2.2.2 导数的几何意义

(一)复习引入

1、函数的平均变化率：

已知函数 ， 是其定义域内不同的两点，

记

则 函数 在区间 的平均变化率

为

2、曲线的割线AB的斜率：

由此可知：曲线割线的斜率就是函数的平均变化率。

3、函数在一点处的导数定义：

函数 在点 处的导数就是函数 在点 的瞬时变化率：记作：

(二)讲授新课

1、创设情境：

问题：平面几何中我们怎样判断直线是否是圆的切线?

学生回答：与圆只有一个公共点的直线就叫做圆的切线

教师提问：能否将它推广为一般的曲线的切线定义?

教师引导学生举出反例如下：

教师举反例如下：

因此，对于一般曲线，必须重新寻求曲线的切线定义。

引例：(看大屏幕)

2、曲线在一点处的切线定义：

当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD,

这条直线AD叫做此曲线在点A的切线。

教师导语：我们如何确定切线的方程?由直线方程的点斜式知，已知一点坐标，只需求切线的斜率。

那如何求切线的斜率呢?

引例：(看大屏幕)：

3、导数的几何意义：

曲线 在点 的切线的斜率等于

注：点 是曲线上的点

(三)例题精讲

例1、求抛物线 过点(1，1)的切线方程。

解：因为

所以抛物线 过点(1，1)的切线的斜率为2

由直线方程的点斜式，得切线方程为

练习题:求双曲线 过点(2， )的切线方程。

答案提示：

例2、求抛物线 过点( ，6)的切线方程。

由于点( ，6)不在抛物线上，可设该切线过抛物线上的点( ， )

因为

所以该切线的斜率为 ，

又因为此切线过点( ，6)和点( ， )

所以

因此过切点(2，4)，(3，9 )切线方程分别为： 即

(四)小结:

利用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤：(可让学生归纳)

①求出函数 在点 处的导数

②得切线方程

注：点 是曲线上的点

(五)板书：