【摘要】对于高中学生的我们，数学在生活中，考试科目里更是尤为重要，高三数学试题栏目为您提供大量试题，小编在此为您发布了文章：高三数学下学期期中试题：空间向量与立体几何希望此文能给您带来帮助。

本文题目：高三数学下学期期中试题：空间向量与立体几何

空间向量与立体几何

1.如图，棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形， ， ，侧棱 ，棱AA1与底面所成的角为 ，点F为DC1的中点.

(I)证明：OF//平面 ;

(II)求三棱锥 的体积.

2.如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是菱形， ， ， 是 上任意一点.

(1) 求证： ;

(2) 当 面积的最小值是9时，证明 平面 .

3.如图，在四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，

PD平面ABCD，E、F分别是PB、AD的中点，PD=2.

(1)求证：BC

(2)求证：EF//平面PDC;

(3)求三棱锥BAEF的体积。

4.如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。

(Ⅰ)求该几何体的体积;

(Ⅱ)求证：EM∥平面ABC;

5.如图，AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上， ， 交 AC 于点 M， 平面 ， ，AC=4，EA=3，FC=1.

(I)证明：EM

(II)求平面 BEF 与平面ABC 所成的二面角的余弦值.

6.如图，在底面为直角梯形的四棱锥 中 ， 平面 ， ， ， .

⑴求证： ;

(2)设点 在棱 上， ，若 ∥平面 ，求 的值.

, 为 的中点.

(Ⅰ)求证： 平面 ;

(Ⅱ)求点 到面 的距离.

9.在三棱锥P-ABC中，△PAC和△PBC都是边长为2的等边三角形，AB=2，O，D分别是AB，PB的中点.

(1)求证：OD∥平面PAC;

(2)求证：PO平面ABC;

(3)求三棱锥P-ABC的体积.

11如图所示,三棱柱 中, ,平面 平面 ,

又 , 与 相交于点 .

(Ⅰ)求证: 平面 ;

(Ⅱ)求 与平面 所成角的正弦值;

12.如图所示，直角梯形 与等腰直角 所在平面互相垂直， 为 的中

点， ， ∥ ， .[

(Ⅰ)求证：平面 平面 ;来

(Ⅱ)求证： ∥平面 ;

(Ⅲ)求四面体 的体积.

13.如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。

(Ⅰ)求该几何体的体积;

(Ⅱ)求证：EM∥平面ABC;

15.如图所示，四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形，PA面ABCD，PA=2,过点A作AEPB,AFPC,连接EF.

(1)求证：PC面AEF;

(2)若面AEF交侧棱PD于点G(图中未标出点G),求多面体PAEFG的体积。

16.如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， 为侧棱 上一点，它的正(主)视图和侧(左)视图如图所示.

(1)证明： 平面 ;

(2)求三棱锥 的体积;

(3)在 的平分线上确定一点 ，使得 平面 ，并求此时 的长.

18.

17.已知在四棱锥 中，底面 是边长为4的正方形， 是正三角形，平面 平面 ， 分别是 的中点.

(I)求平面 平面 ;

(II)若 是线段 上一点，求三棱锥 的体积.

18.如图，在梯形 中，

， ， ，

四边形 为矩形，平面 平面 ，

.

(Ⅰ)求证： 平面 ;

(Ⅱ)设点 为 中点，

求二面角 的余弦值.

19.如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE//DF， .

(Ⅰ)求证：BE//平面ADF;

(Ⅱ)若矩形ABCD的一个边AB = ，EF = ，则另一边BC的长为何值时，三棱锥F -BDE的体积为 ?

21. 已知正四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2 的正方形，高为 .M为线段PC的中点.

(Ⅰ) 求证：PA∥平面MDB;

(Ⅱ) N为AP的中点，求CN与平面MBD所成角的正切值.

22.如图，已知直四棱柱 ，底面 为菱形， ，

为线段 的中点， 为线段 的中点.

