2016-05-25
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一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)。
1.复数 在复平面内所对应的点位于第( )象限.
A.一 B.二 C.三 D.四
2.函数 可导,则 等于:( )
A. B. C. D.
3.函数 的导数是:( )
A. B.
C. D.
4. 等于:( )
A.1 B. C. D.
5.如果函数 的图象如右图,那么导函数 的图象可能是:( )
6.将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比,易得下列结论:
(1)
(2)
(3)
(4)由 可得
以上通过类比得到的结论正确的有:( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.(1)若 ,则 ;
(2) 且 是 为纯虚数的充要条件;
(3)当 是非零实数时, 恒成立;
(4)复数的模都是正实数.
其中正确的命题有( )个.
A.0 B.1 C.2 D.3
8.函数 在区间 内围成图形的面积为:( )
A. B. C. D.
9.设函数 在 上有定义,对于给定的正数 ,定义函数 ,取函数 ,若对任意的 恒有 ,则:( )
A.M的最大值为2 B.M的最小值为2
C.M的最大值为1 D.M的最小值为1
10.设 ,当 时取得极大值,当 时取得极小值,则 的取值范围为:( )
A. B. C. D.
二、填空题:(本大题共5小题,每小题5分,共25分。把答案填写在答题卡相应位置上)。
11.已知 ,其中 、 为实数,则 .
12.已知 在 时有极值,则 .
13. .
14.已知 10, ,则 、 的大小关系是 .
15.曲线 上的点到直线 的最短距离是 .
三、解答题:(本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)。
16.(本小题满分13分)
已知函数 .
(1)求 的单调区间和极值;
(2)若方程 有三个不等的实根,求实数 的取值范围.
17.(本小题满分13分)
已知函数 ,其图象记为曲线 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程 ;
(2)记曲线 与 的另一个交点为 ,线段 与曲线 所围成的封闭图形的面积为 ,求 的值.
18.(本小题满分13分)
设数列 的前 项和为 ,并且满足 0, .
(1)求 ;
(2)猜测数列 的通项公式,并用数学归纳法证明.
19.(本小题满分12分)
已知函数 ( 、 为常数).
(1)若 在 和 处取得极值,试求 的值;
(2)若 在 、 上单调递增,且在 上单调递减,又满足
1.求证: .
20.(本小题满分12分)
已知函数 .
(1)求函数 在 上的最小值;
(2)设 ,若对任意 ,不等式 恒成立,求实数 的取值范围.
21.(本小题满分12分)
给出定义在 上的三个函数: ,
,已知 在 处取极值.
(1)求 的值及函数 的单调区间;
(2)求证:当 时,恒有 成立.
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