2016-06-02 收藏
【摘要】鉴于大家对查字典数学网十分关注,小编在此为大家整理了此文高三数学下学期试题:古典概型与几何概型,供大家参考!
本文题目:高三数学下学期试题:古典概型与几何概型
古典概型与几何概型但因为测试 新人教B版
1.(2011浙江文,8)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是()
A.110 B.310
C.35 D.910
[答案] D
[解析] 3个红球记为a,b,c,2个白球记为1,2.则从袋中取3个球的所有方法是abc,ab1,ab2,ac1,ac2,a12,bc1,bc2,b12,c12.共10个基本事件,则至少有一个白球的基本事件是ab1,ab2,ac1,ac2,a12,bc1,bc2,b12,c12共9个.[来源:Z|xx|k.Com]
至少有一个白球的概率为910.故选D.
[点评] (1)A=至少有一个白球的对立事件是B=全是红球,故所求概率为P(A)=1-P(B)=1-110=910.
(2)解决这类问题的基本方法就是给小球编号,用列举法写出基本事件空间 (或用计数原理计算基本事件空间中基本事件的个数),然后数(或求)出所求事件中含的基本事件的个数,再求概率,请再练习下题:
(2011德州模拟)一个袋子中有5个大小相同的球,其中有3个黑球与2个红球,如果从中任取两个球,则恰好取到两个同色球的概率是()
A.15 B.310
C.25 D.12
[答案] C
[解析] 从5个球中任取两个,有C25=10种不同取法,其中两球同色的取法有C23+1=4种,P=410=25.
2.(文)(2011福建文,7)如图,矩形ABCD中,点E为边CD的中点,若在矩形ABCD内部随机取一个点Q,则点Q取自△ABE内部的概率等于()
A.14 B.13
C.12 D.23
[答案] C
[解析] 本题属于几何概型求 概率问题,设矩形长为a,宽为b,则点Q取自△ABE内部的概率为
P=S△ABES矩形ABCD=12abab=12.
(理)(2010胶州三中)已知函数f(x)=x2+bx+c,其中04,04,记函数f(x)满足条件f212f-24的事件为A,则事件A发生的概率为()
A.14 B.58
C.12 D.38
[答案] C
[解析] 由f212f-24得,2b+c8-2b+c0,画出04,04表示的平面区域和事件A所表示的平面区域,由几何概型易知,所求概率P=12.
3.(文)有5条长度分别为1、3、5、7、9的线段,从中任意取出3条,则所取3条线段可构成三角形的概率是()
A.35 B.310
C.25 D.710
[答案] B
[解析] 构不成三角形的为(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(3,5,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),能构成三角形的有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9),
所求概率为310.
(理)在圆周上有10个等分点,以这些点为顶点,每3个点可以构成一个三角形,如果随机选择3个点,刚好构成直角三角形的概率是()
A.15 B.14
C.13 D.12
[答案] C
[解析] 从10个点中任取三个有C310种方法,能构成直角三角形时,必须有两点连线为直径,这样的直径有5条,能构成直角三角形58=40个,
概率P=40C310=13.
4.(文)(2011北京学普教育中心联考版)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为底面ABCD的中心,在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为()
A.12 B.1- 12
C.6 D.1- 6
[答案] B
[解析] 以点O为圆心,半径为1的半球的体积为V=12433,正方体的体积为23=8,由几何概型知:点P到点O的距离大于1的概率为
P(A)=1-2312,故选B.
(理)已知正三棱锥S-ABC的底面边长为4,高为3,在正三棱锥内任取一点P,使得VP-ABC12VS-ABC的概率是()
A.78 B.34
C.12 D.14
[答案] A
[解析] 当P在三棱锥的中截面及下底面构成的正三棱台内时符合要求,由几何概型知,P=1-18=78,故选A.
5.(2011潍坊二检)若在区间[-2]上随机取一个数x,则cosx的值介于0到12之间的概率为()
A.13 B.2
C.12 D.23
[答案] A
[解析] 当-x2时,由012,得-x3或x2,根据几何概型的概率计算公式得所求概率P=6=13.
6.(2011山东临沂)连掷两次骰子得到的点数分别为m和n,记向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角为,则(0,2]的概率为()
A.78 B.1316
C.316 D.712
[答案] D
[解析] ∵0,2,cos=m-n2m2+n20,
mn,满足条件m=n的概率为636=16,
mn的概率与m
mn的概率为121-16=512,
满足mn的概率为P=16+512=712.