(Ⅰ)求证： ∥平面 ;

(Ⅱ)当 的比值为多少时， 平面 ，

并说明理由.

, .

23.如图，棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1CA1B.

(1)证明：平面AB1C平面A1BC1;

(2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值.

24.如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是菱形， ， ， 是 上任意一点。

(1)求证： ;

(2)当 面积的最小值是9时，在线段 上是否存在点 ，使 与平面 所成角的正切值为 2?若存在?求出 的值，若不存在，请说明理由

25.如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是菱形， ， ， 是 上任意一点。

(1)求证： ;

(2)当 面积的最小值是9时，在线段 上是否存在点 ，使 与平面 所成角的正切值为2?若存在?求出 的值，若不存在，请说明理由

26.

如图：在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，过点A1作A1O平面BCD，垂足O恰好落在CD上.

(1)求证：BC

(2)求直线A1B与平面BCD所成角的正弦值.

27.如图的几何体中， 平面 ， 平面 ，△ 为等边三角形， ， 为 的中点.

(1)求证： 平面 ;

(2)求证：平面 平面 .

28一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示.

(1)请画出该几何体的直观图，并求它的体积;

(2)证明：A1C平面AB1C1;

(3)若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平行于平面AB1C1，并证明你的结论.

29.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示.

(1)请画出该几何体的直观图，并求它的体积 ;

(2)证明：A1C平面AB1C1;

(3)若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平行于平面AB1C1，并证明你的结论.

30.如图，已知矩形 的边 与正方形 所在平面垂直， ， ， 是线段 的中点。

(1)求异面直线 与直线 所成的角的大小;

(2)求多面体 的表面积。

31.如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，点E在线段AD上，且CE∥AB。

(1)求证：CE平面PAD;

(2)若PA=AB=1，AD=3，CD= ，CDA=45，求四棱锥P-ABCD的体积

32.如下图(图1)等腰梯形PBCD，A为PD上一点，且ABPD，AB=BC，AD=2BC，沿着AB折叠使得二面角P-AB-D为 的二面角，连结PC、PD，在AD上取一点E使得3AE=ED，连结PE得到如下图(图2)的一个几何体.

(1)求证：平面PAB 平面PCD;

(2)求PE与平面PBC所成角的正弦值.

33.如图，在直三棱柱 中， 90, , 是 的中点.

(Ⅰ)求异面直线 与 所成的角;

(Ⅱ)若 为 上一点，且 ，求二面角 的大小.

解法一：

(Ⅰ)异面直线 与 所成的角为 . 6分

(Ⅱ) 所求二面角 为 .

34.如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是菱形， ， ， 是 上任意一点。

(1)求证： ;

(2)当 面积的最小值是9时，在线段 上是否存在点 ，使 与平面 所成角的正切值为2?若存在?求出 的值，若不存在，请说明理由

35.如图，PA平面ABCD，ABCD是矩

形，PA=AB=1， ,点F是PB的中点，点E在边BC

上移动。

⑴求三棱锥E-PAD的体积;

⑵当E点为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的

位置关系，并说明理由;

⑶证明：无论点E在边BC的何处，都有PEAF。

36.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P - ABCD中，平面PAD上平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等 边三角形，已知BD =2AD =8，AB =2DC = 。

(I)设M是PC上的一点，证明：平面MBD 平面PAD;

(Ⅱ)求三棱锥CPAB的体积

答 案

1.如图，棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形， ， ，侧棱 ，棱AA1与底面所成的角为 ，点F为DC1的中点.

(I)证明：OF//平面 ;

(II)求三棱锥 的体积.

解：(I) 四边形ABCD为菱形且 ，

是 的中点 . ....................2分

又点F为 的中点, 在 中， , ...................................4分

平面 ， 平面 , 平面 ..........6分

(II) 四边形ABCD为菱形,

, 又 ，

且 平面 ,

平面 ,

平面 ,

平面 平面 . ......................8分

在平面 内过 作 ，则 ，

是 与底面所成的角， . ................................10分

在 ，

故三棱锥 底面 上的高为 ，又 ，

所以，三棱锥 的体积 .

