学习目标：

1.能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题

2.增强学生的应用意识.培养学生理论联系实际的观点

重点：求得最优解

难点：求最优解是整数解

求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的格式与步骤：

(1)寻找线性约束条件，线性目标函数;

(2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域;

(3)在可行域内求目标函数的最优解

例题选讲：

例1 已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少?

解：设甲煤矿向东车站运 万吨煤，乙煤矿向东车站运 万吨煤，那么总运费z=x+1.5(200-x)+0.8y+1.6(300-y)(万元)

即z=780-0.5x-0.8y.

x、y应满足：

作出上面的不等式组所表示的平面区域

设直线x+y=280与y轴的交点为M，则M(0，280)

把直线l：0.5x+0.8y=0向上平移至经过平面区域上的点M时，z的值最小

∵点M的坐标为(0，280)，

甲煤矿生产的煤全部运往西车站、乙煤矿向东车站运280万吨向西车站运20万吨时，总运费最少

例2、 要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A、B、C三种规格，每根钢管可同时截得三种规格的短钢管的根数如下表所示：

规格类型

A规格 B规格 C规格

甲种钢管 2 1 4

乙种钢管 2 3 1

今需A、B、C三种规格的钢管各13、16、18根，问各截这两种钢管多少根可得所需三种规格钢管，且使所用钢管根数最少

解：设需截甲种钢管x根，乙种钢管y根，则

作出可行域(如图)：

目标函数为z=x+y,作出一组平行直线x+y=t中(t为参数)经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线4x+y=18和直线x+3y=16的交点A( )，直线方程为x+y= .由于 和 都不是整数，所以可行域内的点( )不是最优解

经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x+y=8,经过的整点是B(4，4)，它是最优解

答：要截得所需三种规格的钢管，且使所截两种钢管的根数最少方法是，截甲种钢管、乙种钢管各4根

小结：求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的格式与步骤：

(1)寻找线性约束条件，线性目标函数;

(2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域;

(3)在可行域内求目标函数的最优解

自我检测：

1.某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1t需耗A种矿石8t、B种矿石8t、煤5t;生产乙种产品1t需耗A种矿石4t、B种矿石8t、煤10t.每1t甲种产品的利润是500元，每1t乙种产品的利润是400元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过320t、B种矿石不超过400t、煤不超过450t.甲、乙两种产品应各生产多少能使利润总额达到最大?

2.某运输队有8辆载重量为6t的A型卡车与6辆载重量为10t的B型卡车，有10名驾驶员.此车队承包了每天至少搬运720t沥青的任务.已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车16次，B型卡车12次.每辆卡车每天往返的成本费为A型车240元，B型车378元.每天派出A型车与B型车各多少辆运输队所花的成本最低?

3.下表给出X、Y、Z三种食品的维生素含量及其成本

X Y Z

维生素A/单位/千克 400 500 300

维生素B/单位/千克 700 100 300

成本/(元/千克) 6 4 3

现欲将三种食物混合成100千克的混合食品，要求至少含35000单位维生素A，40000单位维生素B，采用何种配比成本最小?

4.某人上午7时，乘摩托艇以匀速v海里/小时(420)的速度从A港出发到距50海里的B港去，然后乘汽车以匀速w千米/小时(30100)的速度自B港到距300千米的C市去，应该在同一天下午4至9点到达C市。

设汽车、摩托艇所需要的时间分别为x、y小时

(1)用图表示满足上述条件的x、y的范围;

(2)如果已知所需要的经费p=100+3(5-x)+(8-y)(元)，那么v、w分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元?

5、制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能出的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元?才能使可能的盈利最大?