编辑寄语：本教案是我对整节课或本课时需要达到的目标进行的归总，希望对老师有所帮助。

课题：求曲线的方程

教学目标：(1)能叙述求曲线方程的一般步骤,并能根据所给条件,选择适当的坐标系,求出曲线的方程。

(2)在问题解决过程中,培养学生发散性思维和转化、归纳、数形结合等数学思想方法，提高分析、解决问题能力。

(3)在问题解决过程中,培养学生积极探索和团结协作的科学精神。

教学重点：求曲线方程的基本方法和步骤。

教学难点：由已知条件求曲线的方程。

教学方法：启发式。

教学手段：运用多媒体技术和实物投影仪。

教学过程：

举出实例（放录象剪辑）：

(1)鸟类迁徙(2)鱼群洄游(3)行星运动(4)卫星发射(5)导弹攻击(6)台风移动

思考：(1)这些现象有何共同之处?

(2)是否有必要研究这些现象？(揭示研究物体运动轨迹的意义。)

揭示课题：求曲线的方程

引例：在南沙群岛中，甲岛与乙岛相距8海里，一艘军舰在海面上巡逻。巡逻过程中，从军舰上看甲、乙两岛，保持视角为直角。你能否为军舰巡逻的路线写一个方程？

分析：如果把甲、乙两岛和军舰看成三个点的话，甲、乙两岛是两个定点，而军舰则是一个动点。动点的运动具有一定的规律。

猜测:军舰巡逻的路线是什么轨迹？

(电脑演示军舰巡逻的动画效果。)

问题：如何利用动点运动的规律求出其运动轨迹方程？(引而不发)

例1．设A、B两点的坐标是(-1，-1)、(3，7)，求线段AB的垂直平分线的方程。

(先请学生利用所学知识求直线方程。)

思考：(1)如果把这条垂直平分线看成是动点运动的轨迹，那么，这条垂直平分线上任意一点应该满足怎样的几何条件?

(2)几何条件能否转化为代数方程?用什么方法进行转化?

(3)用新方法求得的直线方程，是否符合要求？为什么？

(提示：方程与曲线构成对应关系，必须满足什么条件？)

(学生回答时，教师边规范语言表达边板书。)

解题反思：你能否归纳一下求曲线方程的一般步骤?

(1)设点----用(x,y)表示曲线上的任意一点M的坐标;

(2)寻找条件----写出适合条件P的点M的集合P＝{M|p(M)};

(3)列出方程----用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)＝0;

(4)化简----化方程f(x,y)＝0为最简形式;

(5)证明----证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。

例2．已知点C到直线L的距离为4，若动点P到点C和直线L的距离相等，求动点P的轨迹方程。

思考：(1)与例1相比，有什么显著的不同点?

(2)你准备如何建立坐标系?为什么？

(3)比较所求轨迹方程是否有区别?从中得到什么体会?

(根据思考题，在独立思考、相互交流讨论的基础上，教师适时点拨，学生自主解决。)

解题反思：

(1)没有确定的坐标系时，要求方程首先必须建立坐标系；

(2)坐标系选取得适当,可以使运算简单,所得到的方程也较简单；

(3)同一条曲线,在不同的坐标系中一般会有不同的方程。

根据例2的求解过程，请学生对求曲线方程的一般步骤进行充实：

(1)改为:建系设点----建立适当的直角坐标系,用(x,y)表示曲线上的任意一点M的坐标;

阅读教材：第5253页。

回头再看引例：

思考：(1)如何把实际问题转化为数学问题?

(2)你觉得应如何建立直角坐标系?

(3)从军舰看甲、乙两岛，保持视角为直角可转化为哪些几何条件?

(4)所求方程与军舰巡逻的路线是否对应?

