1.1 正弦定理

学习目标

1. 掌握正弦定理的内容;

2. 掌握正弦定理的证明方法;

3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题.

学习过程

一、课前准备

试验：固定 ABC的边CB及 B，使边AC绕着顶点C转动.

思考： C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系?

显然，边AB的长度随着其对角 C的大小的增大而 .能否用一个等式把这种关系精确地表示出来?

二、新课导学

※ 学习探究

探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，

根据锐角三角函数中正弦函数的定义，

有 ， ，又 ，

从而在直角三角形ABC中， .

探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立?

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

当 ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，

有CD= ，则 ，

同理可得 ，

从而 .

类似可推出，当 ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立.请你试试导.

新知：正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即

.

试试：

(1)在 中，一定成立的等式是( ).

A. B.

C. D.

(2)已知△ABC中，a=4，b=8，A=30，则B等于 .

[理解定理]

(1)正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使 ， ， ;

(2) 等价于 ， ， .

(3)正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 ; .

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，

如 ; .

(4)一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形.

※ 典型例题

例1. 在 中，已知 ， ， cm，解三角形.

变式：在 中，已知 ， ， cm，解三角形.

例2. 在 .

变式：在 .

三、总结提升

※ 学习小结

1. 正弦定理：

2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，

还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法.

3.应用正弦定理解三角形：

①已知两角和一边;

②已知两边和其中一边的对角.

※ 知识拓展

，其中 为外接圆直径.

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ).

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测(时量：5分钟 满分：10分)计分：

1. 在 中，若 ，则 是( ).

A.等腰三角形 B.等腰三角形或直角三角形

C.直角三角形 D.等边三角形

2. 已知△ABC中，A∶B∶C=1∶1∶4，

则a∶b∶c等于( ).

A.1∶1∶4 B.1∶1∶2 C.1∶1∶ D.2∶2∶

3. 在△ABC中，若 ，则 与 的大小关系为( ).

A. B.

C. D. 、 的大小关系不能确定

4. 已知 ABC中， ，则 = .

5. 已知 ABC中， A ， ，则

= .

课后作业

1. 已知△ABC中，AB=6，A=30，B= ，解此三角形.

2. 已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC=k∶(k+1)∶2k (k0)，求实数k的取值范围为.

1.2 余弦定理

学习目标

1. 掌握余弦定理的两种表示形式;

2. 证明余弦定理的向量方法;

3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.

学习过程

一、课前准备

复习1：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = .

复习2：在△ABC中，已知 ，A=45，C=30，解此三角形.