超越不等式

一,理论知识汇总

(一)，分式不等式

1，注意通分合并

2，注意等价转化

f(x) g(x) f(x)g(x)0

f(x) g(x) f(x)g(x)0

f(x) g(x) f(x)g(x)0且g(x)0

f(x) g(x) f(x)g(x)0且g(x)0

例: 解关于x的不等式 ax-1 x+1 0.

解 原不等式等价于(ax-1)(x+1)0

(1)当a=0时,原不等式为-(x+1)0 解得x

(2)当a0时,得 1 a 0解得x-1或x 1 a

(3)当a0时,原不等式可化为 (x- 1 a )(x+1)0

①若a=-1时,不等式无解; ②若a-1时, 1 a -1,解得-1

③若-1

综上所述：当a=0时,解集为(- 当a0时,解集为(-,-1)( 1 a ,+

当a=-1时,解集为 当a-1时,解集为(-1, 1 a ); 当-1

(二)，高次不等式

方法:先因式分解,再使用穿线法.

注意: (1)因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.

(2)恒正因式,可直接去掉.

(3)穿线法的使用对象及使用方法

使用对象:二次不等式、分式不等式及高次不等式.

使用方法:

①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.

②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇透偶不透).

③数轴上方曲线对应区域使成立, 下方曲线对应区域使成立.

例:解不等式 x2-4x+1 3x2-7x+2 1

解: 变形为 (2x-1)(x-1) (3x-1)(x-2) 0

根据穿线法如图

不等式解集为:{xx 1 3 或 1 2 1或x2}.

(三)指数不等式?

通过同底法或换元法转化为同解的代数不等式求解.?

a1时,af(x)ag(x) f(x)

0ag(x) f(x)

(四)对数不等式?

通过同底法或换元法转化为同解的代数不等式求解.

a1时,logaf(x)logag(x f(x)0;

0logag(x) 0

(五)三角不等式?

①形如:sinxa,sinxb及ab的不等式,除了使用单位圆求解之外，还可以用图像法求解，两者比较，图像法易于操作，操作程序如下：?

在同一坐标系中同时作出两个函数y1=sinx(02)及y2=a(或b)(02)图，得出满足x[0,2]的不等式的解，然后利用函数的周期性，得出原不等式的解.?

②形如:cosxa,cosxb及ab的不等式，除了使用单位圆求解之外，

还可以用图像法求解，两者比较，图像法易于掌握，求解程序如下：?

在同一坐标系中同时作出两个函y1=cosx 及y2=a(或y3=b), 的图像，先得出满足条件x 的不等式的解，然后利用函数的周期性得出原不等式的解.?

③形如:tanxa,tanxb及ab的不等式,有直接的结论可用:?

tanxa的解集是: .

tanxb的解集是: .

ab的解集是:[k+arctana,k+arctanb],kZ.

练习：

1.不等式 的解集是 ( )?

?A.( ,1)(1,10) B.( ,1)(2,10) C.( , 10) D.(1,+)

2.已知不等式 对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是 ?A.a ? C.0

3.不等式 解集是 ( )?

?A.(2,4) B.(-2,4) C.(-4,2) D.(-4,-2)?

4.不等式lg(x2+2x+2)1的解集是 ( )?

?A.(2,4) B.(-2,4) ?C.(-4,2) ?D.(-4,-2)?

5.若(0, ),则不等式 的解集是 ( )?

?A.(-1, ) B.( , ) ?C.(-1, ) D.( ,1)

6.设A={x| lg(x-1)},B={x| lg(x-1)},则AB等于 ( )?

?A. R ?B.(1,+) ?C.(1, ) ?D.(1, )

7.不等式 1的解集为 ( )?

?A.(0, ) B.( ,+) ? C.( ,1) ?D.(0, )(1,+)

8.不等式 的解集为 ( )?

?A.(3,+) ?B.(1,5) ?C.(1,4)(4,5) ? D.(3,4)(4,5)

9.若不等式x2-logmx0在(0, )范围内恒成立，则实数m的取值范围是 ( )

A. ? B. ? C. ? D.

10.不等式 5x-3的解集是 .

11.当0

12.不等式sinx- 的解集为 .

13.不等式tan(x- ) 的解集为 .

14，解不等式 (1)(x+4)(x+5)2(2-x)30 (2) x2-4x+1 3x2-7x+2 1

15.解下列指数不等式:?

(1) ; (2)|2x-3|+4x-30.

16.解对数不等式:logx5-2log x3.?

17.解关于x的不等式:

18.解不等式: