2016-06-13
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大家把理论知识复习好的同时,也应该要多做题,从题中找到自己的不足,及时学懂,下面是查字典数学网小编为大家整理的高三数学必修同步练习题,希望对大家有帮助。
1.(2013辽宁)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A、B两点,连结AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cosABF=45,则C的离心率为
()
A.35 B.57
C.45 D.67
解析:如图,设|AF|=x,则cosABF=82+102-x22810=45.
解得x=6,AFB=90,由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|=8,且FAF1=FAB+FBA=90,△FAF1是直角三角形,所以|F1F|=10,故2a=8+6=14,2c=10,ca=57.故选B.
答案:B
2.(2014河北唐山市二模)P为椭圆x24+y23=1上一点,F1、F2为椭圆的两个焦点,若F1PF2=60,则PF1PF2等于
()
A.3 B.3
C.23 D.2
解析:由题意可得|F1F2|=2,
|PF1|+|PF2|=4,
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60
=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|,
所以4=42-3|PF1||PF2|,|PF1||PF2|=4,
PF1PF2=|PF1||PF2|cos 60
=412=2,故选D.
答案:D
3.已知椭圆x216+y225=1的焦点分别是F1,F2,P是椭圆上一点,若连接F1,F2,P三点恰好能构成直角三角形,则点P到y轴的距离是________.
解析:F1(0,-3),F2(0,3),∵34,
F1F2P=90或F2F1P=90.
设P(x,3),代入椭圆方程得x=165.
即点P到y轴的距离是165.
答案:165
4.(2013课标全国Ⅰ)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.
解:由已知的圆M的圆心M(-1,0)
半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.
设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.
(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切, 所以
|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.
由椭圆的定义可知,曲线C是以M、N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为3的椭圆(左顶点除外),其方程为x24+y23=1(x-2).
(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-22,所以R2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.
所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.
若l的倾斜角为90,则l与y轴重合,可得|AB|=23.
若l的倾斜角不为90,由r1R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,
则|QP||QM|=Rr1,可求得Q(-4,0),
所以可设l:y=k(x+4).
由l与圆M相切得|3k|1+k2=1,
解得k=24.
当k=24时,将y=24x+2代入x24+y23=1,并整理得7x2+8x-8=0,
解得x1,2=-4627.
所以|AB|=1+k2|x2-x1|=187.
当k=-24时,由图形的对称性可知|AB|=187.
综上,|AB|=23或|AB|=187.
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