2016-05-25 收藏
上一次课我们学习了概率的意义,举了生活中与概率知识有关的许多实例。今天我们要来研究概率的基本性质。在研究性质之前,我们先来一起研究一下事件之间有什么关系。
一、事件的关系与运算
老师做掷骰子的实验,学生思考,回答该试验包含了哪些事件(即可能出现的结果)
学生可能回答:﹛出现的点数=1﹜记为C1,﹛出现的点数=2﹜记为C2,﹛出现的点数=3﹜记为C3,﹛出现的点数=4﹜记为C4,﹛出现的点数=5﹜记为C5,﹛出现的点数=6﹜记为C6.
老师:是不是只有这6个事件呢?请大家思考,﹛出现的点数不大于1﹜(记为D1)是不是该试验的事件?(学生回答:是)类似的,﹛出现的点数大于3﹜记为D2,﹛出现的点数小于5﹜记为D3,﹛出现的点数小于7﹜记为E,﹛出现的点数大于6﹜记为F,﹛出现的点数为偶数﹜记为G,﹛出现的点数为奇数﹜记为H,等等都是该试验的事件。那么大家思考一下这些事件之间有什么样的关系呢?
1、学生思考若事件C1发生(即出现点数为1),那么事件H是否一定也发生?
学生回答:是,因为1是奇数
我们把这种两个事件中如果一事件发生,则另一事件一定发生的关系,称为包含关系。具体说:一般地,对于事件A和事件B,如果事件A发生,则事件B一定发生,称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B),记作(或)
特殊地,不可能事件记为,任何事件都包含。
练习:写出D3与E的包含关系(D3E)
2、再来看一下C1和D1间的关系:先考虑一下它们之间有没有包含关系?即若C1发生,D1
是否发生?(是,即C1D1);又若D1发生,C1是否发生?(是,即D1C1)
两个事件A,B中,若,那么称事件A与事件B相等,记作A=B。所以C1和D1相等。
下面有同学已经发现了,事件的包含关系和相等关系与集合的这两种关系很相似,很好,下面我们就一起来考虑一下能不能把事件与集合做对比。
试验的可能结果的全体全集
每一个事件子集
这样我们就把事件和集合对应起来了,用已有的集合间关系来分析事件间的关系。
3、集合之间除了有包含和相等的关系以外,还有集合的并,由此可以推出相应的,事件A和事件B的并事件,记作AB,从运算的角度说,并事件也叫做和事件,可以记为A+B。我们知道并集AB中的任一个元素或者属于集合A或者属于集合B,类似的事件AB发生等价于或者事件A发生或者事件B发生。
练习:GD3=?G=﹛2,4,6﹜,D3=﹛1,2,3,4﹜,所以GD3=﹛1,2,3,4,6﹜。若出现的点数为1,则D3发生,G不发生;若出现的点数为4,则D3和G均发生;若出现的点数为6,则D3不发生,G发生。
由此我们可以推出事件A+B发生有三种情况:A发生,B不发生;A不发生,B发生;A和B都发生。
4、集合之间的交集AB,类似地有事件A和事件B的交事件,记为AB,从运算的角度说,交事件也叫做积事件,记作AB。我们知道交集AB中的任意元素属于集合A且属于集合B,类似地,事件AB发生等价于事件A发生且事件B发生。
练习:D2H=?(﹛大于3的奇数﹜=C5)
5、事件A与事件B的交事件的特殊情况,当AB=(不可能事件)时,称事件A与事件B互斥。(即两事件不能同时发生)
6、在两事件互斥的条件上,再加上事件A事件B为必然事件,则称事件A与事件B为对立事件。(即事件A和事件B有且只有一个发生)
练习:⑴请在掷骰子试验的事件中,找到两个事件互为对立事件。(G,H)
⑵不可能事件的对立事件
7、集合间的关系可以用Venn图来表示,类似事件间的关系我们也可以用图形来表示。
:A=B:
AB:AB:
A、B互斥:A、B对立:
8、区别互斥事件与对立事件:从图像上我们也可以看出对立事件是互斥事件的特例,但互斥事件并非都是对立事件。
练习:⑴书P121练习题目4、5
⑵判断下列事件是不是互斥事件?是不是对立事件?
①某射手射击一次,命中的环数大于8与命中的环数小于8;
②统计一个班级数学期末考试成绩,平均分不低于75分与平均分不高于75分;
③从装有3个红球和3个白球的口袋内任取2个球,至少有一个白球和都是红球。
答案:①是互斥事件但不是对立事件;②既不是互斥事件也不是对立事件
③既是互斥事件有是对立事件。
二、概率的基本性质:
提问:频率=频数试验的次数。
我们知道当试验次数足够大时,用频率来估计概率,由于频率在0~1之间,所以,可以得到概率的基本性质:
1、任何事件的概率P(A),0≦P(A)≦1
2、那大家思考,什么事件发生的概率为1,对,记必然事件为E,P(E)=1
3、记不可能事件为F,P(F)=0
4、当A与B互斥时,AB发生的频数等于A发生的频数加上B发生的频数,所以
=+,所以P(AB)=P(A)+P(B)。
5、特别地,若A与B为对立事件,则AB为必然事件,P(AB)=1=P(A)+P(B)P(A)=1-P(B)。
例题:教材P121例
练习:由经验得知,在某建设银行营业窗口排队等候存取款的人数及其概率如下:
排队人数 | 0~10人 | 11~20人 | 21~30人 | 31~40人 | 41人以上 |
概率 | 0.12 | 0.27 | 0.30 | 0.23 | 0.08 |
(2)至少11人排队的概率。
三、课堂小结:
1、把事件与集合对应起来,掌握事件间的关系,总结如下表
符号 | Venn图 | 概率论 | 集合论 |
必然事件 | 全集 | ||
不可能事件 | 空集 | ||
A | 事件 | 子集 | |
事件B包含事件A (事件A发生,则B一定发生) | 集合B包含集合A | ||
A = B | 事件A与事件B相等 | 集合A与集合B相等 | |
AB (A+B) | 事件A与事件B的并事件 (或者事件A发生,或者事件B发生) | 集合A与集合B的并 | |
AB (AB) | 事件A与事件B的交事件 (事件A发生,且事件B发生) | 集合A与集合B的交 | |
AB= | 事件A与事件B互斥 (事件A和事件B不能同时发生) | 集合A与集合B不相交 | |
AB= AB= | 事件A与事件B对立 (事件A与事件B有且仅有一个发生) | 集合A与集合B不相交 |
四、课后思考:概率的基本性质4,若把互斥条件去掉,即任意事件A、B,则P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)
提示:采用图式分析。
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