2016-06-07
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动作是智慧的根源——现代小学数学课堂教学的心理学依据
一、引言
近半个世纪以来,皮亚杰心理学影响着世界各国的中小学教学,尤其是中小学数学教学。皮亚杰指出:“ 动作是智慧的根源”,①任何静态的数学概念都隐含着认知主体的内在动作,数学运算是一种广义的动作。② 这些观念为数学课堂教学所采纳,目前小学数学普遍采取动手操作(或以直观方式演示有关操作)的方法。
然而,对于这些在教学实践领域中早已被采用的观念与方法,却缺乏深入的研究,许多问题都停留在知其 然不知其所以然的层面——我们知道数学运算是一种广义的动作;但它除了是一种动作之外,还存在哪些区别 于一般动作的规定性?同样我们也知道“动作操作”会增进儿童的数学知识与智慧;但能否认为任意的动手操 作都有益于儿童智慧的发展?在数学课堂教学中如何指导儿童动手操作?
本文试图就以上问题作些探讨,以期引起更深入的研究,并期望对进一步改进小学数学课堂教学有所裨益 。
二、数学运算的内在规定性
1.反身性 数学运算“甚至在其较高的表现中,也是正在采取行动与协调行动,不过是以一种内在的与反 省的形式进行的罢了……”③这里“反省”与反身、反思是同义的。
皮亚杰将个体认知活动划归为两类。一类是对客体的认识;另一类是对主体自身动作所进行的反思。前者 带来关于客体的知识;后者带来数理逻辑知识。
[实例]一个儿童摆弄10个石子,他可以掂一掂以了解其重量;可以摸一摸以了解其表面的光滑度。“重 量”与“光滑度”是关于对象(石子)本身的知识。此外,儿童还有另一类动作,他将10个石子排列成不同的 形状,沿着不同的方向点数它们,其总数“10”总是不变的。这里,儿童将手指一一地(不重复也不遗漏)点 向10个石子,是具体动作;从这种具体动作中认识到总数“10”总是不变,则是一种反思,是反过来对自身的 具体动作进行思考。具体动作可以有很多种(可以从不同的石子开始,可以沿着不同的方向进行),但总数的 “10”却是恒定的。只有通过反思,体会到这种“恒定”,儿童才真正学会了计数。
这里我们看到儿童进行数学操作与运算离不开具体动作,但具体动作之后的反思比具体动作本身更为重要 。儿童能一一地点数石子,我们也能训练一只小鸡——地啄石子,但小鸡不会了解“10”这个数,因为它没有 反思。
数学运算因其反身性,还呈现出一种层次性与相对性。高一级的运算是对低一级的运算所进行的反思、协 调与转换。乘法是对加法的“运算”;乘方又是对乘法的“运算”。
2.可逆性 “运算是一种可以逆行的行动,即它能向一个方向进行,也能向相反的方向进行。”④我们可 以把1和2相加得到3;反过来, 也可以用3减2而还原为1。任何一种运算,总有一个与之对应的逆运算。
学生用减法验算加法(或反过来用加法验算减法),用除法验算乘法(或反过来用乘法验算除法),就是 因为这些运算是可以“逆行”的。对于“合”(加或乘)的结果,我们可以用“分”的动作(减或除)使其还 原到初始状态。
可逆性可以区分为两类,一类是反演可逆(1+2=3,反过来3 -2=1);一类是互反可逆(6比2多4,反 过来2比6少4)。 前者表现为相反的操作;后者表现为次序的逆向转换。
3.结合性 运算“是可以绕道迂回的,通过两种不同的方法可以获得相同的结果”。⑤这就是所谓结合性 。具体到小学数学教学中,结合性体现在两个方面。
其一,体现在运算定律方面:3+4=4+3(加法的交换律);3 ×(4+5)=3×4+3×5(乘法的分配律 )。这里,每个等式两边是不同途径的运算,但其运算结果却是恒等的;其二,体现在问题解决的一题多解方 面。
问题:男生和女生共植树450棵,已知每个同学植树5棵,有男生46人。问:女生多少人?