解题反思：(1)在同一坐标系中,用不同的几何条件求得的曲线方程是相同的；

(2)寻找合适的几何条件,可以简化运算；

(3)解题过程中应考虑实际意义。

课堂小结：(1)数学知识；

(2)数学思想；

(3)由本节课的学习得到的体会和引起的想法。

布置作业：

(1)阅读:教材第5053页;

(2)练习:

必做题：教材第54页练习1(给出完整证明)

第59页习题四3,5,6;

选做题：第59页习题四4。

求曲线的方程说课

一．对教学目标和教学内容的认识：

本节课内容是平面解析几何第二章《圆锥曲线》第二节《求曲线的方程》中的第一课时（共两课时）。

学生在函数及其图象部分已经学习里平面解析几何的第一个概念----点的坐标，在本单元又学习了平面解析几何的第二个概念----曲线和方程。点和坐标、曲线和方程的对应，集中反映了解析几何的基本思想和方法。而从求曲线的方程开始，我们开始进入对解析几何基本问题的研究。本节内容为以后的圆锥曲线内容作了理论和方法上的准备，是解析几何中承上启下的关键章节。

根据数学学科的特点、学生身心发展的合理需要和社会的政治经济、科学技术的需求，确立教学目标：

(1)知识目标----能叙述求曲线方程的一般步骤，并能根据所给条件，选择适当的坐标系，求出曲线的方程；

(2)能力目标----在问题解决过程中,培养学生发散性思维和转化、归纳、数形结合等数学思想方法，提高分析、解决问题能力。

(3)情感目标----在问题解决过程中，培养学生积极探索和团结协作的科学精神。

教学重点：求曲线方程的基本方法和步骤。

教学难点：由已知条件求曲线的方程。此教学难点中，面临着三个问题：(1)如何建立适当的坐标系?(2)如何从形成曲线的几何条件中寻找等量关系?(3)如何将几何等量关系转化为曲线的方程?

二．对学法指导的思考：

对学生原有的认知结构的分析：

(1)学生在日常生活中对物体运动产生轨迹有较深刻的感性认识，知道一些常见曲线图形；

(2)初中学习中，学生已经掌握了轨迹的概念和和一些常见轨迹的定义。

(3)通过直线一章的学习，学生已经掌握了求直线方程的基本方法。

(4)通过曲线与方程的学习，学生对数形结合思想有了初步的认识。

学生在尝试进行问题解决的过程中，常常会在问题解决的思维方向、新旧知识联系、方法策略选择、思想方法运用等方面遇到一定的困难。这就需要教师进行学法指导。

本节课采用了以下几种数学活动方式进行学法指导：

(1)重温与问题解决有关的知识、技能和思想方法，为良好的认知结构的形成提供条件；

(2)给予学生思考的时间与机会，让学生在尝试解决问题的过程中，提高思维能力；

(3)以听、说、读、写的形式开展小组或全班的数学交流活动，暴露学生的思维过程，提高语言表达能力，培养和鼓励学生共同探索的精神；

(4)以对解题过程进行反思的形式培养学生对自己的学习过程进行反思的习惯，提高学生思维的自我评价水平。

三．教学设计的构思：

本节课的教学设计力求体现以学生发展为本，培养学生的创新精神和实践能力，遵循学生的认知规律，体现理论联系实际、循序渐进和因材施教的教学原则，通过问题情境的创设，激发兴趣，使学生在问题解决的探索过程中，由学会走向会学，由被动答题走向主动设问，由课堂与生活隔离走向运用知识解决实际问题。同时，本节课也是正在进行的市级课题的一次探索与实践。

本节课的开始，以放映录象的形式，力图通过鸟类迁徙、鱼群洄游、行星运动、卫星发射、导弹攻击、台风移动等实例引起学生研究物体运动形成的轨迹的兴趣，揭示学习的现实意义。

引例：在南沙群岛中，甲岛与乙岛相距8海里，一艘军舰在海面上巡逻。巡逻过程中，从军舰上看甲、乙两岛，保持视角为直角。你能否为军舰巡逻的路线写一个方程？

思维从惊奇和疑问开始。由于学生对轨迹概念和圆的性质比较熟悉，能够猜测出军舰巡逻的路线是一个圆。自然，通过计算机的动画演示可以进一步确定。与以往不同，学生由于不知道圆方程的形式，用原来的方法无法求解！引例的设计，目的在于激活学生的思维兴趣，形成认知冲突，使学生进入愤悱状态。

