25 对数函数的导数及应用

一、课前准备：

【自主梳理】

1. ， .

2. ， .

3.已知 ，则 .

4.已知 ，则 .

【自我检测】

1. 函数 的单调减区间为____ __.

2.直线 是曲线 的一条切线，则实数b= .

3.曲线 上的点到直线 的最短距离是 .

4.已知函数 ，则 在区间 上的最大值和最小值分别为

和 .

5.已知函数 ， .若函数 与 在区间 上均为增函数,则实数 的取值范围为 .

二、课堂活动：

【例1】填空题：

(1)函数 的单调递增区间是 .

(2)点 是曲线 上任意一点,则点 到直线 的距离的最小值是 .

(3)若函数 在定义域内是增函数，则实数 的取值范围是 .

(4)已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为__________。

【例2】已知函数 .

(Ⅰ)若 ，求曲线 在点 处的切线方程;

(Ⅱ)求 的极值;

(Ⅲ)若函数 的图象与函数 的图象在区间 上有公共点，求实数 的取值范围.

【例3】已知函数 .

(Ⅰ)若曲线 在 和 处的切线互相平行，求 的值;

(Ⅱ)求 的单调区间;

(Ⅲ)设 ，若对任意 ，均存在 ，使得 ，求 的取值范围.

三、课后作业

1.已知函数 ，则函数 的单调增区间为 .

2.已知函数 的图象在点 ( 为自然对数的底数)处的切线斜率为3.则实数 的值为 .

3.已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为 .

4.已知函数f(x)=x2-x+alnx，当 时， 恒成立，则实数 的取值范围为 .

5.已知函数 且 ，其中 、 则m的值为 .

6.若f(x)= 上是减函数，则b的取值范围是 .

7.设函数 若直线l与函数 的图象都相切，且与函数 的图象相切于点 ，则实数p的值 .

8.已知定义在正实数集上的函数 ， ，其中 .设两曲线 ， 有公共点，且在该点处的切线相同，则用 可用 表示为_________.

9.已知函数 .

(Ⅰ)若 ，求曲线 在 处切线的斜率;(Ⅱ)求 的单调区间;

(Ⅲ)设 ，若对任意 ，均存在 ，使得 ，求 的取值范围.

10.设函数 ( )， .

(1) 若函数 图象上的点到直线 距离的最小值为 ，求 的值;

(2) 关于 的不等式 的解集中的整数恰有3个，求实数 的取值范围;

(3) 对于函数 与 定义域上的任意实数 ，若存在常数 ，使得 和 都成立，则称直线 为函数 与 的分界线.设 ， ，试探究 与 是否存在分界线?若存在，求出分界线的方程;若不存在，请说明理由.

四、纠错分析

错题卡 题 号 错 题 原 因 分 析

参考答案：

【自我检测】

1. 2.ln2-1 3. 4. 和 5.

二、课堂活动：

【例1】(1) (2) (3) (4)

【例2】解：(Ⅰ) ∵ ， 且 .

又∵ ， .

在点 处的切线方程为： ，即 .

(Ⅱ) 的定义域为 ， ， 令 得 .当 时， ， 是增函数;当 时， ， 是减函数; 在 处取得极大值，即 .

(Ⅲ)(i)当 ，即 时，由(Ⅱ)知 在 上是增函数，在 上是减函数，当 时， 取得最大值，即 .又当 时， ，当 时， ，当 时， ，所以， 的图像与 的图像在 上有公共点，等价于 ，解得 ，又因为 ，所以 .

(ii)当 ，即 时， 在 上是增函数， 在 上的最大值为 ，原问题等价于 ，解得 ，又∵ 无解.

综上， 的取值范围是 .

【例3】解： .

(Ⅰ) ，解得 .

(Ⅱ) .

①当 时， ， ， 在区间 上， ;在区间 上 ，

故 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .

②当 时， ， 在区间 和 上， ;在区间 上 ，

故 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 .

③当 时， ， 故 的单调递增区间是 .

④当 时， ， 在区间 和 上， ;在区间 上 ，

故 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 .

(Ⅲ)由已知，在 上有 .

由已知， ，由(Ⅱ)可知，①当 时， 在 上单调递增，故 ，所以， ，解得 ，故 .

②当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，故 .由 可知 ， ， ，所以， ， ， 综上所述， .

三、课后作业

1.(1，+) 2. 3. 4. 5.m=1

6.(-，-1) 7.p=1或p=3 8.

9.解：(Ⅰ)由已知 ， .故曲线 在 处切线的斜率为 .

(Ⅱ) .

①当 时，由于 ，故 ， ,所以， 的单调递增区间为 .

②当 时，由 ，得 .在区间 上， ，在区间 上 ，

所以，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .

(Ⅲ)由已知，转化为 . .

由(Ⅱ)知，当 时， 在 上单调递增，值域为 ，故不符合题意.

(或者举出反例：存在 ，故不符合题意.)

当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，

故 的极大值即为最大值， ，

所以 ，解得 .

10.解：(1)因为 ，所以 ，令 ，得： ，此时 ，则点 到直线 的距离为 ，

即 ，解之得 .

(2)解法一：不等式 的解集中的整数恰有3个，

等价于 恰有三个整数解，故 ，

令 ，由 且 ，

所以函数 的一个零点在区间 ，

则另一个零点一定在区间 ，故 解之得 .

解法二： 恰有三个整数解，故 ，即 ，

，所以 ，又因为 ， 所以 ，解之得 .

(3)设 ，则 .

所以当 时， ;当 时， .因此 时， 取得最小值 ，则 与 的图象在 处有公共点 .

设 与 存在 分界线，方程为 ，

即 ，由 在 恒成立，则 在 恒成立 .所以 成立，因此 .

下面证明 恒成立.

设 ，则 .

所以当 时， ;当 时， .

因此 时 取得最大值 ，则 成立.

故所求分界线方程为： .