2.如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是菱形， ， ， 是 上任意一点.

(1) 求证： ;

(2) 当 面积的最小值是9时，证明 平面 .

.解：(1)证明：连接 ，设 与 相交于点 。 因为四边形 是菱形，

所以 。 又因为 平面 ， 平面

为 上任意一点， 平面 ，所以 ------------------------- ------ 7分

(2)连 .由(I)，知 平面 ， 平面 ，所以 .

在 面积最小时， 最小，则 .

，解得 -------------------10分

由 且 得 平面 则 ，

又由 得 ，而 ，故 平面 --

3.如图，在四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，

PD平面ABCD，E、F分别是PB、AD的中点，PD=2.

(1)求证：BC

(2)求证：EF//平面PDC;

(3)求三棱锥BAEF的体积。

解证：(Ⅰ)∵四边形ABCD是正方形

BC DC

又PD 面ABCD, BC 面ABCD

BC PD, 又PD DC=D

BC 面PDC 从而BC PC--------------------4分

(Ⅱ)取PC的中点G，连结EG，GD，则

四边形EFGD是平行四边形。 EF//GD,

又

EF//平面PDC.---------------------8分

(Ⅲ)取BD中点O，连接EO，则EO//PD，

∵PD平面ABCD， EO底面ABCD，

------------12分

4.如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。

(Ⅰ)求该几何体的体积;

(Ⅱ)求证：EM ∥平面ABC;

(Ⅰ)∵EA 平面ABC,EA AB,又AB AC, AB 平面ACDE

6分

∵M为BD的中点， MG∥CD且MG=12 CD,于是MG∥AE,且MG=AE,

所以四边形AGME为平行四边形,EM∥AG, EM∥平面ABC

5.如图，AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上， ， 交 AC 于点 M， 平面 ， ，AC=4，EA=3，FC=1.

(I)证明：EM

(II)求平面 BEF 与平面ABC 所成的二面角的余弦值.

，即 (也可由勾股定理证得).[来源:学科网ZXXK]

， 平面 .

而 平面 ，

. 6分

(2)延长 交 于 ，连 ，过 作 ，连结 .

由(1)知 平面 ， 平面 ，

.

而 ， 平面 .

平面 ，

，

为平面 与平面 所成的

二面角的平面角. 8分

在 中， ， ，

.

由 ，得 .

，则 .

是等腰直角三角形， .

平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 .

6.如图，在底面为直角梯形的四棱锥 中 ， 平面 ， ， ， .

⑴求证： ;

(2)设点 在棱 上， ，若 ∥平面 ，求 的值.

(1)证明：由题意知 则

------------- 6分

(2) 过 作 // 交 于 连结 ，

∵ ∥ ， ∥平面 .

又∵ ∥平面 ，平面 ∥平面 ， ∥ .

又∵

，即 -

7.图，棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形， ， ，侧棱 ，棱AA1与底面所成的角为 ，点F为DC1的中点.

(I)证明：OF//平面 ;

(II)求三棱锥 的体积.

解：(I) 四边形ABCD为菱形且 ，

是 的中点 . ....................2分

又点F为 的中点, 在 中， , ...................................4分

平面 ， 平面 , 平面 ..........6分

(II) 四边形ABCD为菱形,

, 又 ，

且 平面 ,

平面 ,

平面 ,

平面 平面 . ......................8分

在平面 内过 作 ，则 ，

是 与底面所成的角， . ................................10分

在 ，

故三棱锥 底面 上的高为 ，又 ，

所以，三棱 锥 的体积

8.已知四棱锥 的底面为菱形，且 ，

, 为 的中点.

(Ⅰ)求证： 平面 ;

(Ⅱ)求点 到面 的距离.

