【摘要】对于高中学生的我们，数学在生活中，考试科目里更是尤为重要，高三数学试题栏目为您提供大量试题，小编在此为您发布了文章：高三数学期中考试题：理科希望此文能给您带来帮助。

本文题目：高三数学期中考试题：理科

第Ⅰ卷(选择题 共40分)

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.已知集合 ， ，其中 .若 ，则 的取值范围是( )

2.执行所示的程序框图，若输入如下四个函数：

则输出函数的序号为( )

3.椭圆 是参数 的离心率是( )

4.已知向量 ， ，其中 .则 是 的( )

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件

(C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件

5.右图是 ， 两组各 名同学体重(单位： )

数据的茎叶图.设 ， 两组数据的平均数依次

为 和 ，标准差依次为 和 ，那么( )

(注：标准差 ，其中 为 的平均数)

6.已知函数 ，其中实数 随机选自区间 .对 ， 的概率是( )

7.某大楼共有 层，有 人在第 层上了电梯，他们分别要去第 至第 层，每层 人.因

特殊原因，电梯只允许停 次，只可使 人如愿到达，其余 人都要步行到达所去的楼层.假设这 位乘客的初始不满意度均为 ，乘客每向下步行 层的不满意度增量为 ，每向上步行 层的不满意度增量为 ， 人的不满意度之和记为 ，则 的最小值是( )

8.对数列 ，如果 及 ，使

成立，其中 ，则称 为 阶递归数列.给出下列三个结论：

① 若 是等比数列，则 为 阶递归数列;

② 若 是等差数列，则 为 阶递归数列;

③ 若数列 的通项公式为 ，则 为 阶递归数列.

其中，正确结论的个数是( )

(A)

(B)

(C)

(D)

第Ⅱ卷(非选择题 共110分)

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

9.在△ 中， ， ， ，则 _____.

10.已知复数 满足 ，则 _____.

11.，△ 是⊙ 的内接三角形， 是⊙ 的切

线， 交 于点 ，交⊙ 于点 .若 ，

， ， ，则 _____;

_____.

12.已知函数 是 上的偶函数，则实数 _____;不等式 的解集为_____.

13.一个几何体的三视图所示，其中正视图和侧视图

是腰长为 的两个全等的等腰直角三角形，该几何体

的体积是_____;若该几何体的所有顶点在同一球面

上，则球的表面积是_____.

14.曲线 是平面内到定点 和定直线 的距离之和等于 的点的轨迹，给出

下列三个结论：

① 曲线 关于 轴对称;

② 若点 在曲线 上，则 ;

③ 若点 在曲线 上，则 .

其中，所有正确结论的序号是____________.

三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15.(本小题满分13分)

已知函数 .

(Ⅰ)求 的值;

(Ⅱ)若对于任意的 ，都有 ，求实数 的取值范围.

16.(本小题满分14分)

，直角梯形 与等腰直角三角形 所在的平面互相垂直. ∥ ， ， ， .

(Ⅰ)求证： ;

(Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值;

(Ⅲ)线段 上是否存在点 ，使 // 平面 ?若存在，求出 ;若不存在，说明理由.

17.(本小题满分13分)

甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的 道题中，甲答对其中每道题的概率都是 ，乙能答对其中的 道题.规定每次考试都从备选的 道题中随机抽出 道题进行测试，答对一题加 分，答错一题(不答视为答错)减 分，至少得 分才能入选.

(Ⅰ)求乙得分的分布列和数学期望;

(Ⅱ)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.

18.(本小题满分13分)

已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交抛物线于 ， 两点.

(Ⅰ)若 ，求直线 的斜率;

(Ⅱ)设点 在线段 上运动，原点 关于点 的对称点为 ，求四边形 面积的最小值.

19.(本小题满分14分)

已知函数 ，其中 .

(Ⅰ)当 时，求曲线 在原点处的切线方程;

(Ⅱ)求 的单调区间;

(Ⅲ)若 在 上存在最大值和最小值，求 的取值范围.

20.(本小题满分13分)

若 或 ，则称 为 和 的一个 位排列.对于 ，将排列 记为 ;将排列 记为 ;依此类推，直至 .

对于排列 和 ，它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做 和 的相关值，记作 .例如 ，则 ， .

若 ，则称 为最佳排列.

(Ⅰ)写出所有的最佳排列 ;

(Ⅱ)证明：不存在最佳排列 ;

(Ⅲ)若某个 是正整数 为最佳排列，求排列 中 的个数.

