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本文题目：高一数学教案：平面向量教案

教材：5.3实数与向量的积综合练习

目的：通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。

过程：一、复习：1.实数与向量的积 (强调：模与方向两点)

2.三个运算定律(结合律，第一分配律，第二分配律)

3.向量共线的充要条件

4.平面向量的基本定理(定理的本身及其实质)

1.当Z时，验证：( + )= +

证：当=0时，左边=0( + )= 右边=0 +0 = 分配律成立

当为正整数时，令=n, 则有：

n( + )=( + )+( + )++( + )

= + ++ + + + ++ =n +n

即为正整数时，分配律成立

当为负整数时，令=n(n为正整数)，有

n( + )=n[( + )]=n[( )+( )]=n( )+n( )=n +(n )=n n

分配律仍成立

综上所述，当为整数时，( + )= + 恒成立 。

2.如图，在△ABC中， = , = AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，求向量

解一：∵ = , = 则 = =

= + = + 而 =

= +

解二：过G作BC的平行线，交AB、AC于E、F

∵△AEF∽△ABC

= = = =

= =

= + = +

3.在 ABCD中，设对角线 = ， = 试用 , 表示 ，

解一： = = = =

= + = =

= + = + = +

解二：设 = ， =

则 + = + = = ( )

= = = ( + )

即： = ( ) = ( + )

4.设 , 是两个不共线向量，已知 =2 +k , = +3 , =2 , 若三点A, B, D共线，求k的值。

解： = =(2 )( +3 )= 4

∵A, B, D共线 , 共线 存在使 =

即2 +k =( 4 ) k=8

5.如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2CD，M, N分别是DC, AB中点，设 = , = ，试以 , 为基底表示 , ,

解： = = 连ND 则DC╩ND

= = =

又： = =

= = =

=( + ) =

6.1kg的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态(如图)，已知两细绳与水平线分别成30, 60角，问两细绳各受到多大的力?

解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90

=1 (kg) P1OP=60 P2OP=30

= cos60=1 =0.5 (kg)

= cos30=1 =0.87 (kg)

即两根细绳上承受的拉力分别为0.5 kg和0.87 kg

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C.摆球受重力和拉力的作用 D.摆球受重力和向心力的作用

2、所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相等的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则以下说法中正确的是( )

A.A球的线速度必定大于B球的线速度

B.A球的角速度必定小于B球的线速度

C.A球的运动周期必定小于B球的运动周期

D.A球对筒壁的压力必定大于B球对筒壁的压力

3、所示，细绳的一端固定于O点，另一端系一个小球，在O点的正下方钉一个钉子A。让小球从一定高度摆下，经验告诉我们，当细绳与钉子相碰时，如果钉子的位置越靠近小球，绳就越容易断。请用圆周运动的知识加以论证。

4、，已知绳长a=0.2m，水平杆长b=0.1m，小球质量m=0.3kg，整个装置可绕竖直轴转动。

(1)要使绳子与竖直方向成450角，试求该装置必须以多大的角速度旋转?(2)此时绳子对小球的拉力为多大?

5、所示，被长为L的细线OB系住的小球处于静止状态，把水平线OA剪断的瞬间小球的加速度大小。

6、所示，半径为R的半球形碗内，有一个具有一定质量的物体A，A与碗壁间的动摩擦因数为 ，当碗绕竖直轴 匀速转动时，物体A刚好能紧贴在碗口附近随碗一起匀速转动而不发生相对滑动，求碗转动的角速度.

7、所示，在光滑的水平面上钉两个钉子A和B，相距20 cm.用一根长1 m的细绳，一端系一个质量为0.5 kg的小球，另一端固定在钉子A上.开始时球与钉子A、B在一直线上，然后使小球以2 m/s的速率开始在水平面内做匀速圆周运动.若绳子能承受的最大拉力为4 N，那么从开始到绳断所经历的时间是多少?

8、所示，水平转盘的中心有个竖直小圆筒，质量为m的物体A放在转盘上，A到竖直筒中心的距离为r.物体A通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体B相连，B与A质量相同.物体A与转盘间的最大静摩擦力是正压力的倍，则转盘转动的角速度在什么范围内，物体A才能随盘转动.

参考答案

[当堂达标]

1、B 2、【解析】：小球沿半径等于绳长的圆周做匀速圆周运动，根据向心力公式，所需向心力的大小为：

运动中，小球受到竖直向下的重力G，竖直向上的水平面支持力N和沿绳指向圆心的绳的拉力F，所示，这三个力的合力提供了小球做匀速圆周运动所需的向心力，由于其中重力G和支持力N为一对平衡力，因此实际由绳的拉力为小球做匀速圆周运动的向心力，为此绳对小球需施拉力的大小为 N.