(I)证明：连接

为等腰直角三角形

为 的中点

2分

又

是等边三角形

，4分

又

，即

6分

(II)设点 到面 的距离为

8分

, 到面 的距离

10分

点 到面 的距离为

9.在三棱锥P-ABC中，△PAC和△PBC都是边长为2的等边三角形，AB=2，O，D分别是AB，PB的中点.

(1)求证：OD∥平面PAC;

(2)求证：PO平面ABC;

(3)求 三棱锥P-ABC的体积.

(1) 分别为 的中点， ∥

又 平面 ， 平面

∥平面 .4分

(2)如图，连结

， 为 中点， ,

， .

同理, ， .6分

又 , , .

. , ， ,

平面 .8分

(3)由(2)可知 垂直平面

为三棱锥 的高，且

.

11如图所示,三棱柱 中, ,平面 平面 ,

又 , 与 相交于点 .

(Ⅰ)求证: 平面 ;

(Ⅱ)求 与平面 所成角的正弦值;

【解】(Ⅰ)由题知 , ,

所以 为正三角形,所以 ,1分[

又因为 ,且

所以 为正三角形,2分

又平行四边形 的对角线相交于点 ,所以 为 的中点,

所以 3分

又平面 平面 ,且平面 平面 ,4分

且 平面 5分

所以 平面 6分

(Ⅱ)〖解法一〗连结 交 于 ,取 中点 ,连结 , ,

则 ,又 平面

所以 平面 , ,7分

所以直线 与平面 所成角为 .8分

而在等边 中, ,所以 , ,

同理可知, ,

在 中, 10分

所以 中, , .

所以 与平面 所成角的正弦值为 .12分

〖解法二〗由于 , 平面 ,所以 平面 ,7分

所以点 到平面 的距离即点 到平面 的距离,

由 平面 ,所以 到平面 的距离即 ,8分

也所以 与平面 所成角的正弦值为 ,9分

而在等边 中, ,所以 ,

同理可知, ,所以 , 10分

又易证 平面 ,所以 ,

也所以 , 11分

所以

即 与平面 所成角的正弦值为 .

12.如图所示，直角梯形 与等腰直角 所在平面互相垂直， 为 的中

点， ， ∥ ， .[

(Ⅰ)求证：平面 平面 ;

(Ⅱ)求证： ∥平面 ;

(Ⅲ)求四面体 的体积.

解：(Ⅰ)∵面 面 ，面 面 ， ,

面 ， 2分

又∵ 面 ，平面 平面 . 4分

(Ⅱ)取 的中点 ，连结 、 ，则 ,

又∵ ， ， 6分

四边形 是平行四边形， ∥ ，

又∵ 面 且 面 ， ∥面 . 8分

(Ⅲ)∵ ，面 面 = ， 面 .

就是四面体 的高，且 =2. 10分

∵ = =2 =2， ∥ ，

13.如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。

(Ⅰ)求该几何体的体积;

(Ⅱ)求证：EM∥平面ABC;

(Ⅰ)∵EA 平面ABC,EA AB,又AB AC, AB 平面ACDE

6分

∵M为BD的中点， MG∥CD且MG=12 CD,于是MG∥AE,且MG=AE,

所以四边形AGME为平行四边形,EM∥AG, EM∥平面ABC.19. (本小题满分12分)

如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是菱形， .(Ⅰ)求证： 平面

(Ⅱ)若 求 与 所成角的余弦值;

(Ⅲ)当平面 与平面 垂直时，求 的长.

证明：(Ⅰ)因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD.

又因为PA平面ABCD.所以PABD. 所以BD平面PAC.

(Ⅱ)设ACBD=O.因为BAD=60，PA=PB=2, 所以BO=1，AO=CO= .

如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则

P(0， ，2)，A(0， ，0)，B(1，0，0)，C(0， ，0).

所以

设PB与AC所成角为 ，则 .

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 设P(0，- ，t)(t0)，则

设平面PBC的法向量 ,则

所以 令 则 所以

同理，平面PDC的法向量

因为平面PCB平面PDC,所以 =0，即 解得 所以PA=

EF= SE= (10分)

15.如图所示，四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形，PA面ABCD，PA=2,过点A作AEPB,AFPC,连接EF.

