一、 预习目标

预习《平面向量应用举例》，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，建立实际问题与向量的联系。

二、 预习内容

阅读课本内容，整理例题，结合向量的运算，解决实际的几何问题、物理问题。另外，在思考一下几个问题：

1. 例1如果不用向量的方法，还有其他证明方法吗?

2. 利用向量方法解决平面几何问题的三步曲是什么?

3. 例3中，⑴ 为何值时，|F1|最小，最小值是多少?

⑵|F1|能等于|G|吗?为什么?

三、 提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点 疑惑内容

课内探究学案

一、学习内容

1.运用向量的有关知识(向量加减法与向量数量积的运算法则等)解决平面几何和解析

几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题.

2.运用向量的有关知识解决简单的物理问题.

二、学习过程

探究一：(1)向量运算与几何中的结论若 ，则 ，且 所在直线平行或重合相类比，你有什么体会?

(2)举出几个具有线性运算的几何实例.

例1.证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.

已知：平行四边形ABCD.

求证： .

试用几何方法解决这个问题

利用向量的方法解决平面几何问题的三步曲?

(1) 建立平面几何与向量的联系，

(2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，

(3) 把运算结果翻译成几何关系。

变式训练： 中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，BF与CD交于点O，设

(1)证明A、O、E三点共线;

(2)用 表示向量 。

例2，如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的

中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗?

探究二：两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力. 这些力的问题是怎么回事?

例3.在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力;在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗?

请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题：

⑴ 为何值时，|F1|最小，最小值是多少?

⑵|F1|能等于|G|吗?为什么?

例4如图，一条河的两岸平行，河的宽度 m，一艘船从A处出发到河对岸.已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)?

变式训练：两个粒子A、B从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为

，(1)写出此时粒子B相对粒子A的位移s; (2)计算s在 方向上的投影。

三、 反思总结

结合图形特点，选定正交基底，用坐标表示向量进行运算解决几何问题，体现几何问题

代数化的特点，数形结合的数学思想体现的淋漓尽致。向量作为桥梁工具使得运算简练标致，又体现了数学的美。有关长方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等问题常用此法。

本节主要研究了用向量知识解决平面几何问题和物理问题;掌握向量法和坐标法，以及用向量解决实际问题的步骤。

四、 当堂检测

1.已知 ，求边长c。

2.在平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC的长。

3.在平面上的三个力 作用于一点且处于平衡状态， 的夹角为 ，求：(1) 的大小;(2) 与 夹角的大小。

课后练习与提高

一、 选择题

1.给出下面四个结论：

① 若线段AC=AB+BC，则向量 ;

② 若向量 ，则线段AC=AB+BC;

③ 若向量 与 共线，则线段AC=AB+BC;

④ 若向量 与 反向共线，则 .

其中正确的结论有 ( )

A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个

2.河水的流速为2 ，一艘小船想以垂直于河岸方向10 的速度驶向对岸，则小

船的静止速度大小为 ( )

A.10 B. C. D.12

3.在 中，若 =0，则 为 ( )

A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.无法确定

二、填空题

4.已知 两边的向量 ，则BC边上的中线向量 用 、 表示为

5.已知 ，则 、 、 两两夹角是