对于这一问题可以先求出女生植树多少棵,再除以5, 得出女生人数:(450-5×46)÷5=44(人);也 可以先求两个班共有多少人,再减去男生46人,得出女生的人数:450÷5-46=44(人)。两种解法,具体途 径不同,但结果一样。
至此,我们将可逆性与结合性综合起来考察,则会发现数学运算总是隐含着某些“不变的因素”。反演可 逆是以相反的运算(如:以减法来验算加法)使其还原为初始不变的状态。互反可逆是一种相互转换,6比2多 4,2比6少4,这里差集“4”是不变的。在运算规则里, 运算途径改变了,但运算结果不变。在问题解决中, 具体解法可以各异,但答案是唯一(不变)的。
我们说,数学运算是一种转换。在这种转换过程中,并非所有的东西都发生了改变,总是隐含着某种不变 的因素。正是“不变因素”的存在,才使转换成为可能。
4.结构性 结构性运算,就其现实的存在方式而言,“包括复杂的运算体系,而不是被看作先于这些体系 成分的那些孤立的运算。”⑥数学运算总是以结构化的整体的方式而存在。首先,每一种数学运算本身就是一 个结构化的动作。加法包括“合”的动作,也包括计其总数据的动作(这在学龄前儿童的实物操作中,可观察 到;小学一年级儿童,因熟练而逐渐简约化);其次,各种运算联合起来,又构成一个大的结构,加是“合” 的动作,减是“分”的动作;乘是加(或合)的简便运算,除是减(或分)的简便运算;加减互为逆运算,乘 除互为逆运算。这许多关系,使四则运算联合成一个大的整体。
三、课堂教学中,指导学生动手操作应注意的问题
在明确了数学运算的内在规定性之后,我们将依照这些规定性,提出在课堂教学中指导儿童动手操作应注 意的问题。
1.引起反省 从以上分析中我们了解到,数学运算是一种反思,具体动作之后的反思比具体动作更为重要 。具体到课堂教学中,我们在指导学生动作操作时,不应停留在为操作而操作的层面;而应引导学生对其操作 进行思索。以分数概念的教学为例,通常的教法是将分数的具体“操作”和盘托出、呈现给学生。如:将一个 饼平均分成两块,每块是它的1/2。这样的做法只能让学生照葫芦画瓢一样地模仿,而不能调动学生内部的思 考过程。
一般而言,分数是小学生数概念的一次大的扩展。此前,儿童能用加减法层面的“差集”(6比2多4)或乘 除法层面的“倍数”(6是2的3倍)来表示二数比较关系。在倍数中,比较量一般大于(或等于)标准量;分数 的引进是要解决一个全新的问题:当比较量不足一个标准量时,如何表示二数关系。
关于分数概念,这里设计了一种与通常的教法不同的方案,其宗旨在于引起学生思考。
关于“分数概念”的课堂设计:
准备:在黑板上用不同颜色的粉笔画好三条长度不同的线段,准备一根60厘米长的木棒(无刻度),线段 长度分别是木棒的3倍、1倍、 1/3。
木棒────
白线:─────────── ────────白线长度是木棒长度的3倍
红线:──────── 红线长度是木棒长度的1倍
绿线:─ 绿线长度是木棒长度的?
教师[演示]:用木棒分别量白线与红线,并板述;然后量绿线,提问。
教师:绿线长度是木棒长度的多少?
学生:……没有一棒长。
教师:没有“一棒”长,怎么表示?
学生:(有的提出)拿刻度尺把木棒和绿线都量一量。
教师:(量得绿线长20厘米,木棒长60厘米)那么,绿线长度是木棒长度的多少?
60厘米
学生:木棒是绿线的3倍。
教师:这是我们以前学过的“倍数”;现在,我们反过来说:以木棒为标准,绿线是木棒的多少?
[演示]比着绿线将木棒3等分(用粉笔在木棒上画刻度)
[继续提问]现在想一想,怎样表示“绿线是木棒的多少?”)