(1)求证：PC面AEF;

(2)若面AEF交侧棱PD于点G(图中未标出点G),求多面体PAEFG的体积。

解析：(1)证明： PA面ABCD,BC在面内， PABC BABC,BCBA=B,BC面PAB，又∵AE在面PAB内 BCAE AEPB,BCPB=B, ,AE面PBC又∵PC在面PBC内 AEPC, AEPC, AEAF=A, PC面AEF.5分

(2)PC面AEF, AGPC, AGDC PCDC=C AG面PDC, ∵GF在面PDC内AGGF △AGF是直角三角形，由(1)可知△AEF是直角三角形， AE=AG= ,EF=GF= , 又AF= ,PF= ,

16.如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， 为侧棱 上一 点，它的正(主)视图和侧(左)视图如图所示.

(1)证明： 平面 ;

(2)求三棱锥 的体积;

(3)在 的平分线上确定一点 ，使得 平面 ，并求此时 的长.

18.

解：(1)因为 平面 ，所以 ，

又 ，所以 平面 ，所以 .

由三视图可得，在 中， ， 为 中点，所以 ，

所以 平面 ，4分

(2)由三视图可得 ，

由⑴知 ， 平面 ，

又三棱锥 的体积即为三棱锥 的体积，

所以，所求三棱锥的体积 .8分

(3)取 的中点 ，连接 并延长至 ，使得 ，点 即为所求.

因为 为 中点，所以 ，

因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，

连接 ， ，四边形 的对角线互相平分，

所以 为平行四边形，所以 ，又 平面 ，

所以在直角 中， .12分

17.已知在四棱锥 中，底面 是边长为4的正方形， 是正三角形，平面 平面 ， 分别是 的中点.

(I)求平面 平面 ;

(II)若 是线段 上一点，求三棱锥 的体积.

(I)证明： ，

平面PAD， (6分)

∵EF//CD， 平面PAD，

∵ 平面EFG，平面EFG 平面PAD;

(II)解：∵CD//EF，CD//平面EFG，故CD上的点M到平面EFG的距离

等于D到平面EFG的距离， ，

，平面EFGH 平面PAD于EH，

D到平面EFG的距离即三角形EHD的高,等于

.

18.如图，在梯形 中，

， ， ，

四边形 为矩形，平面 平面 ，

.

(Ⅰ)求证： 平面 ;

(Ⅱ)设点 为 中点，

求二面角 的余弦值.

(1)证明：

则 ， ，则得

， 面 平面 ，

面 平面

平面 . 7分

(II)过 作 交 于点 ，连 ,

则 为二面角 的平面角，在 中， ， ，则二面角 的余弦值为 .

19.如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE//DF， .

(Ⅰ)求证：BE//平面ADF;

(Ⅱ)若矩形ABCD的一个边AB = ，EF = ，则另一边BC的长为何值时，三棱锥F -BDE的体积为 ?

解(Ⅰ)过点E作CD的平行线交DF于点M，连接AM.

因为CE//DF，所以四边形CEMD是平行四边形.可得EM = CD且EM //CD，于是四边形BEMA也是平行四边形，所以有BE//AM，而直线BE在平面ADF外，所以BE//平面ADF. 6分

(Ⅱ)由EF = ，EM = AB = ，得 FM = 3且 .

由 可得FD = 4，从而得DE = 2.8分

因为 ， ，所以 平面CDFE.

所以， . 10分

因为 ， ，所以 .

综上，当 时，三棱锥F-BDE的体积为 .

20.如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE//DF， .

(Ⅰ)求证：BE//平面ADF;

(Ⅱ)若矩形ABCD的一个边AB = ，EF = ，则另一边BC的长为何值时，三棱锥F-BDE的体积为 ?

解(Ⅰ)过点E作CD的平行线交DF于点M，连接AM.