此时，例1(教材上的例题)的出现恰倒好处。

例1．设A、B两点的坐标是(-1，-1)、(3，7)，求到线段AB的垂直平分线的方程。

由于学生刚刚学好直线方程，能够利用点斜式求解。

此时引导学生换一种思维方式，从轨迹的角度来思考这样的问题：

(1)如果把这条垂直平分线看成是动点运动的轨迹，那么，这条垂直平分线上任意一点应该满足怎样的几何条件?

(2)几何条件能否转化为代数方程?用什么方法进行转化?

(3)用新方法求得的直线方程，是否符合要求？为什么？

对一个已经有解的例题，从另一种思维角度提出新的问题，是对学生思维的挑战。设计三个环环相扣的思考题，既考虑了学生现有的认知水平，也为学生提供了充分的思维空间。解题过程中，尚未涉及适当建系问题，几何条件中等量关系寻找也较为简单，此时应着重解决教学难点中的第(3)个问题----把几何等量关系转化为曲线的方程。这样设计，一方面便于学生印证解题结果，另一方面也为归纳总结求轨迹方程的基本方法和步骤打下良好的基础。

例2是一道改编题，选自教材第54页练习第2题。

例2:已知点C到直线L的距离为4，若点P到点C和直线L的距离相等，求点P的轨迹方程。

例2设计的主要目的在于解决教学难点中的第(1)个问题----如何建立适当的平面直角坐标系。建系方式的开放性，对学生而言是一种挑战，是一种创造。多样化建系方式可以得到多样化的曲线方程，如此，才有可能通过对列出方程的比较使学生对建立适当的平面直角坐标系中适当两字产生深刻的体会。自然，教师需事先对学生可能想到的建系方法作一个估计，从鼓励学生积极思考的角度出发，进行点评。同时，应指出坐标系选取得适当，可以使运算简单，所得到的方程也较简单；同一条曲线，在不同的坐标系中一般会有不同的方程。

此时，再来研究引例则水到渠成。一方面可以使学生冲出原来的愤悱状态，认知冲突走向认知同化、认知顺应、认知平衡；另一方面可以考察学生运用所学数学知识解决实际问题的意识和能力。问题解决过程中，在引导学生把实际问题转化为数学问题、建立适当的平面直角坐标系后，应着重研究教学难点中的第(2)个问题----如何从形成曲线的几何条件中寻找等量关系?通过对互相垂直的两条直线或由三点构成的直角三角形性质的回忆，有助于等量关系的寻找和学生发散思维的培养。从动点满足的几何条件出发，可以得到许多几何等量关系。等量关系的多样性，比较可以使学生得到这样的体会：在同一坐标系中,用不同的几何等量关系求得的曲线方程是相同的；寻找合适的几何等量关系,可以简化运算。同时，对所求方程进行必要的说明可使学生对解题过程中应考虑实际意义留下深刻的印象，有助于学生进一步明确不要求证明不等于不需要证明。

作业布置试图通过阅读、练习等不同形式的数学活动，加深对所学知识的理解和运用，培养学生数学阅读习惯和动手实践能力。

教学程序：

创设情境----通过对教材的再创造，为学生提供尽可能丰富的知识背景，使学生有机会经历数学知识的发生发展过程，激发学生学习兴趣；

尝试引导----以学生现有思维发展水平为依据，对学生提出适当的要求，给予学生思考的时间与机会，让学生进行探索和尝试；

自主解决----在问题解决过程中，采用独立思考与交流讨论相结合的形式，调动学生的经验、求知欲和创造力，主动发现问题、分析问题和解决问题。

反思梳理----帮助学生整理思维过程，引导学生在思维策略上回顾总结，掌握数学思想方法；引导学生分析解题方法的优劣，优化解题过程，寻找问题解决的最佳方案。