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湖南高考2016年数学二轮备考概率问题专项练习(含答案)

2016-05-24 收藏

概率是对随机事件发生的可能性的度量,下面是概率问题专项练习,希望对考生有所帮助。

题型一、古典概型问题

例1:某班级的某一小组有6位学生,其中4位男生,2位女生,现从中选取2位学生参加班级志愿者小组,求下列事件的概率:

(1)选取的2位学生都是男生;

(2)选取的2位学生一位是男生,另一位是女生。

破题切入点:先求出任取2位学生的基本事件的总数,然后分别求出所求的两个事件含有的基本事件数,再利用古典概型概率公式求解。

解:(1)设4位男生的编号分别为1,2,3,4,2位女生的编号分别为5,6。从6位学生中任取2位学生的所有可能结果为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15种。

从6位学生中任取2位学生,所取的2位全是男生的方法数,即从4位男生中任取2个的方法数,共有6种,即(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)。

所以选取的2位学生全是男生的概率为P1=。

(2)从6位学生中任取2位,其中一位是男生,而另一位是女生,其取法包括(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),共8种。

所以选取的2位学生一位是男生,另一位是女生的概率为P2=。

题型二、几何概型问题

例2:(2013四川改编)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是________。

破题切入点:由几何概型的特点,利用数形结合即可求解。

设在通电后的4秒钟内,甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x、y,x、y相互独立,由题意可知,如图所示。两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(|x-y|2)=。

题型三、古典概型与几何概型的综合问题

例3:已知关于x的一元二次方程9x2+6ax-b2+4=0,a,bR。

(1)若a是从1,2,3三个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,求已知方程有两个不相等实根的概率;

(2)若a是从区间[0,3]内任取的一个数,b是从区间[0,2]内任取的一个数,求已知方程有实数根的概率。

破题切入点:本题中含有两个参数,显然要将问题转化为含参数的一元二次方程有解的条件问题。

第(1)问利用列举法将基本事件罗列出来,再结合题意求解。

第(2)问将a,b满足的不等式转化为可行域平面区域问题,从而利用几何概型的概率公式求解。

解:设事件A为方程9x2+6ax-b2+4=0有两个不相等的实数根事件B为方程9x2+6ax-b2+4=0有实数根。

(1)由题意,知基本事件共9个,即(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值。

由=36a2-36(-b2+4)=36a2+36b2-360,得a2+b24。

事件A要求a,b满足条件a2+b24,可知包含6个基本事件:(1,2),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),

所以方程有两个不相同实根的概率P(A)=。

(2)由题意,方程有实根的区域为图中阴影部分,

故所求概率为:P(B)=1-。

总结提高:

(1)求解古典概型问题的三个步骤

①判断本次试验的结果是否是等可能的,设出所求事件A。

②分别计算基本事件的总数n和所求事件A所包含的基本事件的个数m。

③利用古典概型的概率公式P(A)=求出事件A的概率。若直接求解比较困难,则可以利用间接的方法,如逆向思维,先求其对立事件的概率,进而再求所求事件的概率。

(2)几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验,如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果,每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示,而所有基本结果对应于一个区域,这时,与试验有关的问题即可利用几何概型来解决。

(3)几何概型的概率求解,一般要将问题转化为长度、面积或体积等几何问题。在转化中,面积问题的求解常常用到线性规划知识,也就是用二元一次不等式(或其他简单不等式)组表示区域。几何概型的试验中事件A的概率P(A)只与其所表示的区域的几何度量(长度、面积或体积)有关,而与区域的位置和形状无关。

1.从标有1,2,3,,7的7个小球中取出一球,记下它上面的数字,放回后再取出一球,记下它上面的数字,然后把两数相加得和,则取得的两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率是________。

2.已知实数a,b满足x1,x2是关于x的方程x2-2x+b-a+3=0的两个实根,则不等式00,f(1)0,即建立平面直角坐标系如图。

满足题意的区域为图中阴影部分,故所求概率P=。

3.(2014陕西改编)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________。

解析:取两个点的所有情况为10种,所有距离不小于正方形边长的情况有6种,概率为=。

4.有一底面半径为1,高为2的圆柱,点O为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为________。

答案解析:设点P到点O的距离小于等于1的概率为P1,由几何概型,则P1==,故点P到点O的距离大于1的概率P=1-=。

5.在面积为S的矩形ABCD内随机取一点P,则△PBC的面积小于的概率是________。

答案解析:如图,M,N分别为AB,CD中点,

当点P位于阴影部分时,

△PBC的面积小于,根据几何概型,其概率为P=。

6.已知点A在坐标原点,点B在直线y=1上,点C(3,4),若AB,则△ABC的面积大于5的概率是________。

答案解析:设B(x,1),根据题意知点D(,1),

若△ABC的面积小于或等于5,则DB5,即DB,

所以点B的横坐标x[-,],而AB,

所以点B的横坐标x[-3,3],所以△ABC的面积小于或等于5的概率为P=,

所以△ABC的面积大于5的概率是1-P=。

7.(2013湖北)在区间[-2,4]上随机地取一个数x,若x满足|x|m的概率为,则m=________。

答案:3

解析:由|x|m,得-mm。

当m2时,由题意得=,解得m=2.5,矛盾,舍去。

当2n。

如图,由题意知,在矩形ABCD内任取一点Q(m,n),点Q落在阴影部分的概率即为所求的概率,易知直线m=n恰好将矩形平分,

所求的概率为P=。

9.(2013江苏)现有某类病毒记作XmYn,其中正整数m,n(m7,n9)可以任意选取,则m,n都取到奇数的概率为______。

答案解析:P=。

10.平面内有一组平行线,且相邻平行线间的距离为3 cm,把一枚半径为1 cm的硬币任意投掷在这个平面内,则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是________。

答案解析:如图所示,当硬币中心落在阴影区域时,硬币不与任何一条平行线相碰,故所求概率为。

概率问题专项练习及答案分享到这里,更多内容请关注高考数学试题栏目。

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