由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形，下面是查字典数学网整理的解三角形的实际应用举例专项训练，希望对考生复习有帮助。

一、测量中的距离问题

1.有一长为10 m的斜坡,倾斜角为60,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30,则坡底要延长的长度(单位:m)是()

A.5 B.5 C.10 D.10

答案:D

解析:如图,在Rt△ABC中,AC=10,ACB=60.

AB=5,BC=5,

在Rt△ABD中,ADB=30,BD=15.

CD=BD-BC=10.

2.(2015福建宁德五校联考,14)一艘船以15 km/h的速度向东航行,船在A处看到灯塔B在北偏东60行驶4 h后,船到达C处,看到灯塔B在北偏东15处,这时船与灯塔的距离为 km.

答案:30

解析:根据题意画出图形,如图所示,可得B=75-30=45,

在△ABC中,根据正弦定理得,,即,BC=30 km,

即此时船与灯塔的距离为30 km.

3.(2015福建厦门高二期末,15)如图,某观测站C在A城的南偏西20,一条笔直公路AB,其中B在A城南偏东40,B与C相距31千米.有一人从B出发沿公路向A城走去,走了20千米后到达D处,此时C,D之间的距离为21千米,则A,C之间的距离是 千米.

答案:24

解析:由已知得CD=21,BC=31,BD=20,

在△BCD中,由余弦定理得cosBDC==-.

设ADC=,则cos =,sin =.

在△ACD中,由正弦定理,得AC==24.

二、测量中的高度与角度问题

4.如图,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点的仰角分别是,(),则A点距离地面的高度AB等于()

A. B.

C. D.

答案:A

解析:在△ACD中,DAC=-,DC=a,ADC=,由正弦定理得AC=,

在Rt△ACB中,AB=ACsin =.

5.运动会开幕式上举行升旗仪式,在坡度15的看台上,同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30,第一排和最后一排的距离为10 m(如图所示),则旗杆的高度为()

A.10 m B.30 m C.10 m D.10 m

答案:B

解析:如图所示,由题意知AEC=45ACE=180-60-15=105,

EAC=180-45-105=30,

由正弦定理知,

AC==20(m),

在Rt△ABC中,AB=ACsinACB=30(m).

旗杆的高度为30 m.

6.当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西30,相距10 n mile C处的乙船,乙船立即朝北偏东角的方向沿直线前往B处救援,则sin 的值等于()

A. B. C. D.

答案:D

解析:根据题目条件可作图如图:

在△ABC中,AB=20,AC=10,CAB=120,由余弦定理有BC2=AB2+AC2-2ABACcosCAB=202+102-22010cos 120=700,

BC=10.

再由正弦定理得,

sinACB=

=.

又038.

无触礁的危险.

8.如图,在一个特定时段内,以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45且与点A相距40海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45+且与点A相距10海里的位置C.

(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);

(2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.

解:(1)因为AB=40,AC=10,BAC=,sin =,090,

所以cos =.

由余弦定理得BC

==10,所以该船的行驶速度为v==15(海里/小时).

(2)设直线AE与BC的延长线相交于点Q.

在△ABC中,由余弦定理得

cosABC=

=,

所以sinABC=.

在△ABQ中,由正弦定理得

AQ==40.

因为AE=5540=AQ,所以点Q位于点A和点E之间,且QE=AE-AQ=15.

过点E作EPBC于点P,则EP为点E到直线BC的距离.

在Rt△QPE中,PE=QEsinPQE=QEsinAQC=QEsin(45ABC)=15=37.

故该船会进入警戒水域.

(建议用时:30分钟)

1.如图,已知两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40,灯塔B在观察站C的南偏东60,则灯塔A在灯塔B的()的位置.

A.北偏东10

B.北偏西10

C.南偏东10

D.南偏西10

答案:B

解析:由图可知,ACB=180-(40+60)=80.

又AC=BC,

CBA=(180-80)=50.

∵CE∥BD,CBD=BCE=60,

ABD=60-50=10.

灯塔A在灯塔B的北偏西10的位置.

2.如图所示,为测一树的高度,在地面上选取A,B两点(点A,B与树根部在同一直线上),从A,B两点分别测得树尖的仰角为30,45,且A,B两点之间的距离为60 m,则树的高度为()

A.(30+30) m B.(30+15) m

C.(15+30) m D.(15+3) m

答案:A

解析:设树高为h,则由题意得h-h=60,

h==30(+1)=(30+30)(m).

3.一艘客船上午9:30在A处,测得灯塔S在它的北偏东30,之后它以32 n mile/h的速度继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时测得船与灯塔S相距8 n mile,则灯塔S在B处的()

A.北偏东75

B.东偏南75

C.北偏东75或东偏南75

D.以上方位都不对

答案:C

解析:根据题意画出示意图,如图,

由题意可知AB=32=16,

BS=8,A=30.

在△ABS中,由正弦定理得,sin S=,

S=45或135,

B=105或15,

即灯塔S在B处的北偏东75或东偏南75.

4.一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15方向,与灯塔S相距20 n mile,随后货轮按北偏西30的方向航行3 h后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为()

A.) n mile/h

B.) n mile/h

C.) n mile/h

D.) n mile/h

答案:B

解析:如图,设货轮的时速为v,则在△AMS中,AMS=45SAM=105ASM=30,SM=20,AM=3v.

由正弦定理得,

即v=

=)(n mile/h).

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