3、A 4、【解析】：小物块在水平面内做匀速圆周运动，向心力由墙壁对它的弹力FN提供，竖直方向必须满足f 静 =mg，根据题设有：f 静max = f 滑=FN， 且FN=m2R，得

[课后练习]

1、【答案】:C

【解析】：我们在进行受力分析时，物体受到哪几个力的作用中的力是指按照性质命名的力，显然，物体只受重力G和拉力FT的作用，而向心力F是重力和拉力的合力，所示。也可以认为向心力就是FT沿水平方向的分力FT2，显然，FT沿竖直方向的分力FT1与重力G平衡。所以，本题正确选项为C。

2、【答案】:AB

【解析】：小球A和B的受力情况所示，由图可知，两球的向心力都来源于重力G和支持力FN的合力，建立所示的坐标系，则有：

FN1=FNsin=mg

FN2=FNcos=F

所以F=mgcot。

也就是说FN在指向圆心方向的分力即合力F=mgcot提供小球做圆周运动所需的向心力，可见A、B两球受力情况完全一样，当然向心力肯定也大小相等。由于前提是两球的向心力一样，所以比较时就好比较了

比较两者线速度大小时，由F=mv2r 可知：r越大，v一定较大，因此选项A正确。

比较两者角速度大小时，由F=mr2可知：r越大，一定较小，因此选项B正确。

比较两者的运动周期时，由F=mr(2T )2可知：r越大，T一定较大，因此选项C不正确。

由受力分析图可知，小球A和B受到的支持力FN都等于mgsin ，因此选项D不正确。

3、【解析】：在绳子与钉子相碰的瞬间，速度大小不变，但小球从大半径的圆周运动突变到小半径的圆周运动，所以由于v不变，根据公式 知：r越小，F越大，故绳越易断。

4、【答案】: =6.4 (rad/s)，F=2.77N

【解析】：以小球为研究对象，其圆周运动的圆心在竖直轴上。

半径r=b+acos450=0.24(m) 小球受重力和绳子拉力F，以竖直方向和指向圆心方向建立直角坐标系，则有：

Fcos450 mg = 0 (1)

Fsin450=m2r (2)

由(1)(2)解得：=6.4 (rad/s)，F=2.77N

5、【答案】:

【解析】：剪断的瞬间，OA绳子的拉力瞬间消失，小球将开始由静止做圆周运动，由于开始速度为0，所以向心力为0，即绳子拉力等于 ,合加速度为切向加速度

6、【答案】:

【解析】：物体A随碗一起转动而不发生相对滑动，放物体做匀速圆周运动的角速度 就等于碗转动的角速度 。因为物体A在碗口附近，所以可以认为物体在水平面内做圆周运动，则物体A做匀速圆周运动所需的向心力是由碗壁对物体的弹力提供，此时物体所受的摩擦力与重力平衡。

解：物体A做匀速圆周运动，向心力：

而摩擦力与重力平衡，则有：

即：

由以上两式可得：

即碗匀速转动的角速度为：

7、【答案】:3.768s

【解析】：球每转半圈，绳子就碰到不作为圆心的另一颗钉子，然后再以这颗钉子为圆心做匀速圆周运动，运动的半径就减少0.2 m，但速度大小不变(因为绳对球的拉力只改变球的速度方向).根据F=mv2/r知，绳每一次碰钉子后，绳的拉力(向心力)都要增大，当绳的拉力增大到Fmax=4 N时，球做匀速圆周运动的半径为rmin，则有

Fmax=mv2/rmin

rmin=mv2/Fmax=(0.522/4)m=0.5 m.

绳第二次碰钉子后半径减为0.6 m，第三次碰钉子后半径减为0.4 m.所以绳子在第三次碰到钉子后被拉断，在这之前球运动的时间为：

t=t1+t2+t3

=(l-0.2)/v+(l-0.4)/v

=(3l-0.6)/v

=(31-0.6)3.14/2 s

=3.768 s

答案 3.768 s

说明 需注意绳碰钉子的瞬间，绳的拉力和速度方向仍然垂直，球的速度大小不变，而绳的拉力随半径的突然减小而突然增大.

8、【答案】:

【解析】：若要A在圆盘上随盘做匀速圆周运动，所以它所受的合外力必然指向圆心，而其中重力、支持力平衡，绳的拉力指向圆心，所以A所受的摩擦力的方向一定沿着半径或指向圆心，或背离圆心.

当A将要沿盘向外滑时，A所受的最大静摩擦力指向圆心，A的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力.即

F+Fm =m12r ①

由于B静止，故

F=mg ②

由于最大静摩擦力是压力的倍，即

Fm FN=mg ③

由①、②、③解得

当A将要沿盘向圆心滑时，A所受的最大静摩擦力沿半径向外，这时向心力为：

F-Fm =m22r ④

由②、③、④得2= .

要使A随盘一起转动，其角速度应满足

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