7.(2011浙江宁波八校联考)已知kZ,AB=(k,1),AC=(2,4),若 |AB4,则△ABC是直角三角形的概率是________.
[答案] 37
[解析] ∵|AB|=k2+14,-1515,
∵kZ,k=-3,-2,-1,0,1,2,3,
当△ABC为直角三角形时,应有ABAC,或ABBC,或ACBC,由ABAC=0得2k+4=0,k=-2,
∵BC=AC-AB=(2-k,3),由ABBC=0得k(2-k)+3=0,k=-1或3,
由ACBC=0得2(2-k)+12=0,k=8(舍去),故使△ABC为直角三角形的k值为-2,-1或3,
所求概率p=37.
8.(文)(2011如皋模拟)连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6),记两次向上的数字之和等于m为事件A,则P(A)最大时,m=________.
[答案] 7
[解析] 连续抛掷一枚骰子2次,共有36个基本事件,两次向上的点数之和及次数如表:
和 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
次数 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
显然当两次向上的点数之和为7时概率P(A)最大.
(理)(2010江苏金陵中学)先后两次抛掷同一枚骰子,将得到的点数分别记为a,b.将a,b,5分别作为三条线段的长,则这三条线段能构成等腰三角形的概率是________.
[答案] 718
[分析] 本题有两点要点:一是构成三角形,须满足较小的两个数的和大于第三个数;二是构成等腰三角形,须有两个数相等.
[解析] 基本事件的总数为66=36.
∵三角形的一边长为5,
当a=1时,b=5符合题意,有1种情况;
当a=2时,b=5符合题意,有1种情况;
当a=3时,b=3或5符合题意,即有2种情况;
当a=4时,b=4或5符合题意,有2种情况 ;
当a=5时,b{1,2,3,4,5,6}符合题意,即有6种情况;
当a=6时,b=5或6符合题意,即有2种情况.
故满足条件的不同情况共有14种,所求概率为
P=1436=718.
9.(文)从集合{(x,y)|x2+y24,xR,yR}内任选一个元素(x,y),则x、y满足x+y2的概率为________.
[答案]
[解析] 即图中弓形面积占圆面积的比例,属面积型几何概型,概率为.
(理)(2011黑龙江五校联考)在体积为 V的三棱锥S-ABC的棱AB上任取一点P,则三棱锥S-APC的体积大于V3的概率是_____ ___.
[答案] 23
[解析] 由题意可知VS-APCVS-ABC13,三棱锥S-ABC的高与三棱锥S-APC的高相同.作PMAC于M,BNAC于N,则PM、BN分别为△APC与△ABC的高,所以VS-APCSS-ABC=S△APCS△ABC=PMBN13,又PMBN=APAB,所以APAB13,故所求的概率为23(即为长度之比).
10.已知函数f(x)=-x2+ax-b.
(1)若a,b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数,求上述函数有零点的概率;
(2)若a,b都是从区间[0,4]上任取的一个数,求f(1)0成立的概率.
[解析] (1)a,b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数,则基本事件总数为N=55=25个.
函数有零点的条件为=a2-4b0,即a24b.
因为事件a24b包含(0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),(4,0),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),
所以事件a24b的概率为P=1225,
即函数f(x)有零点的概率为1225.
(2)a,b都是从区间[0,4]上任取的一个数,
f(1)=-1+a-b0,即a-b1,
此为几何概型.如图可知,
事件f(1)的概率为P=123344=932.
11.(文)(2011金华十校联考)在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的5个小球,这些小球除标注的数字外完全相同,现从中随机取出2个小球,则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是()
A.110 B.310
C.25 D.14
[答案] C
[解析] 从5个小球中随机取出两个小球,基本事件共10个:(1,2),(1,3),(1,4), (1,5),(2,3),(2,4),(2,5 ),(3,4),(3,5),(4,5).其中数字之差的绝对值为2的有:(1,3),(2,4),(3,5),数字之差的绝对值为4的有:(1,5),
故所求概率P=3+110=25.
(理)(2011威海模拟)某同学同时掷两颗骰子,得到点数分别为a、b,则椭圆x2a2+y2b2=1的离心率e32的概率是()
A.118 B.536
C.16 D.13
[答案] D
[解析] 当ab时,e=1-b2a2baa2b,符合a2b的情况有:当b=1时,有a=3,4,5,6四种情况;
当b=2时,有a=5,6两种情况,总共有6种情况,则概率是636=16.
