2016-05-25
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2014高考在即,查字典数学网小编在此为大家整理了2014年高考数学知识点:极限,供大家参考,希望对高考生有所帮助。预祝大家取得理想的成绩!
2014年高考数学知识点:极限
考试内容:教学归纳法,数学归纳法应用,数列的极限.
函数的极限.根限的四则运算.函数的连续性.
考试要求:
(1)理解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
(2)了解数列极限和函数极限的概念.
(3)掌握极限的四则运算法则;会求某些数列与函数的极限.
(4)了解函数连续的意义,了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.
13. 极 限 知识要点
1. ⑴第一数学归纳法:①证明当 取第一个 时结论正确;②假设当 ( )时,结论正确,证明当 时,结论成立.
⑵第二数学归纳法:设 是一个与正整数 有关的命题,如果
①当 ( )时, 成立;
②假设当 ( )时, 成立,推得 时, 也成立.
那么,根据①②对一切自然数 时, 都成立.
2. ⑴数列极限的表示方法:
①
②当 时, .
⑵几个常用极限:
① ( 为常数)
②
③对于任意实常数,
当 时,
当 时,若a = 1,则 ;若 ,则 不存在
当 时, 不存在
⑶数列极限的四则运算法则:
如果 ,那么
①
②
③
特别地,如果C是常数,那么
.
⑷数列极限的应用:
求无穷数列的各项和,特别地,当 时,无穷等比数列的各项和为 .
(化循环小数为分数方法同上式)
注:并不是每一个无穷数列都有极限.
3. 函数极限;
⑴当自变量 无限趋近于常数 (但不等于 )时,如果函数 无限趋进于一个常数 ,就是说当 趋近于 时,函数 的极限为 .记作 或当 时, .
注:当 时, 是否存在极限与 在 处是否定义无关,因为 并不要求 .(当然, 在 是否有定义也与 在 处是否存在极限无关. 函数 在 有定义是 存在的既不充分又不必要条件.)
如 在 处无定义,但 存在,因为在 处左右极限均等于零.
⑵函数极限的四则运算法则:
如果 ,那么
①
②
③
特别地,如果C是常数,那么
.
( )
注:①各个函数的极限都应存在.
②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况,但不能推广到无限个情况.
⑶几个常用极限:
①
② (0 ( 1)
③
④ , ( )
4. 函数的连续性:
⑴如果函数f(x),g(x)在某一点 连续,那么函数 在点 处都连续.
⑵函数f(x)在点 处连续必须满足三个条件:
①函数f(x)在点 处有定义;② 存在;③函数f(x)在点 处的极限值等于该点的函数值,即 .
⑶函数f(x)在点 处不连续(间断)的判定:
如果函数f(x)在点 处有下列三种情况之一时,则称 为函数f(x)的不连续点.
①f(x)在点 处没有定义,即 不存在;② 不存在;③ 存在,但 .
5. 零点定理,介值定理,夹逼定理:
⑴零点定理:设函数 在闭区间 上连续,且 .那么在开区间 内至少有函数 的一个零点,即至少有一点 ( )使 .
⑵介值定理:设函数 在闭区间 上连续,且在这区间的端点取不同函数值, ,那么对于 之间任意的一个数 ,在开区间 内至少有一点 ,使得 ( ).
⑶夹逼定理:设当 时,有 ,且 ,则必有
注: :表示以 为的极限,则 就无限趋近于零.( 为最小整数)
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