北京市西城区2012年高三二模试卷

数学(理科)参考答案及评分标准

2012.5

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1.D; 2.D; 3.B; 4.A; 5.C; 6.C; 7.C; 8.D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9. ; 10. ; 11. ， ;

12. ， 13. ， ; 14.① ② ③.

注：11、12、13第一问2分，第二问3分;14题少填不给分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.

15.(本小题满分13分)

(Ⅰ)解： . 5分

(Ⅱ)解： 7分

8分

. 9分

因为 ，所以 ， 10分

所以当 ，即 时， 取得最大值 . 11分

所以 ， 等价于 .

故当 ， 时， 的取值范围是 . 13分

16.(本小题满分14分)

(Ⅰ)证明：取 中点 ，连结 ， .

因为 ，所以 . 1分

因为四边形 为直角梯形， ， ，

所以四边形 为正方形，所以 . 2分

所以 平面 . 3分

所以 . 4分

(Ⅱ)解：因为平面 平面 ，且 ，

所以 平面 ，所以 .

由 两两垂直，建立所示的空间直角坐标系 . 5分

因为三角形 为等腰直角三角形，所以 ，设 ，所以 .

所以 ，平面 的一个法向量为 . 7分

设直线 与平面 所成的角为 ，

所以 ，

即直线 与平面 所成角的正弦值为 . 9分

(Ⅲ)解：存在点 ，且 时，有 // 平面 . 10分

证明如下：由 ， ，所以 .

设平面 的法向量为 ，则有

所以 取 ，得 . 12分

因为 ，且 平面 ，所以 // 平面 .

即点 满足 时，有 // 平面 . 14分

17.(本小题满分13分)

(Ⅰ)解：设乙答题所得分数为 ，则 的可能取值为 .1分

; ;

; . 5分

乙得分的分布列如下：

6分

. 7分

(Ⅱ)由已知甲、乙至少答对 题才能入选，记甲入选为事件 ，乙入选为事件 .

则 ， 10分

. 11分

故甲乙两人至少有一人入选的概率 . 13分

18.(本小题满分13分)

(Ⅰ)解：依题意 ，设直线 方程为 . 1分

将直线 的方程与抛物线的方程联立，消去 得 . 3分

设 ， ，所以 ， . ① 4分

因为 ，

所以 . ② 5分

联立①和②，消去 ，得 . 6分

所以直线 的斜率是 . 7分

(Ⅱ)解：由点 与原点 关于点 对称，得 是线段 的中点，从而点 与点 到直线 的距离相等，

所以四边形 的面积等于 . 9分

因为 10分

， 12分

所以 时，四边形 的面积最小，最小值是 . 13分

19.(本小题满分14分)

(Ⅰ)解：当 时， ， . 2分

由 ， 得曲线 在原点处的切线方程是 .3分

(Ⅱ)解： . 4分

① 当 时， .

所以 在 单调递增，在 单调递减. 5分

当 ， .

② 当 时，令 ，得 ， ， 与 的情况如下：

故 的单调减区间是 ， ;单调增区间是 . 7分

③ 当 时， 与 的情况如下：

所以 的单调增区间是 ;单调减区间是 ， .

9分

(Ⅲ)解：由(Ⅱ)得， 时不合题意. 10分

当 时，由(Ⅱ)得， 在 单调递增，在 单调递减，所以 在 上存在最大值 .

设 为 的零点，易知 ，且 .从而 时， ; 时， .

若 在 上存在最小值，必有 ，解得 .

所以 时，若 在 上存在最大值和最小值， 的取值范围是 .

12分

当 时，由(Ⅱ)得， 在 单调递减，在 单调递增，所以 在 上存在最小值 .

若 在 上存在最大值，必有 ，解得 ，或 .

所以 时，若 在 上存在最大值和最小值， 的取值范围是 .

综上， 的取值范围是 . 14分

20.(本小题满分13分)

(Ⅰ)解：最佳排列 为 ， ， ， ， ， . 3分

(Ⅱ)证明：设 ，则 ，

因为 ，

所以 ， ， ， ， 之中有 个 ， 个 .

按 的顺序研究数码变化，由上述分析可知有 次数码不发生改变，有 次数码发生了改变.

但是 经过奇数次数码改变不能回到自身，

所以不存在 ，使得 ，

从而不存在最佳排列 . 7分

(Ⅲ)解：由 或 ，得

，

，

，

.

因为 ，

所以 与每个 有 个对应位置数码相同，有 个对应位置数码不

同，因此有

，

，

，

，

.

以上各式求和得， . 10分

另一方面， 还可以这样求和：设 中有 个 ， 个 ，则 .

11分

所以 解得 或

所以排列 中 的个数是 或 . 13分