同理当a32的概率也为16,
综上可知e32的概率为13.
12.(文)m{-2,-1,0,1,2,3},n{-3,-2,-1,0,1,2},且方程x2m+y2n=1有意义,则方程x2m+y2n=1可表示不同的双曲线的概率为()
A.3625 B.1
C.925 D.1325
[答案] D
[解析] 由题设知m0或m0,
10n0时有不同取法33=9种.
20n0时有不同取法22=4种,
所求概率P=9+455=1325.
(理)从-1、0、1、2这四个数中选出 三个不同的数作为二次函数f(x)=ax2+bx+c的系数组成不同的二次函数,其中使二次函数有变号零点的概率为()
A.79 B.712
C.59 D.512
[答案] A
[解析] 首先取a,∵a0,a的取法有3种,再取b,b的取法有3种,最后取c,c的取法有2种,
共组成不同的二次函数332=18个.
f(x)若有变号零点,不论a0还是a0,均应有0,即b2-4ac0,b24ac.
①首先b取0时,a、c须异号,a=-1,则c有2种,a取1或2,则c只能取-1,共有4种.
②b=1时,若c=0,则a有2种,若c=-1,a只能取2.
若c=2,则a=-1,共有4种.
③若b=-1,则c 只能取0,有2种.
④若b=2,取a有2种,取c有2种,共有22=4种.
综上所述,满足b24ac的取法有4+4+2+4=14种,
所求概率P=1418=79.
13.(文)在区间[1,5]和[2,4]分别各取一个数,记为m和n,则方程x2m2+y2n2=1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是________.
[答案] 12
[解析] ∵方程x2m2+y2n2=1表示焦点在x轴上的椭圆,mn.
由题意知,在矩形ABCD内任取一点P(m,n),求P点落在阴影部分的概率,易知直线m=n恰好将矩形平分,
p=12.
(理)设集合A={x|x2-3x-100,xZ},从集合A中任取两个元素a,b且a0,则方程x2a+y2b=1表示焦点在x轴上的双曲线的概率为________.
[答案] 15
[解析] A={x|-2
由条件知,(a,b)的所有可能取法有:(-1,1),(-1,2),(-1,3),(-1,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),(1,-1),(2,-1 ),(3,-1),(4,-1),(2,1),(3,1),(4,1),(3,2),(4,2),(4,3),共20种,方程x2a+y2b=1表示焦点在x轴上的双曲线,应有a0,b0,满足条件的有:(1,-1),(2,-1),(3,-1),(4,-1)共4种,所求概率P=420=15.
14.(2011淄博模拟)对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计,随机抽取M名学生作为样本,得到这M名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下:
分组 频数 频率
[10,15) 10 0.25
[15,20) 24 n
[20,25) m p
[25,30) 2 0.05
合计 M 1
(1)求出表中M,p及图中a的值;
(2)若该校高三学生有240人,试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数;
(3)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于20次学生中任选2人,求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率.
[解析] (1)由分组[10,15)内的频数是10,频率是0.25知,10M=0.25,
所以M=40.
因为频数之和为40,所以10+24+m+2=40,m=4.
p=mM=440=0.10.
因为a是对应分组[15,20)的频率与组距的商,所以a=24405=0.12.
(2)因为该校高三学生有240人,分组[10,15)内的频率是0.25,
所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人.
(3)参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=4+2=6人,
设在区间[20,25)内的人为{a1,a2,a3,a4},在区间[25,30)内的人为{b1,b2}.
则任选2人有(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(b1,b2)共15种情况,
而两人都在[25,30)内只能是(b1,b2)一种,所以所求概率为P=1-115=1415.
15.(文)(2011天津文,15)编号分别为A1,A2,,A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下:
运动员编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
得分 15 35 21 28 25 36 18 34
运动员编号 A9[来源:Z_xx_k.Com] A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16
得分 17 26 25 33 22 12 31 38
(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格:
区间 [10,20) [20,30) [30,40]
人数
(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人.
①用运动员编号列出所有可能的抽取结果.
②求这2人得分之和大于50的概率.
[解析] (1)4,6,6.
