直角三角形的面积是cm2.
分析:欲求直角三角形的面积,已知一直角三角形的斜边与一条直角边的长,则求得另一直角边的长即可.根据勾股定理公式的变形,可求得.
解:由勾股定理,得
132-52=144,所以另一条直角边的长为12.
所以这个直角三角形的面积是×12×5=30(cm2).
例2如图3(1),一只蚂蚁沿棱长为a的正方体表面从顶点A爬到
顶点B,则它走过的最短路程为()
A.B.C.3aD.分析:本题显然与例2属同种类型,思路相同.但正方体的
各棱长相等,因此只有一种展开图.
解:将正方体侧面展开
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