……
导出:将木棒3等份,绿线是3份中的1份。
进而导出:绿线是木棒的1/3。
并将“倍数”与“分数”统一起来:都可表示两个数的比较。
这种方案较之于“和般托出”直接告诉学生的教法,更能调动学生积极的思考过程。也只有进行这样的思 考,儿童才能真正明确分析所蕴含的内部操作。
将有关“操作”和盘托出,不注重激起学生“反思”的教法,与两种不恰当的观念有关。其一是把数学运 算等同于具体动作;其二是认为内在运算是对外在动作的简单模仿。其实,数学运算应该包括三个呈递进关系 的成分:(1)具体操作;(2)对具体操作的反省与反思; (3)在反思过程中进行某种转换或重组。
转换是对具体动作的转换,重组是对原有的、已习得的操作的重组。儿童在接触到分数之前,已学会了“ 比较”(一个数是另一个数据的几倍)与“等分”(除法)。现在面临新的问题:比较量不足一个标准量。在 上述方案中,问题解决的过程,是学生积极思考的过程,也是重组原有“比较”与“等分”等内部操作而构成 分类操作的过程(分数的内部操作包括:比较二数;等分标准量等)。
2.体会“必然” 在上一小节中,我们强调在让学生动作操作的同时,应引导他们对具体动作进行反思, 并在反思过程中进行转换与重组。但数学运算还具备可逆性与结合性的特征也就是说在转换过程中,并非所有 的因素都发生改变,而总隐含着某种不变的因素。由于某些不变因素的存在,数学运算显示出一种必然性。1+ 2一定等于3;3×5 一定等于15;π=3.1415…是圆周与直径的比率,不是人为规定的;在两个班共同植树的实 例中,解法不同而得数是不变的。
对数学运算的必然性的认识,往往是一种不自觉的“必然之感”。这种必然之感的获得,是儿童形成数学 运算的标志。
指导学生认识数学运算的必然性,可利用日常的实例。数学运算往往都有其现实原型,而且有些原型能明 晰地表征相应运算的涵义。如:教乘法口诀时,可让学生数一数一面窗子的格数。如果竖着有4行, 每行5格, 那么就是5×4=20格。 四五二十的口诀就存在于我们对这扇窗子的计数活动之中。它不是人为的任意编出的口 诀,而是“必然”的。
3.融会贯通 数学运算是以结构的方式而存在的。结构化不是将不同的运算(或操作)简单地拼凑成一个 整体,而是要消除各种运算(或操作)之间的“矛盾”、以达到相互协调。
“关于‘分数概念’的课堂设计”将分数概念放在数概念的扩展(从倍数到分数的扩展)之中,具体设计 了一个问题情境:比较量不足一个标准量(此前,在“倍数”中,比较量总是大于或等于一个标准量),如何 表示二数关系。学生面对这一“矛盾”、积极思考。消解矛盾的过程,同时也是各种操作(倍数与分数)协调 、统一而融会贯通的过程。
四、结语
综上,可以明确:(一)对小学生而言,数学运算既包括具体的动手操作,也包括对动手操作的思索。后 者比前者更为重要。(二)数学运算总是隐含着“不变的因素”,具体体现在逆向运算、 逆向转换(6比2多4 ,那么2比6少4)、运算规则以及问题解决的一题多解等方面。(三)数学运算总是以结构化的方式而存在。
在于数学运算的内在规定性,本文提出(一)课堂教学中,在指导学生动手操作(或演示有关操作)时, 应引起“反省”。小学儿童离不开具体动作的支持,但对具体动作的思索更为重要。(二)在指导学生动手操 作的过程中,让学生体会到“必然”之感,必然之感的获得,是数学运算形成的标志。(三)在动作操作过程 中,指导学生通过思考,将各种运算联成整体,融会贯通。
①②⑤⑥皮亚杰:《智慧心理学》,中国社会科学出版社1992年版,第33页;第18—19页。第36页;第42 页。
③皮亚杰:《教育科学与儿童心理学》,教育文化出版社1981年版,第30页。
④皮亚杰:《发生认识论》,《教育研究》,1979年第3期, 第91页
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