(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3,A4,A5,A10,A11,A13,从中随机抽取2人,所有可能的抽取结果有:{A3,A4},{A3,A5},{A3,A10},{A3,A11},{A3,A13},{A4,A5},{A4,A10},{A4,A11},{A4,A13},{A5,A10},{A5,A11},{A5,A13},{A10,A11},{A10,A13},{A11,A13},共15种.
②从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人,这2人得分之和大于50(记为事件B)的所有可能结果有:{A4,A5},{A4,A10},{A4,A11},{A5,A10},{A10,A11},共5种.
所以P(B)=515=13.
(理)(2011江西文,16)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别,公司准备了两种不同的饮料共5杯,其颜色完全相同,并且其中3杯为A饮料,另外2杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从5杯饮料中 选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对,测评为优秀;若3杯选对2杯测评为良好;否测评为合格.假设此人对A和B饮料没有鉴别能力.
(1)求此人被评为优秀的概率;
(2)求此人被评为良好及以上的概率.
[解析] 将5杯饮料编号为:1,2,3,4,5,编号1,2,3表示A饮料,编号4,5表示B饮料,则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为:(123),(124),(125),(134),(135),(145),(234)(235),(245),(345),共有10种
令D表示此人被评为优秀的事件,E表示此人被评为良好的事件,F表示此人被评为良好及以上的事件,则
(1)P(D)=110,
(2)P(E)=35,P(F)=P(D)+P(E)=710.
1.(2011淮安模拟)在一次招聘口试中,每位考生都要在5道备选试题中随机抽出3道题回答,答对其中2道题即为及格,若一位考生只会答5道题中的3道题,则这位考生能够及格的概率为________.
[答案] 710
[解析] 5道题中该生会答的3道题记作1,2,3,其余2道题记作m、n,则从中抽取3道题,共有抽法10种:(1,2,3),(1,2,m),(1,2,n),(1,3,m),(1,3,n),(1,m,n),(2,3,m),(2,3,n),(2,m,n),(3,m,n),其中能使该生及格的有7种,P=710.
2.(2011泉州、广州模拟)图(2)中实线部分是长方体(图(1))的平面展开图,其中四边形ABCD是边长为1的正方形.若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展开图内的概率是14,则此长方体的体积是________.
[答案] 3
[解析] 设长方体的高为h,则图(2)中虚线围成的矩形长为2+2h,宽为1+2h,面积为(2+2h)(1+2h),展开图的面积为2+4h;由几何概型的概率公式知2+4h2+2h1+2h=14,得h=3,所以长方体的体积是V=13=3.
3.(2011湘潭模拟)已知集合A={-4,-2,0,1,3,5},B={(x,y)|xA,yA},在集合B中随机取点M.求:
(1)点M正好在第二象限的概率;
(2)点M不在x轴上的概率;
(3)点M正好落在区域x+y-80,x0,y0上的概率.
[解析] 满足条件的M点共有36个.
(1)正好在第二象限的点有(-4,1),(-4,3),(-4,5),(-2,1),(-2,3),(-2,5),
故点M正好在第二象限的概率
P1=636=16.
(2)在x轴上的点有(-4,0),(-2,0),(0,0),(1,0),(3,0),(5,0),
故点M不在x轴上的概率
P2=1-636=56.
(3)在所给区域内的点有(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(5,1),
故点M在所给区域上的概率
P3=636=16.
4.(2011龙岩质检)小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏,规则:小王先掷一枚骰子,向上的点数记为x;小李后掷一枚骰子,向上的点数记为y.
(1)在直角坐标系xOy中,以(x,y)为坐标的点共有几个?试求点(x,y)落在直线x+y=7上的概率;
(2)规定:若x+y10,则小王赢,若x+y4,则小李赢,其他情况不分输赢.试问这个规定公平吗?请说明理由.
[解析] (1)因为x、y可取1、2、3、4、5、6,
故以(x,y)为坐标的点共有36个.
记点(x,y)落在直线x+y=7上为事件A,
则事件A包含的点有(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1),共6个,所以事件A的概率P(A)=636=16.
(2)记x+y10为事件A1,
x+y为事件A2.
用数对(x,y)表示x、y的取值,则事件A1包含(4,6)、(5,5)、(5,6)、(6,4)、(6,5)、(6,6),共6个数对;事件A2包含(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1),共6个数对.
由(1)知基本事件总数为36,所以事件A1的概率P(A1)=636=16,事件A2的概率P(A2)=636=16.
即小王和小李两位同学赢的可能性是均等的.
所以这个规定是公平的.
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