因为CE//DF，所以四边形CEMD是平行四边形.可得EM = CD且EM //CD，于是四边形BEMA也是平行四边形，所以有BE//AM，而直线BE在平面ADF外，所以BE//平面ADF. 6分

(Ⅱ)由EF = ，EM = AB = ，得FM = 3且 .

由 可得FD = 4，从而得DE = 2.8分

因为 ， ，所以 平面CDFE.

所以， . 10分

因为 ， ，所以 .

综上，当 时，三棱锥F-BDE的体积为 .

21. 已知正四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2 的正方形，高为 .M为线段PC的中点.

(Ⅰ) 求证：PA∥平面MDB;

(Ⅱ) N为AP的中点，求CN与平面MB D所成角的正切值.

本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。满分14分。

(Ⅰ)证明：在四棱锥P-ABCD中，连结AC交BD于点O，连结OM，PO.由条件可得PO= ，AC=2 ，PA=PC=2，CO=AO= .

因为在△PAC中，M为PC的中点，O为AC的中点，

所以OM为△PAC的中位线，得OM∥AP，

又因为AP 平面MDB，OM 平面MDB，

所以PA∥平面MDB. 6分

(Ⅱ) 解：设NCMO=E，由题意得BP=BC=2，且CPN=90.

因为M为PC的中点，所以PCBM，

同理PCDM，故PC平面BMD.

所以直线CN在平面BMD内的射影为直线OM，MEC为直线CN与平面BMD所成的角，

又因为OM∥PA，所以PNC=MEC.

在Rt△CPN中，CP=2，NP=1，所以tanPNC= ，

故直线 CN与平面BMD所成角的正切值为2

22.如图，已知直四棱柱 ，底面 为菱形， ，

为线段 的中点， 为线段 的中点.

(Ⅰ)求证： ∥平面 ;

(Ⅱ)当 的比值为多少时， 平面 ，

并说明理由.

(Ⅰ)证明：连接 ,由题意可知点 为 的中点. 因为点 为 的中点.

在 中， .2分

又 面 ， ， .6分

(Ⅱ)当 时， . 7分

四边形 为菱形，且 ， .

四棱柱 为直四棱柱， 四边形 为矩形.

又 ， ，

四边形 为正方形， 10分

在直四棱柱 中， ， ，

四边形 为菱形， .

， .

， ，又 ， .13分

, .

23.如图，棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1CA1B.

(1)证明：平面AB1C平面A1BC1;

(2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值.

解：(1)证明：因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1CBC1.

又B1CA1B，且A1BBC1=B，所以B1C平面A1BC1.又B1C平面AB1C，所以平面AB1C平面A1BC1.

(2)设BC1交B1C于点E，连结DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线.

因为A1B∥平面B1CD，

所以A1B∥DE.

又E是BC1的中点，

所以D为A1C1的中点，

即A1D∶DC1=1.

24.如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是菱形， ， ， 是 上任意一点。

(1)求证： ;

(2)当 面积的最小值是9时，在线段 上是否存在点 ，使 与平面 所成角的正切值为2?若存在?求出 的值，若不存在，请说明理由

解：(1)证明：连接 ，设 与 相交于点 。

因为四边形 是菱形，所以 。

又因为 平面 ， 平面

为 上任意一点， 平面 ，所以 ------ --------7分

(2)连 .由(I)，知 平面 ， 平面 ，所以 .

在 面积最小时， 最小，则 .

，解得 --------------10分

由 且 得 平面 则 ，

又由 得 ，而 ，故 平面

作 交 于点 ，则 平面 ,所以 就是 与平面 所成角.

在直角三角形 中，

所以 ，设 ，则 。

由 得 。

由 得 ，即 --------------14分

25.如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是菱形， ， ， 是 上任意一点。

(1)求证： ;

(2)当 面积的最小值是9时，在线段 上是否存在点 ，使 与平面 所成角的正切值为2?若存在?求出 的值，若不存在，请说明理由

解：(1)证明：连接 ，设 与 相交于点 。

因为四边形 是菱形，所以 。

又因为 平面 ， 平面

为 上任意一点， 平面 ，所以 --------------7分

(2)连 .由(I)，知 平面 ， 平面 ，所以 .

