解答题是高考数学的重点题目，下面是查字典数学网整理的解答题综合练习，请考生练习。

1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设向量m=(a，c)，n=(cos C，cos A).

(1)若m∥n，c=a，求角A;

(2)若mn=3bsin B，cos A=，求cos C的值.

解 (1)∵m∥n，acos A=ccos C.

由正弦定理得sin Acos A=sin Ccos C，

化简得sin 2A=sin 2C.

∵A，C(0，)，2A=2C(舍)或2A+2C=，

A+C=，B=，

在Rt△ABC中，tan A==，A=.

(2)∵mn=3bcos B，acos C+ccos A=3bsin B.

由正弦定理得sin Acos C+sin Ccos A=3sin2B，

从而sin(A+C)=3sin2B.

∵A+B+C=，sin(A+C)=sin B，从而sin B=，

∵cos A=0，A(0，)，A，sin A=.

∵sin Asin B，

ab，从而AB，B为锐角，

cos B=.

cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B

=-+=.

2.如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别为BB1，AC的中点.

(1)求证：BF∥平面A1EC;

(2)求证：A1EC平面ACC1A1.

证明 (1)连接AC1并交A1C于点O，连接OE，OF，

在正三棱柱ABCA1B1C1中，四边形ACC1A1为平行四边形，所以OA=OC1.

又因为F为AC的中点，

所以OF∥CC1且OF=CC1.

因为E为BB1的中点，

所以BE∥CC1且BE=CC1，

所以BE∥OF且BE=OF，

所BEOF是平行四边形，

所以BF∥OE.

又BF平面A1EC，

OE平面A1EC，

所以BF∥平面A1EC.

(2)由(1)知BF∥OE，因为AB=CB，

F为AC的中点，

所以BFAC，所以OEAC.

又因为AA1底面ABC，而BF底面ABC，

所以AA1BF.由BF∥OE得OEAA1，

而AA1，AC平面ACC1A1，

且AA1AC=A，

所以OE平面ACC1A1.

因为OE平面A1EC，

所A1EC平面ACC1A1.

3.若两个椭圆的离心率相等，则称它们为相似椭圆.如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：+=1，A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点.椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为相似椭圆.

(1)求椭圆C2的方程;

(2)设P为椭圆C2上异于A1A2的任意一点，过P作PQx轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H.求证：H为△PA1A2的垂心.(垂心为三角形三条高的交点)

(1)解 由题意可知A1(-，0)，A2(，0)，

椭圆C1的离心率e=.

设椭圆C2的方程为+=1(a0)，则b=.

因为==，所以a=2.

所以椭圆C2的方程为+=1.

(2)证明 设P(x0，y0)，y00，则+=1，

从而y=12-2x.

x=x0代入+=1得+=1，

从而y2=3-=，

即y=.

因为P，H在x轴的同侧，

所以取y=，即H(x0，).

所以kA1PkA2H==

==-1，

从而A1PA2H.

又因为PHA1A2，所以H为△PA1A2的垂心.

4.如图，某园林单位准备绿化一块直径为BCABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC=a，ABC=，设△ABC的面积为S1，正方形的PQRS面积为S2.

(1)用a，表示S1和S2;

(2)当a固定，变化时，求的最小值.

解 (1)S1=asin acos =a2sin 2，

设正方形边长为x，则BQ=，RC=xtan ，

+xtan +x=a，

x==，

S2==.

(2)当a固定，变化时，=，

令sin 2=t，则=(0

利用单调性求得t=1时，=.

5.已知无穷数列{an}的各项均为正整数，Sn为数列{an}的前n项和.

(1)若数列{an}是等差数列，且对任意正整数n都有Sn3=(Sn)3成立，求数列{an}的通项公式;

(2)对任意正整数n，从集合{a1，a2，，an}中不重复地任取若干个a1，a2，，an一起恰好是1至Sn全体正整数组成的集合.

(ⅰ)求a1，a2的值;

(ⅱ)求数列{an}的通项公式.

解 (1)设无穷等差数列{an}的公差为d，因为Sn3=(Sn)3对任意正整数n都成立，所以分别取n=1，n=2时，则有：

因为数列{an}的各项均为正整数，

所以d0.可得a1=1，d=0或d=2.

当a1=1，d=0时，an=1，Sn3=(Sn)3成立;

当a1=1，d=2时，Sn=n2，所以Sn3=(Sn)3.

因此，共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为an=1或an=2n-1.

(2)(ⅰ)记An={1，2，，Sn}，显然a1=S1=1.

对于S2=a1+a2=1+a2，有A2={1，2，，Sn}={1，a2，1+a2，|1-a2|}={1，2，3，4}，

故1+a2=4，所以a2=3.

(ⅱ)由题意可知，集合{a1，a2，，an}按上述规则，共产生Sn个正整数.

而集合{a1，a2，，an，an+1}按上述规则产生的Sn+1个正整数中，除1，2，，Sn这Sn个正整数外，还有an-1，an+1+i，|an+1-i|(i=1，2，，Sn)，共2Sn+1个数.

所以，Sn+1=Sn+(2Sn+1)=3Sn+1.

又Sn+1+=3，

所以Sn=3n-1-=3n-.

当n2时，an=Sn-Sn-1

=3n--=3n-1.

而a1=1也满足an=3n-1.

所以，数列{an}的通项公式是an=3n-1.

6.已知函数f(x)=aln x-(a为常数).

(1)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x+2y-5=0垂直，求a的值;

(2)求函数f(x)的单调区间;

(3)当x1时，f(x)2x-3恒成立，求a的取值范围.

解 (1)函数f(x)的定义域为{x|x0}，f(x)=.

又曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x+2y-5=0垂直，

所以f(1)=a+1=2，即a=1.

(2)由f(x)=(x0)，当a0时，

f(x)0恒成立，

所以f(x)的单调增区间为(0，+).

当a0时，

由f(x)0，

得0

所以f(x)的单调增区间为;

由f(x)0，得x-，

所以f(x)的单调减区间为.

(3)设g(x)=aln x--2x+3，x1，+)，

则g(x)=+-2=.

令h(x)=-2x2+ax+1，考虑到h(0)=10，

当a1时，

h(x)=-2x2+ax+1的对称轴x=1，

h(x)在[1，+)上是减函数，h(x)h(1)=a-10，

所以g(x)0，g(x)在[1，+)上是减函数，

所以g(x)g(1)=0，

即f(x)2x2-3恒成立.

a1时，令h(x)=-2x2+ax+1=0，

得x1=1，x2=0，

当x[1，x1)时，h(x)0，

即g(x)0，

g(x)在[1，x1)上是增函数;

当x(x1，+)时，h(x)0，

即g(x)0，

g(x)在(x1，+)上是减函数.

所以0=g(1)

即f(x1)2x1-3，不满足题意.

综上a的取值范围为a1.

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