概率是对随机事件发生的可能性的度量，下面是概率问题专项练习，希望对考生有所帮助。

题型一、古典概型问题

例1：某班级的某一小组有6位学生，其中4位男生，2位女生，现从中选取2位学生参加班级志愿者小组，求下列事件的概率：

(1)选取的2位学生都是男生;

(2)选取的2位学生一位是男生，另一位是女生。

破题切入点：先求出任取2位学生的基本事件的总数，然后分别求出所求的两个事件含有的基本事件数，再利用古典概型概率公式求解。

解：(1)设4位男生的编号分别为1,2,3,4,2位女生的编号分别为5,6。从6位学生中任取2位学生的所有可能结果为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种。

从6位学生中任取2位学生，所取的2位全是男生的方法数，即从4位男生中任取2个的方法数，共有6种，即(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)。

所以选取的2位学生全是男生的概率为P1=。

(2)从6位学生中任取2位，其中一位是男生，而另一位是女生，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种。

所以选取的2位学生一位是男生，另一位是女生的概率为P2=。

题型二、几何概型问题

例2：(2013四川改编)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是________。

破题切入点：由几何概型的特点，利用数形结合即可求解。

设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x、y，x、y相互独立，由题意可知，如图所示。两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(|x-y|2)=。

题型三、古典概型与几何概型的综合问题

例3：已知关于x的一元二次方程9x2+6ax-b2+4=0，a，bR。

(1)若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求已知方程有两个不相等实根的概率;

(2)若a是从区间[0,3]内任取的一个数，b是从区间[0,2]内任取的一个数，求已知方程有实数根的概率。

破题切入点：本题中含有两个参数，显然要将问题转化为含参数的一元二次方程有解的条件问题。

第(1)问利用列举法将基本事件罗列出来，再结合题意求解。

第(2)问将a，b满足的不等式转化为可行域平面区域问题，从而利用几何概型的概率公式求解。

解：设事件A为方程9x2+6ax-b2+4=0有两个不相等的实数根事件B为方程9x2+6ax-b2+4=0有实数根。

(1)由题意，知基本事件共9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值。

由=36a2-36(-b2+4)=36a2+36b2-360，得a2+b24。

事件A要求a，b满足条件a2+b24，可知包含6个基本事件：(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，

所以方程有两个不相同实根的概率P(A)=。

(2)由题意，方程有实根的区域为图中阴影部分，

故所求概率为：P(B)=1-。

总结提高：

(1)求解古典概型问题的三个步骤

①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求事件A。

②分别计算基本事件的总数n和所求事件A所包含的基本事件的个数m。

③利用古典概型的概率公式P(A)=求出事件A的概率。若直接求解比较困难，则可以利用间接的方法，如逆向思维，先求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率。

(2)几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决。

(3)几何概型的概率求解，一般要将问题转化为长度、面积或体积等几何问题。在转化中，面积问题的求解常常用到线性规划知识，也就是用二元一次不等式(或其他简单不等式)组表示区域。几何概型的试验中事件A的概率P(A)只与其所表示的区域的几何度量(长度、面积或体积)有关，而与区域的位置和形状无关。

1.从标有1,2,3，，7的7个小球中取出一球，记下它上面的数字，放回后再取出一球，记下它上面的数字，然后把两数相加得和，则取得的两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率是________。

2.已知实数a，b满足x1，x2是关于x的方程x2-2x+b-a+3=0的两个实根，则不等式00，f(1)0，即建立平面直角坐标系如图。

满足题意的区域为图中阴影部分，故所求概率P=。

3.(2014陕西改编)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________。

解析：取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为=。

4.有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________。

答案解析：设点P到点O的距离小于等于1的概率为P1，由几何概型，则P1==，故点P到点O的距离大于1的概率P=1-=。

5.在面积为S的矩形ABCD内随机取一点P，则△PBC的面积小于的概率是________。

答案解析：如图，M，N分别为AB，CD中点，

当点P位于阴影部分时，

△PBC的面积小于，根据几何概型，其概率为P=。

6.已知点A在坐标原点，点B在直线y=1上，点C(3,4)，若AB，则△ABC的面积大于5的概率是________。

答案解析：设B(x,1)，根据题意知点D(，1)，

若△ABC的面积小于或等于5，则DB5，即DB，

所以点B的横坐标x[-，]，而AB，

所以点B的横坐标x[-3,3]，所以△ABC的面积小于或等于5的概率为P=，

所以△ABC的面积大于5的概率是1-P=。

7.(2013湖北)在区间[-2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|m的概率为，则m=________。

答案：3

解析：由|x|m，得-mm。

当m2时，由题意得=，解得m=2.5，矛盾，舍去。

当2n。

如图，由题意知，在矩形ABCD内任取一点Q(m，n)，点Q落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m=n恰好将矩形平分，

所求的概率为P=。

9.(2013江苏)现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m7，n9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为______。

答案解析：P=。

10.平面内有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm，把一枚半径为1 cm的硬币任意投掷在这个平面内，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是________。

答案解析：如图所示，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为。

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