在 面积最小时， 最小，则 .

，解得 --------------10分

由 且 得 平面 则 ，[

又由 得 ，而 ，故 平面

作 交 于点 ，则 平面 ,所以 就是 与平面 所成角.

在直角三角形 中，

所以 ，设 ，则 。

由 得 。

由 得 ，即

26.

如图：在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，过点A1作A1O平面BCD，垂足O恰好落在CD上.

(1)求证：BC

(2)求直线A1B与平面BCD所成角的正弦值.

解：(1)因为A1O平面BCD，BC平面BCD，BCA1O，

因为BCCD，A1OCD=O，BC面A1CD.

因为A1D面A1CD，BCA1D.(6分)

(2)连结BO，则A1BO是直线A1B与平面BCD所成的角.

因为A1DBC，A1DA1B，A1BBC=B，A1D面A1BC.A1C面A1BC，A1DA1C.

在Rt△DA1C中，A1D=3，CD=5，A1C=4.

根据S△A1CD=12A1DA1C=12A1OCD，得到A1O=125，

在Rt△A1OB中，sinA1BO=A1OA1B=1255=1225.

所以直线A1B与平面BCD所成角的正弦值为1225.(12分)

27.如图的几何体中， 平面 ， 平面 ，△ 为等边三角形， ， 为 的中点.

(1)求证： 平面 ;

(2)求证：平面 平面 .

(1)证明：取 的中点 ，连结 .

∵ 为 的中点， 且 .

∵ 平面 ， 平面 ，

， . 又 ， .

四边形 为平行四边形，则 .

∵ 平面 ， 平面 ， 平面 .7分

(2)证明：∵ 为等边三角形， 为 的中点，

∵ 平面 ， ， .

∵ ， 又 ，

平面 .

∵ 平面 ， 平面 平面 .

28一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示.

(1)请画出该几何体的直观图，并求它的体积;

(2)证明：A1C平面AB1C1;

(3)若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平行于平面AB1C1，并证明你的结论.

29.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示.

(1)请画出该几何体的直观图，并求它的体积;

(2)证明：A1C平面AB1C1;

(3)若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平行于平面AB1C1，并证明你的结论.

解：(1)几何体的直观图如图.

四边形BB1C1C 是矩形，BB1=CC1=3，BC=1，四边形AA1C1C是边长为3的正方形，且垂直于底面BB1C1C，其体积V=12133=32 4分

(2)证明：∵ACB=90，BCAC.

∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，BCCC1.

∵ACCC1=C，BC平面ACC1A1，

BCA1C.∵B1C1∥BC，B1C1A1C.

∵四边形ACC1A1为正方形，A1CAC1.

∵B1C1AC1=C1，

A1C平面AB1C1. 8分

(3)当E为棱AB的中点时，

DE∥平面AB1C1.

证明：如图，取BB1的中点F，连结EF，FD，DE，

∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，EF∥AB1.

∵AB1平面AB1C1，EF平面AB1C1，

EF∥平面AB1C1.

同理可得FD∥平面AB1C1，

又EFFD=F，平面DEF∥平面AB1C1.

而DE平面DEF，DE∥平面AB1C1. 12分

30.如图，已知矩形 的边 与正方形 所在平面垂直， ， ， 是线段 的中点。

(1)求异面直线 与直线 所成的角的大小;

(2)求多面体 的表面积。

解：(1)因为 ，所以 即为异面直线 与 所成的角(或其补角)， 2分

连结 ，在 中， 所以 ，

又 ，所以 ，所以 是等边三角形，

5分

所以 ，即异面直线 与 所成的角为 ; 6分

(2) 8分

10分

。

31.如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，点E在线段AD上，且CE∥AB。

(1)求证：CE平面PAD;

(2)若PA=AB=1，AD=3，CD= ，CDA=45，求四棱锥P-ABCD的体积

【解析】(1)证明:因为PA平面ABCD,CE 平面ABCD,所以PACE,

因为ABAD,CE∥AB,所以CEAD,又PA AD=A,所以CE平面PAD.

