每天坚持整理知识点，到考试时才能方便复习。查字典大学网为大家整理了平面向量的数量积知识点总结，供大家参考阅读。

教学过程：

一、复习引入：

1. 向量共线定理  向量 与非零向量 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使 =λ .

2.平面向量基本定理：如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数λ1，λ2使 =λ1 +λ2

3.平面向量的坐标表示

分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底.任作一个向量 ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 、 ，使得

把 叫做向量 的(直角)坐标，记作

4.平面向量的坐标运算

若 ， ，则  ，  ， .

若 ， ，则

5. ∥  (  )的充要条件是x1y2-x2y1=0

6.线段的定比分点及λ

P1， P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1， P2的任一点，存在实数λ，

使  =λ ，λ叫做点P分 所成的比，有三种情况：

λ>0(内分)      (外分) λ<0 (λ<-1)    ( 外分)λ<0  (-1<λ<0)

7. 定比分点坐标公式：

若点P1(x1，y1) ，P2(x2，y2)，λ为实数，且 =λ ，则点P的坐标为( )，我们称λ为点P分 所成的比.

8. 点P的位置与λ的范围的关系：

①当λ>0时， 与 同向共线，这时称点P为 的内分点.

②当λ<0( )时， 与 反向共线，这时称点P为 的外分点.

9.线段定比分点坐标公式的向量形式：

在平面内任取一点O，设 =a， =b，

可得 = .

10.力做的功：W = |F||s|cos，是F与s的夹角.

二、讲解新课：

1.两个非零向量夹角的概念

已知非零向量a与b，作 =a， =b，则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角.

说明：(1)当θ=0时，a与b同向;

(2)当θ=π时，a与b反向;

(3)当θ= 时，a与b垂直，记a⊥b;

(4)注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0≤≤180

2.平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫a与b的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，

(0≤θ≤π).并规定0与任何向量的数量积为0.

探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.

(2)两个向量的数量积称为内积，写成ab;今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“• ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.

(3)在实数中，若a0，且ab=0，则b=0;但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cos有可能为0.

(4)已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc  a=c.但是ab = bc  a = c

如右图：ab = |a||b|cos = |b||OA|，bc = |b||c|cos = |b||OA|

 ab = bc  但a  c

(5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c  a(bc)

显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.

3.“投影”的概念：作图

定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.

投影也是一个数量，不是向量;当为锐角时投影为正值;当为钝角时投影为负值;当为直角时投影为0;当 = 0时投影为 |b|;当 = 180时投影为 |b|.

4.向量的数量积的几何意义：

数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.

5.两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.

1  ea = ae =|a|cos

2  ab  ab = 0

3  当a与b同向时，ab = |a||b|;当a与b反向时，ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或

4  cos =

5  |ab| ≤ |a||b|

三、讲解范例：

例1 已知|a|=5， |b|=4， a与b的夹角θ=120o，求a•b.

例2 已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o求(a+2b)•(a-3b).

例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直.

例4 判断正误，并简要说明理由.

①a•0=0;②0•a=0;③0- = ;④|a•b|=|a||b|;⑤若a≠0，则对任一非零b有a•b≠0;⑥a•b=0，则a与b中至少有一个为0;⑦对任意向量a，b，с都有(a•b)с=a(b•с);⑧a与b是两个单位向量，则a2=b2.

解：上述8个命题中只有③⑧正确;

对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0•a=0;对于②：应有0•a=0;

对于④：由数量积定义有|a•b|=|a|•|b|•|cosθ|≤|a||b|，这里θ是a与b的夹角，只有θ=0或θ=π时，才有|a•b|=|a|•|b|;

对于⑤：若非零向量a、b垂直，有a•b=0;

对于⑥：由a•b=0可知a⊥b可以都非零;

对于⑦：若a与с共线，记a=λс.

则a•b=(λс)•b=λ(с•b)=λ(b•с)，

∴(a•b)•с=λ(b•с)с=(b•с)λс=(b•с)a

若a与с不共线，则(a•b)с≠(b•с)a.

评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.

例6 已知|a|=3，|b|=6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a•b.

解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ=0°，

∴a•b=|a|•|b|cos0°=3×6×1=18;

若a与b反向，则它们的夹角θ=180°，

∴a•b=|a||b|cos180°=3×6×(-1)=-18;

②当a⊥b时，它们的夹角θ=90°，

∴a•b=0;

③当a与b的夹角是60°时，有

a•b=|a||b|cos60°=3×6× =9

评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是[0°，180°]，因此，当a∥b时，有0°或180°两种可能.

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