极限是微积分中的基础概念，查字典数学网小编在此为大家整理了极限知识点总结，供大家参考，希望对高考生有所帮助。预祝大家取得理想的成绩!

考试内容：教学归纳法，数学归纳法应用，数列的极限.

函数的极限.根限的四则运算.函数的连续性.

考试要求：

(1)理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

(2)了解数列极限和函数极限的概念.

(3)掌握极限的四则运算法则;会求某些数列与函数的极限.

(4)了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.

13. 极 限 知识要点

1. ⑴第一数学归纳法：①证明当 取第一个 时结论正确;②假设当 ( )时，结论正确，证明当 时，结论成立.

⑵第二数学归纳法：设 是一个与正整数 有关的命题，如果

①当 ( )时， 成立;

②假设当 ( )时， 成立，推得 时， 也成立.

那么，根据①②对一切自然数 时， 都成立.

2. ⑴数列极限的表示方法：

①

②当 时， .

⑵几个常用极限：

① ( 为常数)

②

③对于任意实常数，

当 时，

当 时，若a = 1，则 ;若 ，则 不存在

当 时， 不存在

⑶数列极限的四则运算法则：

如果 ，那么

①

②

③

特别地，如果C是常数，那么

.

⑷数列极限的应用：

求无穷数列的各项和，特别地，当 时，无穷等比数列的各项和为 .

(化循环小数为分数方法同上式)

注：并不是每一个无穷数列都有极限.

3. 函数极限;

⑴当自变量 无限趋近于常数 (但不等于 )时，如果函数 无限趋进于一个常数 ，就是说当 趋近于 时，函数 的极限为 .记作 或当 时， .

注：当 时， 是否存在极限与 在 处是否定义无关，因为 并不要求 .(当然， 在 是否有定义也与 在 处是否存在极限无关. 函数 在 有定义是 存在的既不充分又不必要条件.)

如 在 处无定义，但 存在，因为在 处左右极限均等于零.

⑵函数极限的四则运算法则：

如果 ，那么

①

②

③

特别地，如果C是常数，那么

.

( )

注：①各个函数的极限都应存在.

②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.

⑶几个常用极限：

①

② (0 ( 1)

③

④ ， ( )

4. 函数的连续性：

⑴如果函数f(x)，g(x)在某一点 连续，那么函数 在点 处都连续.

⑵函数f(x)在点 处连续必须满足三个条件：

①函数f(x)在点 处有定义;② 存在;③函数f(x)在点 处的极限值等于该点的函数值，即 .

⑶函数f(x)在点 处不连续(间断)的判定：

如果函数f(x)在点 处有下列三种情况之一时，则称 为函数f(x)的不连续点.

①f(x)在点 处没有定义，即 不存在;② 不存在;③ 存在，但 .

5. 零点定理，介值定理，夹逼定理：

⑴零点定理：设函数 在闭区间 上连续，且 .那么在开区间 内至少有函数 的一个零点，即至少有一点 ( )使 .

⑵介值定理：设函数 在闭区间 上连续，且在这区间的端点取不同函数值， ，那么对于 之间任意的一个数 ，在开区间 内至少有一点 ，使得 ( ).

⑶夹逼定理：设当 时，有 ，且 ，则必有

注： ：表示以 为的极限，则 就无限趋近于零.( 为最小整数)

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