(2)解:由(1)可知CEAD,在直角三角形ECD中,DE=CD ,CE=CD .

又因为AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形ABCE为矩形,所以

= = ,又PA平面ABCD,PA=1,

所以四棱锥P-ABCD的体积等于

32.如下图(图1)等腰梯形PBCD，A为PD上一点，且ABPD，AB=BC，AD=2BC，沿着AB折叠使得二面角P-AB-D为 的二面角，连结PC、PD，在AD上取一点E使得3AE=ED，连结PE得到如下图(图2)的一个几何体.

(1)求证：平面PAB 平面PCD;

(2)求PE与平面PBC所成角的正弦值.

解：(1)证明： ，又二面角P-AB-D为

，又AD=2PA

有平面图形易知：AB 平面APD，又 ， ，

，且

，又 ， 平面PAB 平面PCD---------7分

(2)设E到平面PBC的距离为 ， AE//平面PBC

所以A 到平面PBC的距离亦为

连结AC，则 ，设PA=2

=

，设PE与平面PBC所成角为

---------------14分

33.如图，在直三棱柱 中， 90, , 是 的中点.

(Ⅰ)求异面直线 与 所成的角;

(Ⅱ)若 为 上一点，且 ，求二面角 的大小.

解法一：

(Ⅰ)异面直线 与 所成的角为 . 6分

(Ⅱ) 所求二面角 为 .

34.如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是菱形， ， ， 是 上任意一点。

(1)求证： ;

(2)当 面积的最小值是9时，在线段 上是否存在点 ，使 与平面 所成角的正切值为2?若存在?求出 的值，若不存在，请说明理由

解：(1)证明：连接 ，设 与 相交于点 。

因为四边形 是菱形，所以 。

又因为 平面 ， 平面

为 上任意一点， 平面 ，所以 --------------7分

(2)连 .由(I)，知 平面 ， 平面 ，所以 .

在 面积最小时， 最小，则 .

，解得 --------------10分

由 且 得 平面 则 ，

又由 得 ，而 ，故 平面

作 交 于点 ，则 平面 ,所以 就是 与平面 所成角.

在直角三角形 中，

所以 ，设 ，则 。

由 得 。

由 得 ，即

35.如图，PA平面ABCD，ABCD是矩

形，PA=AB=1， ,点F是PB的中点，点E在边BC

上移动。

⑴求三棱锥E-PAD的体积;

⑵当E点为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的

位置关系，并说明理由;

⑶证明：无论点E在边BC的何处，都有PEAF。

解：

(1)因为点E到平面PAD的距离即为1，所以

4分

(2)直线EF与平面PAC平行

因为E、F两点分别为边PB和BC的中点，所以EF//PC，且直线EF不在平面PAC内，直线PC在平面PAC内，所以，直线EF//面PAC

8分

(3)因为PA=AB且F为PB中点，所以AFPB,又因为PA平面ABCD，所以PABC,由于地面ABCD为矩形，所以BCAB,所以BC面PAB,所以BCAF,所以AF面PBC,所以无论点E在BC上何处时，总有AFPE。

36.

如图，在四棱锥P - ABCD中，平面PAD上平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD =2AD =8，AB =2DC = 。

(I)设M是PC上的一点，证明：平面MBD 平面PAD;

(Ⅱ)求三棱锥CPAB的体积

证明：

(Ⅰ)在 中，由于 ， ， ，

所以 .故 .2分

又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，

所以 平面 . 4分

又 平面 ，故平面 平面 .6分

(Ⅱ)过 作 交 于 ，

由于平面 平面 ，

所以 平面 .

因此 为棱锥P-ABC的高.8分

又 是边长为4的等边三角形.

因此 .

又 ，10分