从某种角度看数学属于形式科学的一种，下面是2016届江苏省高三数学复习中档题满分练习，请考生及时练习。

1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设向量m=(a，c)，n=(cos C，cos A).

(1)若m∥n，c=a，求角A;

(2)若mn=3bsin B，cos A=，求cos C的值.

2.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别为BB1，AC的中点.

(1)求证：BF∥平面A1EC;

(2)求证：平面A1EC平面ACC1A1.

3.若两个椭圆的离心率相等，则称它们为相似椭圆.如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：+=1，A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点.椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为相似椭圆.

(1)求椭圆C2的方程;

(2)设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQx轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H.求证：H为△PA1A2的垂心.(垂心为三角形三条高的交点)

4.如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC=a，ABC=，设△ABC的面积为S1，正方形的PQRS面积为S2.

(1)用a，表示S1和S2;

(2)当a固定，变化时，求的最小值.

中档题满分练(一)

1.解 (1)∵m∥n，acos A=ccos C.

由正弦定理得sin Acos A=sin Ccos C，

化简得sin 2A=sin 2C.

∵A，C(0，)，2A=2C(舍)或2A+2C=，

A+C=，B=，

在Rt△ABC中，tan A==，故A=.

(2)∵mn=3bcos B，acos C+ccos A=3bsin B.

由正弦定理得sin Acos C+sin Ccos A=3sin2B，

从而sin(A+C)=3sin2B.

∵A+B+C=，sin(A+C)=sin B，从而sin B=，

∵cos A=0，A(0，)，

A，sin A=.

∵sin Asin B，ab，从而AB，B为锐角，

cos B=.

cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B

=-+=.

2.证明 (1)连接AC1并交A1C于点O，连接OE，OF，

在正三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形ACC1A1为平行四边形，所以OA=OC1.

又因为F为AC的中点，所以OF∥CC1且OF=CC1.

因为E为BB1的中点，所以BE∥CC1且BE=CC1，

所以BE∥OF且BE=OF，

所以四边形BEOF是平行四边形，所以BF∥OE.

又BF平面A1EC，OE平面A1EC，所以BF∥平面A1EC.

(2)由(1)知BF∥OE，因为AB=CB，F为AC的中点，

所以BFAC，所以OEAC.

又因为AA1底面ABC，而BF底面ABC，

所以AA1BF.

由BF∥OE得OEAA1，而AA1，AC平面ACC1A1，且AA1AC=A，

所以OE平面ACC1A1.

因为OE平面A1EC，所以平面A1EC平面ACC1A1.

3.(1)解 由题意可知A1(-，0)，A2(，0)，

椭圆C1的离心率e=.

设椭圆C2的方程为+=1(a0)，则b=.

因为==，所以a=2.

所以椭圆C2的方程为+=1.

(2)证明 设P(x0，y0)，y00，则+=1，从而y=12-2x.

将x=x0代入+=1得+=1，从而y2=3-=，即y=.

因为P，H在x轴的同侧，所以取y=，即H(x0，).

所以kA1PkA2H====-1，从而A1PA2H.

又因为PHA1A2，所以H为△PA1A2的垂心.

4.解 (1)S1=asin acos =a2sin 2，

设正方形边长为x，则BQ=，RC=xtan ，

+xtan +x=a，

x==，

S2==.

(2)当a固定，变化时，

=，

令sin 2=t，

则=(0

利用单调性求得t=1时，=.

2016届江苏省高三数学复习中档题满分练习的内容就是这些，希望对考生提高成绩有帮助。